高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系教学设计

《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）》

专题02集合间的基本关系（讲）

1．Venn图的优点及其表示

(1)优点：形象直观．

(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．

2．子集、真子集、集合相等的相关概念

[知识点拨]　(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．

(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．

(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．

(4)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；任何集合都不是它本身的真子集．

(5)若A⊆B，且A≠B，则AB．

3．空集

(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.

(2)规定：空集是任何集合的子集．

4．集合间关系的性质

(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．

(2)对于集合A，B，C，

①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；

②若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．

(3)若A⊆B，A≠B，则AB．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为，解不等式得，且，

所以，，.

故选：B.
2．且，则（    )

A．2 B．2或-2 C．0或2 D．0或2或-2

【答案】D

【解析】

根据已知条件，或或

时不满足集合元素的互异性，应舍去，

或

故答案选
3．满足2，的集合A的个数是　　

A．2 B．3 C．4 D．8

【答案】C

【解析】

由题意，可得满足2，的集合A为：，，，2，，共4个．

故选C．
4．已知集合，，若，则实数a的值为（    ）

A．或 B．或 C．或或0 D．或或0

【答案】D

【解析】

由题意知，.当时，，满足；当时，的解为，由，可得或，或.

故选：D
5．集合{x,y}的子集个数是（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】

集合的子集有,共有4个

故选

重要考点一：集合间关系的判定

【典型例题】已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，正方形是矩形，所以C⊆B．
故选B．

【题型强化】设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2，3，4}，∴A⊆B．故选D．

【收官验收】已知集合，，则集合A，B之间的关系为________．

【答案】A=B

【解析】

对于集合A，k=2n时， ，

当k=2n-1时，

即集合A= ,由B=

可知A=B，故填：A=B.
【名师点睛】判断集合关系的方法有三种：

(1)一一列举观察．

(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．

一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若p(x)推出q(x)，则A⊆B；②若q(x)推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．

(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．

对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法．注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示．

重要考点二：有限集合的子集确定问题

【典型例题】已知集合，则集合A的子集的个数为（    ）

A．16 B．15 C．8 D．7

【答案】C

【解析】

集合中包含3个元素    ∴集合的子集个数为：个

故选：C
【题型强化】已知集合，则的真子集共有（    ）个

A．3 B．4 C．6 D．7

【答案】D

【解析】

因为，

所以其真子集个数为.

故选：D.
【收官验收】集合的真子集的个数是          ．

【答案】

【解析】

，真子集个数，所以答案应填：3．
【名师点睛】1．求解有限集合的子集问题，关键有三点：

(1)确定所求集合；

(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；

(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．

2．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．

重要考点三：由集合间的关系求参数的值和范围

【典型例题】已知集合，若，则实数的取值集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

已知：， ，

因为，

所以或或，

所以实数的取值集合为.

故选：B
【题型强化】集合，若，则a的取值范围为________.

【答案】.

【解析】

∵，∴a在数轴上的对应点位于6所对应点的右侧或为6所对应的点，

∴a的取值范围是.

故答案为：

【收官验收】已知集合，，.是否存在a，使？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】存在，.

【解析】

存在,假设存在这样的a值,由于且,即,.

而且,

∴当时,；当时,；当时,.

若,要使,则,即,矛盾.

同理当时,也不存在a的值.而时,要使,则有,即,.

故存在,使得.
【名师点睛】(1)弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；

(2)看集合中是否含有参数，若含参数，应考虑参数使该集合为空集的情形；

(3)将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围．

重要考点四：误解集合间的关系而致错

【典型例题】已知集合，，若，则等于（   ）

A．或3 B．0或 C．3 D．

【答案】C

【解析】

由于，故，解得或.当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.经检验可知符合.

故选C.
【题型强化】设，，，则A，B的关系是________.

【答案】

【解析】

由集合可得集合A中元素代表直线上所有的点，

由，∵可化为，可得集合B中元素代表上除去点的两条射线，则可得集合B是集合A的真子集，即BA.

故答案为：BA.
【收官验收】已知集合，，则集合与集合的关系是__________．

【答案】

【解析】

解：根据题意，对集合分类讨论可得：

①时，或1，或；

②时，无论取何值，都有；

③时，或0，或0．

综上知，

则有；

故答案为：．

【名师点睛】判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中的元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等、不等关系，但有时也可能为属于关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两集合中元素之间的关系是什么．

重要考点五：分类讨论思想的应用

【典型例题】集合，，若，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

若B＝∅，即＜a﹣1，即a＜0时，满足B⊆A，

若B≠∅，即≤2a﹣1，即a≥0时，

要使B⊆A，

则满足，解得

综上：，

故选：A．
【题型强化】已知集合，，求满足的实数的取值范围.

【答案】

【解析】

①当时，，满足.

② 当 时，，

∵，∴解得.

③ 当 时，，

∵，∴解得.

综上所述，所求实数的取值范围为.
【收官验收】已知集合，是否存在实数a，使得.若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】存在；或或.

【解析】

∵，而集合A与a的取值范围有关.

①当时，，显然.

②当时，，

∵，如图1所示，∴∴.

③当时，，

∵，如图2所示，∴∴.

综上可知，所求实数a的取值范围为或或.

【名师点睛】分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”．分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行．

1．两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．

2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否一致，若均一致，则两集合相等．