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2020-2021学年 人教版八年级数学上册期末冲刺 专题01 《三角形》（教师版）
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专题01 三角形
1．三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形．
2．三角形的分类
（1）三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．
（2）三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形．
3．三角形三边的关系（重点）
（1）三角形的任意两边之和大于第三边．
三角形的任意两边之差小于第三边．（这两个条件满足其中一个即可）
用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a+b>c或c-b
当a最长，且有b+c>a时，就可构成三角形．
5．三角形的主要线段
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．
三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．
注意：
（1）三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；
（2）任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；
（3）任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部．但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部．
（4）一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点．（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交于一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部．）
（5）三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”．三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”．三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”．三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形．
6．三角形的稳定性
（1）三角形具有稳定性
（2）四边形及多边形不具有稳定性
要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了．
7．三角形的内角和定理
三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关．
8．直角三角形两个锐角的关系
直角三角形的两个锐角互余（相加为90°）．有两个角互余的三角形是直角三角形．一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；一个三角形中至少有两个内角是锐角．
9．三角形的外角
（1）三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角；
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
（3）三角形的外角和等于360°．
10．多边形
（1）在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角．多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角．连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
（2）一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n-3）条，其所有的对角线条数为．
（3）画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其他边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形．
（4）各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）
11．多边形的内角和
（1）n边形的内角和定理
n边形的内角和为（n−2）·180°
（2）n边形的外角和定理
多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关．
考点一、三角形三边关系
例1（2020徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm则它的第三边的长可能是（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9 cm
【答案】C．
【解析】设第三边的长为xcm，根据三角形的三边关系可得：6-3
【名师点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交与第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，掌握第三边的范围即可得解．
考点二、三角形的主要线段
例2 （2020武汉模拟）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（ ）
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
【答案】B
【解析】根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，
故选：B．
【名师点睛】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
考点三、三角形内角和
例3 （2020锦州）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（ ）
A. 80° B.90° C.100° D.110°
【答案】C
【解析】∵∠A=30°，∠B=50°，
∴∠ACB=180°-30°-50°=100°（三角形内角和定义）
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACB=×100°=50°.
∴∠ADC=∠BCD+∠B=50°+50°=100°.
故选：C.
【名师点睛】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键.
考点四、多边形内角和
例4 （2020北京）正五边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和为360°．
故答案为：360°．
考点五、三角形的外角
例5 （2020湘潭）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=110°，∠B=50°，则∠A=（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【答案】D
【解析】∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠B+∠A，
∴∠A= ACD-∠B，
∵∠ACD=110°，∠B=50°，
∴∠A=60°，
故选：D．
【名师点睛】本题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键．
考点六、三角形的稳定性
例6 （2020黄冈一模）下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】三角形具有稳定性．故选A．
【名师点睛】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．
考点七、多边形的边角关系
例7 （2020扬州）如图，小明从A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
【答案】A
【解析】∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，
∴他走过的图形是正多边形，
∴边数n=360°÷45°=8，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10=80（m）.
故选：B.
【名师点睛】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为360°；根据题意判断出小明走过的图形是正多边形是解题的关键.
一、选择题
1.（2020绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围城一个三角形（木棒允许连接，但不许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】①长度分别为2，3，3，4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2，6，4，不能构成三角形；
③长度分别为2，7，3，不能构成三角形；
④长度分别为6，3，3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5.
故选：B.
2.（2020大连）如图，△AC中，∠A=60°，∠B=40°，DE∥BC，则∠AED的度数是（ ）
A. 50° B. 60° C. 70° D.80°
【答案】D
【解析】∵∠C=180°-∠A-∠B，∠A=60°，∠B=40°，
∴∠C80°，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠C=80°.
故选：D.
3．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3；③∠A=90°-∠B；④∠A=∠B=∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】根据直角三角形的定义，只要有一个角为90°的三角形为直角三角形，以及三角形的内角和为180°，①②③④都有一个角为90°，故选D．
4．（2020上海模拟）联欢会上，A、B、C三名选手站在一个三角形三个顶点上玩抢凳子游戏，在他们中间放个木凳，谁先抢到凳子就获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当位置是△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三边中垂线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【答案】C
【解析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．故选C．
5．（2020吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠a的大小为（ ）
A.85° B.75° C.65° D.60°
【答案】B
【解析】如图所示，
∵∠BCD=65°， ∠BCA=45°，
∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=60°-45°=15°
∠a=180°-∠D-∠ACD=180°-90°-15°=75°.
故选：B.
6．（2020无锡）正十边形的每一个外角的度数为（ ）
A．36° B．30° C．144° D．150°
【答案】A
【解析】正十边形的每一个外角都相等，
因此每一个外角：360°÷10=36°，
故选：A．
7.（2020赤壁一模）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
【答案】B
【解析】∵DE⊥AB，∠A＝35°
∴∠AFE＝∠CFD＝55°，
∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝15°+55°＝70°．
故选：B．
8．如图，在中BC边上的高是（ ）
A．CE B．CF C．AD D．AC
【答案】C
【解析】∵AD⊥BC，∴在△ABC中，BC边上的高为线段AD．故选C．
9. （2020黄冈）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】360°÷36°=10，所以这个正多边形的边数是正十边形，
故选：D．
10．如图，在△ABC中，D，E分别为BC上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【答案】A
【解析】由于三角形的面积S=底×高，当高相等时只要底相等，面积就相等，因为BD=DE=EC，所以BE=CD，所以S△ABD=S△ADE，S△ABD=S△AEC，S△ADE=S△AEC，S△ABE=S△ADC，共4对，故选A．
二、填空题
11. （2020济宁）已知三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是 ．（写出一个即可）
【答案】4
【解析】根据三角形的三边关系，得
第三边应大于6-3=3，而小于6+3=9，
故第三边的长度3
12．(2020陕西模拟）正n边形的每个内角为120°，这个正n边形的对角线条数为 条．
【答案】
【解析】因为正n边形的每个内角为，所以正n边形的每个外角为，所以正n边形的边数n所以正n边形的对角线的条数为条．
故答案为：9．
13.（2020湘西州）若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是 ．
【答案】6.
【解析】设该多边形的边数为n，
根据题意，得，（n-2）180°=720°，
解得：n=6，
故多边形的边数为6．
故答案为：6．
14.如图，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则
∠BDE=__________°．
【答案】48
【解析】∵在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=（180°-66°-54°）=30°，
∴在△ADC中，∠ADC=180°-∠CAD-∠C=180°-30°-54°=96°．
又DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠ADC=48°．故答案为：48°．
15．如图，△ABC的周长为32，且BD=DC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为______．
【答案】8
【解析】由于△ABC中BD=DC，AD⊥BC，所以△ABC为等腰三角形，△ACD的周长=△ABD的周长，所以2AD=24+24-32=16，所以AD=8．故答案为：8．
16.（2020哈尔滨一模）在△ABC中,∠A=50°,∠B=30°,点D在AB边上,连接CD,若△ACD为直角三角形,则∠BCD的度数为______度
【答案】60或10
【解析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．
【解答】分两种情况：
①如图1，当∠ADC＝90°时，
∵∠B＝30°，
∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；
②如图2，当∠ACD＝90°时，
∵∠A＝50°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，
综上，则∠BCD的度数为60°或10°；
故答案为：60°或10；
三、解答题
17.（2020广西模拟）如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
F
E
D
C
B
A
【答案】详解见解析．
【解析】如图，连接BE．
F
E
D
C
B
A
1
∵∠1=∠C＋∠D，∠1=∠CBE＋∠DEB，
∴∠C＋∠D=∠CBE＋∠DEB，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F=∠A＋∠ABC＋∠CBE＋∠DEB＋∠DEF＋∠F=∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F．
又∵∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F=360°，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F=360°．
18.（2020黄石模拟）如图，在中，DB和DC分别平分内角和，和CG分别平分外角和，，求和的度数．
【答案】详解见解析．
【解析】、是内角平分线，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∵、是、的外角平分线，
∴，
∴．
19．（2020十堰模拟）如图，△ABC中，CD平分∠ACB，∠A=68°，∠BCD=31°．求∠B，∠ADC的度数．
【答案】详解见解析．
【解析】∵△ABC中，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=31°．
又∵在△ACD中，∠A=68°，
∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-68°-31°=81°，
∵∠ADC是△BCD中∠BDC的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BCD，
∴∠B=∠ADC-∠BCD=81°-31°=50°．
20．已知：如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度数．
【答案】详解见解析．
【解析】∵∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，
∴设∠A=3x，则∠ABC=4x，∠ACB=5x，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，
∴∠ABC=60°，∠ACB=75°．
∵BD为AC边上的高，∴∠BDC=90°，
∴在Rt△BDC中，∠DBC=90°-∠ACB=90°-75°=15°．
同理∠ECB=90°-∠ABC=30°，
∴在△BHC中，∠BHC=180°-15°-30°=135°．
21．（2020荆门模拟）如图，在△ABC中，∠A=50°，O是△ABC内一点，且∠ABO=20°，∠ACO=30°．求∠BOC的度数．
【答案】详解见解析．
【解析】连接AO并延长交BC于点D．
在△ABO中∠BOD=∠ABO+∠BAO，
在△ACO中∠COD=∠ACO+∠CAO．
因为∠A=∠BAO+∠CAO，∠BOC=∠BOD+∠COD，
所以∠BOC=∠BOD+∠COD=∠ABO+∠BAO+∠ACO+∠CAO=∠ABO+∠ACO+∠A=20°+30°+50°=100°．
22．已知：如图，在△ABC中，AB>AC，AM是BC边的中线．求证：AM>（AB-AC）．
【答案】详解见解析．
【解析】延长AM到D，使MD=AM，连接BD．
在△CMA和△BMD中，AM=DM，∠AMC=∠DMB，CM=BM，
∴△CMA≌△BMD，
∴BD=AC．
在△ABD中，AB-BD
23. （2020宜昌一模）如图，某校有一块三角形空地，要在上面栽种四种不同的花草，需将该空地分成面积相等的四块.请你设计几种不同的划分方案.
【答案】详解见解析．
【解析】利用三角形的中线分三角形为面积相等的两部分，作出△ABC的中线后，再作新三角形的中线，可得到多种设计方案.
如图所示：
24.（1）如图（1），在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，你能找出∠EAD与∠B、∠C之间的数量关系吗？并说明理由．
（2）如图（2），AE平分∠BAC，F为AE上一点，FM⊥BC于点M，这时∠EFM与∠B、∠C之间又有何数量关系？请你直接说出它们的关系，不需要证明．
【答案】详解见解析．
【解析】（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=∠BAC=（180°−∠B−∠C），
又∵AD⊥BC，
∴∠DAC=90°−∠C，
∴∠EAD=∠EAC−∠DAC=（180°−∠B−∠C）−（90°−∠C）=（∠C−∠B），
即∠EAD=（∠C−∠B）
（2）如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵FM⊥BC，
∴AD∥FM，
∴∠EFM=∠EAD=（∠C−∠B）．
25. （2020山西模拟）如图，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪(图中阴影部分)．
（1）图①中草坪的面积为__________；
（2）图②中草坪的面积为__________；
（3）图③中草坪的面积为__________；
（4）如果多边形的边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为__________．
【答案】详解见解析．
【解析】（1）三个角的和是：180°，则面积是：=πR2；
（2）四个内角的和是：360°，则面积是：=πR2；
（3）五个内角的和是：540°，则面积是：=πR2；
（4）多边形边数为n，则内角和是：（n-2）•180°，则面积是：=πR2.．
26．（2020恩施模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： ；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： ．
【答案】详解见解析．
【解析】（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，
∴∠1+∠2=∠C+∠α，
∵∠C=90°，∠α=50°，
∴∠1+∠2=140°；
故答案为：140°；
（2）由（1）得出：
∠α+∠C=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=90°+α
故答案为：∠1+∠2=90°+α；
（3）∠1=90°+∠2+α，
理由：∵∠2+∠α=∠DME，∠DME+∠C=∠1，
∴∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α．
（4）∵∠PFD=∠EFC，
∴180°﹣∠PFD=180°﹣∠EFC，
∴∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2，
∴∠2=90°+∠1﹣α．
故答案为：∠2=90°+∠1﹣α．
1．三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形．
2．三角形的分类
（1）三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．
（2）三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形．
3．三角形三边的关系（重点）
（1）三角形的任意两边之和大于第三边．
三角形的任意两边之差小于第三边．（这两个条件满足其中一个即可）
用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a+b>c或c-b
当a最长，且有b+c>a时，就可构成三角形．
5．三角形的主要线段
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．
三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．
注意：
（1）三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；
（2）任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；
（3）任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部．但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部．
（4）一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点．（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交于一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部．）
（5）三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”．三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”．三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”．三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形．
6．三角形的稳定性
（1）三角形具有稳定性
（2）四边形及多边形不具有稳定性
要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了．
7．三角形的内角和定理
三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关．
8．直角三角形两个锐角的关系
直角三角形的两个锐角互余（相加为90°）．有两个角互余的三角形是直角三角形．一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；一个三角形中至少有两个内角是锐角．
9．三角形的外角
（1）三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角；
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
（3）三角形的外角和等于360°．
10．多边形
（1）在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角．多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角．连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
（2）一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n-3）条，其所有的对角线条数为．
（3）画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其他边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形．
（4）各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）
11．多边形的内角和
（1）n边形的内角和定理
n边形的内角和为（n−2）·180°
（2）n边形的外角和定理
多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关．
考点一、三角形三边关系
例1（2020徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm则它的第三边的长可能是（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9 cm
【答案】C．
【解析】设第三边的长为xcm，根据三角形的三边关系可得：6-3
【名师点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交与第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，掌握第三边的范围即可得解．
考点二、三角形的主要线段
例2 （2020武汉模拟）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（ ）
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
【答案】B
【解析】根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，
故选：B．
【名师点睛】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
考点三、三角形内角和
例3 （2020锦州）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（ ）
A. 80° B.90° C.100° D.110°
【答案】C
【解析】∵∠A=30°，∠B=50°，
∴∠ACB=180°-30°-50°=100°（三角形内角和定义）
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACB=×100°=50°.
∴∠ADC=∠BCD+∠B=50°+50°=100°.
故选：C.
【名师点睛】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键.
考点四、多边形内角和
例4 （2020北京）正五边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和为360°．
故答案为：360°．
考点五、三角形的外角
例5 （2020湘潭）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=110°，∠B=50°，则∠A=（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【答案】D
【解析】∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠B+∠A，
∴∠A= ACD-∠B，
∵∠ACD=110°，∠B=50°，
∴∠A=60°，
故选：D．
【名师点睛】本题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键．
考点六、三角形的稳定性
例6 （2020黄冈一模）下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】三角形具有稳定性．故选A．
【名师点睛】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．
考点七、多边形的边角关系
例7 （2020扬州）如图，小明从A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
【答案】A
【解析】∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，
∴他走过的图形是正多边形，
∴边数n=360°÷45°=8，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10=80（m）.
故选：B.
【名师点睛】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为360°；根据题意判断出小明走过的图形是正多边形是解题的关键.
一、选择题
1.（2020绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围城一个三角形（木棒允许连接，但不许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】①长度分别为2，3，3，4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2，6，4，不能构成三角形；
③长度分别为2，7，3，不能构成三角形；
④长度分别为6，3，3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5.
故选：B.
2.（2020大连）如图，△AC中，∠A=60°，∠B=40°，DE∥BC，则∠AED的度数是（ ）
A. 50° B. 60° C. 70° D.80°
【答案】D
【解析】∵∠C=180°-∠A-∠B，∠A=60°，∠B=40°，
∴∠C80°，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠C=80°.
故选：D.
3．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3；③∠A=90°-∠B；④∠A=∠B=∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】根据直角三角形的定义，只要有一个角为90°的三角形为直角三角形，以及三角形的内角和为180°，①②③④都有一个角为90°，故选D．
4．（2020上海模拟）联欢会上，A、B、C三名选手站在一个三角形三个顶点上玩抢凳子游戏，在他们中间放个木凳，谁先抢到凳子就获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当位置是△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三边中垂线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【答案】C
【解析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．故选C．
5．（2020吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠a的大小为（ ）
A.85° B.75° C.65° D.60°
【答案】B
【解析】如图所示，
∵∠BCD=65°， ∠BCA=45°，
∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=60°-45°=15°
∠a=180°-∠D-∠ACD=180°-90°-15°=75°.
故选：B.
6．（2020无锡）正十边形的每一个外角的度数为（ ）
A．36° B．30° C．144° D．150°
【答案】A
【解析】正十边形的每一个外角都相等，
因此每一个外角：360°÷10=36°，
故选：A．
7.（2020赤壁一模）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
【答案】B
【解析】∵DE⊥AB，∠A＝35°
∴∠AFE＝∠CFD＝55°，
∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝15°+55°＝70°．
故选：B．
8．如图，在中BC边上的高是（ ）
A．CE B．CF C．AD D．AC
【答案】C
【解析】∵AD⊥BC，∴在△ABC中，BC边上的高为线段AD．故选C．
9. （2020黄冈）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】360°÷36°=10，所以这个正多边形的边数是正十边形，
故选：D．
10．如图，在△ABC中，D，E分别为BC上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【答案】A
【解析】由于三角形的面积S=底×高，当高相等时只要底相等，面积就相等，因为BD=DE=EC，所以BE=CD，所以S△ABD=S△ADE，S△ABD=S△AEC，S△ADE=S△AEC，S△ABE=S△ADC，共4对，故选A．
二、填空题
11. （2020济宁）已知三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是 ．（写出一个即可）
【答案】4
【解析】根据三角形的三边关系，得
第三边应大于6-3=3，而小于6+3=9，
故第三边的长度3
12．(2020陕西模拟）正n边形的每个内角为120°，这个正n边形的对角线条数为 条．
【答案】
【解析】因为正n边形的每个内角为，所以正n边形的每个外角为，所以正n边形的边数n所以正n边形的对角线的条数为条．
故答案为：9．
13.（2020湘西州）若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是 ．
【答案】6.
【解析】设该多边形的边数为n，
根据题意，得，（n-2）180°=720°，
解得：n=6，
故多边形的边数为6．
故答案为：6．
14.如图，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则
∠BDE=__________°．
【答案】48
【解析】∵在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=（180°-66°-54°）=30°，
∴在△ADC中，∠ADC=180°-∠CAD-∠C=180°-30°-54°=96°．
又DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠ADC=48°．故答案为：48°．
15．如图，△ABC的周长为32，且BD=DC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为______．
【答案】8
【解析】由于△ABC中BD=DC，AD⊥BC，所以△ABC为等腰三角形，△ACD的周长=△ABD的周长，所以2AD=24+24-32=16，所以AD=8．故答案为：8．
16.（2020哈尔滨一模）在△ABC中,∠A=50°,∠B=30°,点D在AB边上,连接CD,若△ACD为直角三角形,则∠BCD的度数为______度
【答案】60或10
【解析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．
【解答】分两种情况：
①如图1，当∠ADC＝90°时，
∵∠B＝30°，
∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；
②如图2，当∠ACD＝90°时，
∵∠A＝50°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，
综上，则∠BCD的度数为60°或10°；
故答案为：60°或10；
三、解答题
17.（2020广西模拟）如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
F
E
D
C
B
A
【答案】详解见解析．
【解析】如图，连接BE．
F
E
D
C
B
A
1
∵∠1=∠C＋∠D，∠1=∠CBE＋∠DEB，
∴∠C＋∠D=∠CBE＋∠DEB，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F=∠A＋∠ABC＋∠CBE＋∠DEB＋∠DEF＋∠F=∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F．
又∵∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F=360°，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F=360°．
18.（2020黄石模拟）如图，在中，DB和DC分别平分内角和，和CG分别平分外角和，，求和的度数．
【答案】详解见解析．
【解析】、是内角平分线，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∵、是、的外角平分线，
∴，
∴．
19．（2020十堰模拟）如图，△ABC中，CD平分∠ACB，∠A=68°，∠BCD=31°．求∠B，∠ADC的度数．
【答案】详解见解析．
【解析】∵△ABC中，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=31°．
又∵在△ACD中，∠A=68°，
∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-68°-31°=81°，
∵∠ADC是△BCD中∠BDC的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BCD，
∴∠B=∠ADC-∠BCD=81°-31°=50°．
20．已知：如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度数．
【答案】详解见解析．
【解析】∵∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，
∴设∠A=3x，则∠ABC=4x，∠ACB=5x，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，
∴∠ABC=60°，∠ACB=75°．
∵BD为AC边上的高，∴∠BDC=90°，
∴在Rt△BDC中，∠DBC=90°-∠ACB=90°-75°=15°．
同理∠ECB=90°-∠ABC=30°，
∴在△BHC中，∠BHC=180°-15°-30°=135°．
21．（2020荆门模拟）如图，在△ABC中，∠A=50°，O是△ABC内一点，且∠ABO=20°，∠ACO=30°．求∠BOC的度数．
【答案】详解见解析．
【解析】连接AO并延长交BC于点D．
在△ABO中∠BOD=∠ABO+∠BAO，
在△ACO中∠COD=∠ACO+∠CAO．
因为∠A=∠BAO+∠CAO，∠BOC=∠BOD+∠COD，
所以∠BOC=∠BOD+∠COD=∠ABO+∠BAO+∠ACO+∠CAO=∠ABO+∠ACO+∠A=20°+30°+50°=100°．
22．已知：如图，在△ABC中，AB>AC，AM是BC边的中线．求证：AM>（AB-AC）．
【答案】详解见解析．
【解析】延长AM到D，使MD=AM，连接BD．
在△CMA和△BMD中，AM=DM，∠AMC=∠DMB，CM=BM，
∴△CMA≌△BMD，
∴BD=AC．
在△ABD中，AB-BD
23. （2020宜昌一模）如图，某校有一块三角形空地，要在上面栽种四种不同的花草，需将该空地分成面积相等的四块.请你设计几种不同的划分方案.
【答案】详解见解析．
【解析】利用三角形的中线分三角形为面积相等的两部分，作出△ABC的中线后，再作新三角形的中线，可得到多种设计方案.
如图所示：
24.（1）如图（1），在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，你能找出∠EAD与∠B、∠C之间的数量关系吗？并说明理由．
（2）如图（2），AE平分∠BAC，F为AE上一点，FM⊥BC于点M，这时∠EFM与∠B、∠C之间又有何数量关系？请你直接说出它们的关系，不需要证明．
【答案】详解见解析．
【解析】（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=∠BAC=（180°−∠B−∠C），
又∵AD⊥BC，
∴∠DAC=90°−∠C，
∴∠EAD=∠EAC−∠DAC=（180°−∠B−∠C）−（90°−∠C）=（∠C−∠B），
即∠EAD=（∠C−∠B）
（2）如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵FM⊥BC，
∴AD∥FM，
∴∠EFM=∠EAD=（∠C−∠B）．
25. （2020山西模拟）如图，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪(图中阴影部分)．
（1）图①中草坪的面积为__________；
（2）图②中草坪的面积为__________；
（3）图③中草坪的面积为__________；
（4）如果多边形的边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为__________．
【答案】详解见解析．
【解析】（1）三个角的和是：180°，则面积是：=πR2；
（2）四个内角的和是：360°，则面积是：=πR2；
（3）五个内角的和是：540°，则面积是：=πR2；
（4）多边形边数为n，则内角和是：（n-2）•180°，则面积是：=πR2.．
26．（2020恩施模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： ；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： ．
【答案】详解见解析．
【解析】（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，
∴∠1+∠2=∠C+∠α，
∵∠C=90°，∠α=50°，
∴∠1+∠2=140°；
故答案为：140°；
（2）由（1）得出：
∠α+∠C=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=90°+α
故答案为：∠1+∠2=90°+α；
（3）∠1=90°+∠2+α，
理由：∵∠2+∠α=∠DME，∠DME+∠C=∠1，
∴∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α．
（4）∵∠PFD=∠EFC，
∴180°﹣∠PFD=180°﹣∠EFC，
∴∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2，
∴∠2=90°+∠1﹣α．
故答案为：∠2=90°+∠1﹣α．
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