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2020-2021学年 苏科版八年级数学上册期末冲刺 专题01 全等三角形的判定（教师版）
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2020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题01 全等三角形的判定
【典型例题】
2．（2020·湖南益阳·期末）下列条件中，不能判定与一定全等的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
2．（2020·江苏灌云·月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：∠ACB＝90°．
【答案】
证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），
∴∠EAC＝∠BCF，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．
3．（2020·陕西定边·期末）如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上．
（1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？
（2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长．
【答案】
解：（1）全等．理由如下
∵∠D＝∠ABE＝90°，
∴∠ABG＝90°＝∠D，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△GAB≌△FAD（ASA）；
（2）∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∵△GAB≌△FAD，
∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，
∴∠GAB+∠BAE＝45°，
∴∠GAE＝45°，
∴∠GAE＝∠EAF，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS）
∴EF＝GE
∵△GAB≌△FAD，
∴GB＝DF，
∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝2+3＝5．
【专题训练】
一、 选择题
1．（2020·新昌县拔茅中学月考）如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN（ ）
A．AM=CN B．AB=CD C．AM∥CN D．∠M=∠N
【答案】A
2．（2020·江苏灌云·月考）如图,某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块,现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃,最省事的方法是( )
A．带①和②去 B．只带②去 C．只带③去 D．都带去
【答案】C
3．（2020·抚顺市第五十九中学月考）如图5，已知：∠1＝∠2，要证明△ABC≌△ADE，还需补充的条件是（ ）
A．AB＝AD，AC＝AE B．AB＝AD，BC＝DE C．AC＝AE，BC＝DE D．以上都不对
【答案】C
4．（2020·浙江秀洲·高照实验学校月考）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，补充下列一组条件，仍无法判定△ABC≌△DEC的是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．∠B=∠E，∠A=∠D D．BC=EC，∠A=∠D
【答案】D
5．（2020·南部县第二中学月考）如图，已知AE垂直于∠ABC的平分线于点D，交BC于点E， ，若△ABC的面积为1，则△CDE的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
6．（2020·江苏江都·月考）如图， AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连结BF，CE．下列说法：①CE=BF；②△ABD和△ACD面积相等；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
二、 填空题
7．（2020·江苏灌云·月考）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是______________.（写一种即可）
【答案】AC=BD或AD=BC.(答案不唯一)
8．（2020·抚顺市第五十九中学月考）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为______.
【答案】90º
9．（2020·灌南县新知双语学校月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CD于E，BD⊥CD于D，AE＝5cm，BD＝2cm，则DE的长为________．
【答案】3
10．（2020·商城县第一中学月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是BC上一点，过点M作MD⊥AB于点D，且MC=MD,如果AC=8，AB=10，那么BD=________．
【答案】2
11．（2020·江苏江都·月考）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝_____．
【答案】55°
12．（2019·河南太康·期中）如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E=∠F=90°，BE=CF．BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC=∠FAB．有下列结论：①∠B=∠C；②CD=DN；③CM=BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的序号是________．
【答案】①③④
三、 解答题
13．（2021·山东东平县江河国际实验学校月考）如图，把一个三角板（AB=BC，∠ABC=90°）放入一个“U”形槽中，使三角板的三个顶点A、C、B分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90°，在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么大小关系？试说明你的结论.
【答案】
解：
即AD与BE在滑动过程中始终全等．
14．（2020·江苏灌云·月考）如图，AB//CD，∠B＝∠D，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）试判断AD与BE有怎样的位置关系，并说明理由；
（2）试说明△AOD≌△EOC．
【答案】
（1）AD//BE，
理由：∵AB//CD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠DCE＝∠D，
∴AD//BE；
（2）∵O是CD的中点，
∴DO＝CO，
在△ADO和△ECO中，
∴△AOD≌△EOC（ASA）．
15．（2020·南部县第二中学月考）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.
(1)求证：ΔABC≌△DEF；
(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.
【答案】
（1）∵AC=AD+DC， DF=DC+CF，且AD=CF
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）由（1）可知，∠F=∠ACB
∵∠A=55°，∠B=88°
∴∠ACB=180°－（∠A+∠B）=180°－（55°+88°）=37°
∴∠F=∠ACB=37°
16．（2021·重庆巴南·月考）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．
【答案】
（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
17．（2020·抚顺市教师进修学院附属中学月考）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，
(1)求证:△ABD≌△CFD；
(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长．
【答案】
（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，
∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，
∴∠BAD=∠OCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（AAS），
（2）∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF，
∵BC=7，AD=DC=5，
∴BD=BC﹣CD=2，
∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3．
18．（2020·南部县第二中学月考）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时
①请说明△ADC≌△CEB的理由；
②请说明DE=AD+BE的理由；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系：__________；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系：__________．
【答案】
（1）①证明：如图1中，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②证明：由①知△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE；
（2）结论：DE=AD﹣BE．
理由如下：
如图2中，∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC与△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC－CD=AD－BE；
（3）结论：DE=BE﹣AD．
理由如下：如图3中，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
又∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CED=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD－CE=BE－AD.
19．（2021·重庆巴南·月考）(1)问题背景：
如图 1，在四边形 ABCD 中，AB = AD，∠BAD= 120°，∠B =∠ADC= 90°，E，F 分别是 BC, CD 上的点，且∠EAF = 60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG=BE， 连结AG，先证明ΔΔADG，再证明ΔΔAGF，可得出结论，他的结论应是 ．
(2)探索延伸：
如图 2，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF=∠BAD，上述结论是否依然成立？并说明理由．
【答案】
解：（1）EF=BE+DF，证明如下：
在△ABE和△ADG中，
在△AEF和△AGF中，
故答案为 EF=BE+DF．
（2）结论EF=BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，如图②，
在△ABE和△ADG中
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
20．（2020·泰州市大泗学校月考）如图（1）所示在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，D、E分别是AB和AC上两点，且AD＝AE，连接DE，现将ADE绕点A顺时针旋转一定的角度，得图（2）．
（1）证明：CD＝BE；
（2）若直线CD与直线BE相交于点M，则∠CMB的度数；
（3）如图（3）若将CD、BE分别延长至F、G，使DF＝CD，EG＝BE，猜想AF与AG的数量关系、∠FAG与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】
（1）证明：∵旋转，
∴∠CAB＝∠DAE，
∴∠CAB－∠DAB ＝∠DAE－∠DAB，
即∠CAD＝∠BAE，
在CAD与BAE中，
，
∴CAD≌BAE（SAS）
∴CD＝BE；
（2）解：如图，
∵CAD≌BAE，
∴∠ACD＝∠ABE，
∵∠BOC＝∠ABE＋∠CMB＝∠ACD＋∠CAB，
∴∠CMB＝∠CAB＝ a，
∴∠CMB的度数为a；
（3）解：AF＝AG，∠FAG＝∠BAC，
理由如下：由（1）得CD＝BE，
又∵DF＝CD，EG＝BE，
∴DF＝EG，
∴DF＋CD＝EG＋BE，
即CF＝BG，
在CAF与BAG中，
，
∴CAF≌BAG（SAS）
∴AF＝AG，∠CAF＝∠BAG，
∴∠CAF－∠BAF＝∠BAG－∠BAF，
即∠BAC＝∠FAG．
21．（2020·江苏东台·月考）（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点，且BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG=BE，连结AG．先证明，再证明，从而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是 ．
（2）将（1）中的条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②），其余条件不变，上述数量关系是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由
（3）如图③，中俄两国海军在南海举行联合军事演习，中国舰艇在指挥中心（O）北偏西30°的A处，俄罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B处，两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后，中国舰艇向正东方向以60海里/小时的速度前进，俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达E，F处且相距280海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小．
【答案】
解：(1)如图①，延长FD到G，使DG=BE，连结AG．
在△ABE和△ADG中，AB=AD，BE=DG，∠B=∠ADG=90°，
∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，
在△AEF和△AGF中，AE=AG，AF=AF，EF=BE+FD=DG+FD=GF，
∴△AEF≌△AGF，∴∠EAF=∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠EAB+∠DAF
∴∠BAD=∠EAF+∠EAB+∠DAF=2∠EAF
∴∠EAF=∠BAD
(2)∠EAF=∠BAD仍然成立．
证明：如图②，延长FD到G，使DG=BE，连接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，
∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．
又∵EF=BE+DF，DG=BE，∴EF=DG+DF=GF．
∴△AEF≌△AGF（SSS）．∴∠EAF=∠GAF．
又∵∠GAF=∠DAG+∠DAF，∴∠EAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．
而∠EAF+∠BAE+∠DAF=∠BAD，
∴∠EAF=∠BAD
(3)如图③，连接EF，延长AE、BF相交于点C．
∵2小时后，舰艇甲行驶了120海里，舰艇乙行驶了160海里，
即AE=120，BF=160．而EF=280，∴在四边形AOBC中，有EF=AE+BF，
又∵OA=OB，且∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合(2)中的条件．
又∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∴∠EOF=∠AOB =70°．
答：此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小为70°．
专题01 全等三角形的判定
【典型例题】
2．（2020·湖南益阳·期末）下列条件中，不能判定与一定全等的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
2．（2020·江苏灌云·月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：∠ACB＝90°．
【答案】
证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），
∴∠EAC＝∠BCF，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．
3．（2020·陕西定边·期末）如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上．
（1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？
（2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长．
【答案】
解：（1）全等．理由如下
∵∠D＝∠ABE＝90°，
∴∠ABG＝90°＝∠D，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△GAB≌△FAD（ASA）；
（2）∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∵△GAB≌△FAD，
∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，
∴∠GAB+∠BAE＝45°，
∴∠GAE＝45°，
∴∠GAE＝∠EAF，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS）
∴EF＝GE
∵△GAB≌△FAD，
∴GB＝DF，
∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝2+3＝5．
【专题训练】
一、 选择题
1．（2020·新昌县拔茅中学月考）如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN（ ）
A．AM=CN B．AB=CD C．AM∥CN D．∠M=∠N
【答案】A
2．（2020·江苏灌云·月考）如图,某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块,现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃,最省事的方法是( )
A．带①和②去 B．只带②去 C．只带③去 D．都带去
【答案】C
3．（2020·抚顺市第五十九中学月考）如图5，已知：∠1＝∠2，要证明△ABC≌△ADE，还需补充的条件是（ ）
A．AB＝AD，AC＝AE B．AB＝AD，BC＝DE C．AC＝AE，BC＝DE D．以上都不对
【答案】C
4．（2020·浙江秀洲·高照实验学校月考）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，补充下列一组条件，仍无法判定△ABC≌△DEC的是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．∠B=∠E，∠A=∠D D．BC=EC，∠A=∠D
【答案】D
5．（2020·南部县第二中学月考）如图，已知AE垂直于∠ABC的平分线于点D，交BC于点E， ，若△ABC的面积为1，则△CDE的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
6．（2020·江苏江都·月考）如图， AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连结BF，CE．下列说法：①CE=BF；②△ABD和△ACD面积相等；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
二、 填空题
7．（2020·江苏灌云·月考）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是______________.（写一种即可）
【答案】AC=BD或AD=BC.(答案不唯一)
8．（2020·抚顺市第五十九中学月考）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为______.
【答案】90º
9．（2020·灌南县新知双语学校月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CD于E，BD⊥CD于D，AE＝5cm，BD＝2cm，则DE的长为________．
【答案】3
10．（2020·商城县第一中学月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是BC上一点，过点M作MD⊥AB于点D，且MC=MD,如果AC=8，AB=10，那么BD=________．
【答案】2
11．（2020·江苏江都·月考）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝_____．
【答案】55°
12．（2019·河南太康·期中）如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E=∠F=90°，BE=CF．BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC=∠FAB．有下列结论：①∠B=∠C；②CD=DN；③CM=BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的序号是________．
【答案】①③④
三、 解答题
13．（2021·山东东平县江河国际实验学校月考）如图，把一个三角板（AB=BC，∠ABC=90°）放入一个“U”形槽中，使三角板的三个顶点A、C、B分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90°，在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么大小关系？试说明你的结论.
【答案】
解：
即AD与BE在滑动过程中始终全等．
14．（2020·江苏灌云·月考）如图，AB//CD，∠B＝∠D，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）试判断AD与BE有怎样的位置关系，并说明理由；
（2）试说明△AOD≌△EOC．
【答案】
（1）AD//BE，
理由：∵AB//CD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠DCE＝∠D，
∴AD//BE；
（2）∵O是CD的中点，
∴DO＝CO，
在△ADO和△ECO中，
∴△AOD≌△EOC（ASA）．
15．（2020·南部县第二中学月考）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.
(1)求证：ΔABC≌△DEF；
(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.
【答案】
（1）∵AC=AD+DC， DF=DC+CF，且AD=CF
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）由（1）可知，∠F=∠ACB
∵∠A=55°，∠B=88°
∴∠ACB=180°－（∠A+∠B）=180°－（55°+88°）=37°
∴∠F=∠ACB=37°
16．（2021·重庆巴南·月考）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．
【答案】
（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
17．（2020·抚顺市教师进修学院附属中学月考）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，
(1)求证:△ABD≌△CFD；
(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长．
【答案】
（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，
∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，
∴∠BAD=∠OCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（AAS），
（2）∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF，
∵BC=7，AD=DC=5，
∴BD=BC﹣CD=2，
∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3．
18．（2020·南部县第二中学月考）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时
①请说明△ADC≌△CEB的理由；
②请说明DE=AD+BE的理由；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系：__________；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系：__________．
【答案】
（1）①证明：如图1中，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②证明：由①知△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE；
（2）结论：DE=AD﹣BE．
理由如下：
如图2中，∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC与△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC－CD=AD－BE；
（3）结论：DE=BE﹣AD．
理由如下：如图3中，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
又∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CED=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD－CE=BE－AD.
19．（2021·重庆巴南·月考）(1)问题背景：
如图 1，在四边形 ABCD 中，AB = AD，∠BAD= 120°，∠B =∠ADC= 90°，E，F 分别是 BC, CD 上的点，且∠EAF = 60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG=BE， 连结AG，先证明ΔΔADG，再证明ΔΔAGF，可得出结论，他的结论应是 ．
(2)探索延伸：
如图 2，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF=∠BAD，上述结论是否依然成立？并说明理由．
【答案】
解：（1）EF=BE+DF，证明如下：
在△ABE和△ADG中，
在△AEF和△AGF中，
故答案为 EF=BE+DF．
（2）结论EF=BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，如图②，
在△ABE和△ADG中
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
20．（2020·泰州市大泗学校月考）如图（1）所示在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，D、E分别是AB和AC上两点，且AD＝AE，连接DE，现将ADE绕点A顺时针旋转一定的角度，得图（2）．
（1）证明：CD＝BE；
（2）若直线CD与直线BE相交于点M，则∠CMB的度数；
（3）如图（3）若将CD、BE分别延长至F、G，使DF＝CD，EG＝BE，猜想AF与AG的数量关系、∠FAG与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】
（1）证明：∵旋转，
∴∠CAB＝∠DAE，
∴∠CAB－∠DAB ＝∠DAE－∠DAB，
即∠CAD＝∠BAE，
在CAD与BAE中，
，
∴CAD≌BAE（SAS）
∴CD＝BE；
（2）解：如图，
∵CAD≌BAE，
∴∠ACD＝∠ABE，
∵∠BOC＝∠ABE＋∠CMB＝∠ACD＋∠CAB，
∴∠CMB＝∠CAB＝ a，
∴∠CMB的度数为a；
（3）解：AF＝AG，∠FAG＝∠BAC，
理由如下：由（1）得CD＝BE，
又∵DF＝CD，EG＝BE，
∴DF＝EG，
∴DF＋CD＝EG＋BE，
即CF＝BG，
在CAF与BAG中，
，
∴CAF≌BAG（SAS）
∴AF＝AG，∠CAF＝∠BAG，
∴∠CAF－∠BAF＝∠BAG－∠BAF，
即∠BAC＝∠FAG．
21．（2020·江苏东台·月考）（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点，且BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG=BE，连结AG．先证明，再证明，从而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是 ．
（2）将（1）中的条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②），其余条件不变，上述数量关系是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由
（3）如图③，中俄两国海军在南海举行联合军事演习，中国舰艇在指挥中心（O）北偏西30°的A处，俄罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B处，两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后，中国舰艇向正东方向以60海里/小时的速度前进，俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达E，F处且相距280海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小．
【答案】
解：(1)如图①，延长FD到G，使DG=BE，连结AG．
在△ABE和△ADG中，AB=AD，BE=DG，∠B=∠ADG=90°，
∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，
在△AEF和△AGF中，AE=AG，AF=AF，EF=BE+FD=DG+FD=GF，
∴△AEF≌△AGF，∴∠EAF=∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠EAB+∠DAF
∴∠BAD=∠EAF+∠EAB+∠DAF=2∠EAF
∴∠EAF=∠BAD
(2)∠EAF=∠BAD仍然成立．
证明：如图②，延长FD到G，使DG=BE，连接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，
∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．
又∵EF=BE+DF，DG=BE，∴EF=DG+DF=GF．
∴△AEF≌△AGF（SSS）．∴∠EAF=∠GAF．
又∵∠GAF=∠DAG+∠DAF，∴∠EAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．
而∠EAF+∠BAE+∠DAF=∠BAD，
∴∠EAF=∠BAD
(3)如图③，连接EF，延长AE、BF相交于点C．
∵2小时后，舰艇甲行驶了120海里，舰艇乙行驶了160海里，
即AE=120，BF=160．而EF=280，∴在四边形AOBC中，有EF=AE+BF，
又∵OA=OB，且∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合(2)中的条件．
又∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∴∠EOF=∠AOB =70°．
答：此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小为70°．
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