2019北京市西城区初二（上）期末试卷

2019北京市西城区初二（上）期末
数 学 2019.1
试卷满分：100分，考试时间：100分钟
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是


（A） （B） （C） （D）
2．500米口径球面射电望远镜，简称FAST，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”． 2018年4月18日， FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将用科学记数法表示应为
（A）0.519×10-2 （B）5.19×10-3 （C）51.9×10-4 （D）519×10-6
3．在△ABC中，AB=3，AC=5，第三边BC的取值范围是
（A）10＜BC＜13 （B） 4＜BC＜12
（C）3＜BC＜8 （D） 2＜BC＜8
4．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于
（A）360° （B）540°
（C）720° （D）900°
5．对于一次函数y＝（k -3）x＋2，y随x的增大而增大，k的取值范围是
（A）k＜0 （B） k＞0 （C）k＜3 （D） k＞3
6．下列各式中，正确的是（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
7．如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是





（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁
8．小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90 km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是
（A） （B）
（C） （D）
9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是
（A）30° （B）45°
（C）60° （D）90°
10. 如图，线段AB=6cm，动点P以2cm/s的速度从A---B---A在线
段AB上运动，到达点A后，停止运动；动点Q以1cm/s的速度从B---A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动．若动点P，Q同时出发，设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为s（单位：cm），则能表示s与t的函数关系的是





（A） （B） （C） （D）
二、填空题（本题共18分，第11～16题，每小题2分，第17题3分，第18题3分）
11．若分式的值为0，则x的值为 ．
12．在平面直角坐标系xOy中，点（1，-2）关于x轴对称的点的坐标为 ．
13．计算20 + 2-2 = ．
14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．若AC=7，BC=5，则△BDC的周长是 ．
15．如图，边长为a cm的正方形，将它的边长增加b cm，根据图形
写一个等式 ．
16．如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点E．若BC=6 cm，DE=2 cm，则△BCD的面积为 cm2．






第16题图 第17题图
17．如图，在平面直角坐标系xOy中， 点A的坐标为 （4，－3），且OA=5，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形．
（1）写出一个符合题意的点P的坐标 ；
（2）请在图中画出所有符合条件的△AOP．
18．（1） 如图1，∠MAB=30°，AB=2cm．点C在射线AM上，利用图1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，选取的BC的长约为 cm（精确到0.1cm）．
（2）∠MAB为锐角，AB=a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d， BC=x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 ．
三、解答题（本题共30分，每小题6分）
19．（1）分解因式 （2）分解因式
（1）解： （2）解：

20．计算
解：

21．解方程
解：
22．如图，点A,B,C, D在一条直线上，且AB=CD，若∠1=∠2，EC=FB．
求证：∠E=∠F.
证明：



23．在平面直角坐标系xOy中，直线l1: y=3x与直线l2: y=kx+b交于点A(a，3) ，点B(2，4) 在直线l2上．
（1）求a的值；
（2）求直线l2的解析式；
（3）直接写出关于x的不等式3x ＜ kx+b的解集．
解：（1）

（2）

（3）关于x的不等式3x ＜ kx+b的解集为_________________．


四、解答题（本题共12分，第24题7分，第25题5分）
24．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的两个顶点的坐标分别为A(-2，0) ，D(-2，4) ，顶点B在x轴的正半轴上．
（1）写出点B，C的坐标；
（2）直线y=5x+5与x轴交于点E，与y轴交于点F．求△EFC的面积．
解：（1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
（2）




25．阅读下列材料
下面是小明同学“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段AB（如图1）．
求作：△ABC，使∠CAB=90°，∠ABC=60°．
作法：如图2,
（1）分别以点A ，点B为圆心，AB长为半径画弧，
两弧交于点D，连接BD；
（2）连接BD并延长，使得CD=BD；
（3）连接AC ．
△ABC就是所求的直角三角形．
证明：连接AD．
由作图可知，AD= BD = AB，CD=BD，
∴△ABD是等边三角形(等边三角形定义)．
∴ ∠1=∠B=60° (等边三角形每个内角都等于60°) ．
∴ CD=AD．
∴ ∠2=∠C (等边对等角) ．
在△ABC中，∠1+∠2+∠B+∠C=180° (三角形的内角和等于180°) ．
∴ ∠2=∠C=30°．
∴ ∠1+∠2=90° (三角形的内角和等于180°) ，即∠CAB=90°．
∴△ABC就是所求作的直角三角形．
请你参考小明同学解决问题的方式，利用图3再设计一种“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据．
作法：

图3
证明：
五、解答题（本题8分）
26．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．
（1）如图1，若∠BAC=100°，求∠BDF的度数；
（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．
①补全图2；
②若BN=DN，求证：MB=MN．





图1 图2
（1）解：
（2）① 补全图形；
② 证明：

数学试题答案
一、选择题（本题30分，每小题3分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
B
D
C
C
A
C
D
二、填空题（本题共18分，第11～16题每小题2分，第17，18题每小题3分）
题号
11
12
13
14
15
16
答案
1
（1， 2）

12
a2 + 2ab + b2 = ( a + b ) 2
6
题号
17
18
答案
（1）答案不唯一，如：（-5，0）；
（2）如图，







(1) 答案不唯一，如：
BC=1.2cm；






(2) x=d或x≥a．

三、解答题（本题共30分，每小题6分）
19．（1）解：
=
= 3分
（2）解：
=
= 3分
20． 解：
=
=
=
= 6分
21．解：方程两边乘 (x - 3)(x + 3)，得 x(x+3) + 6 (x -3)= x2 -9．
解得 x = 1 ．
检验：当x = 1时，(x - 3)(x + 3)≠0．
所以，原分式方程的解为x =1 ． 6分
22．证明：∵ ∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°．
又 ∵ ∠1=∠2，
∴ ∠3=∠4，
∵ AB = CD，
∴ AB + BC = CD + BC
即AC = DB． 3分
在△ACE和△DBF中，
∵
∴ △ACE ≌△DBF． 5分
∴ ∠E=∠F． 6分
23．解：（1）直线l1: y=3x与直线l2: y=kx+b交于点A(a，3) ，
所以 3a =3．
解得 a =1．
（2）由（1）点A(1，3) ，
直线l2: y=kx+b过点A(1，3) ，
点B(2，4) ，
所以 ．
解方程组得
直线l2的解析式为 y=x+2． 4分
（3）x＜1．
6分
四、解答题（本题共12分，第24题8，第25题6分）
24．解：（1）点B的坐标为 (2，0) ，点C的坐标(2，4)； 2分
直线EC的解析式为 ，
（2）直线y=5x+5与x轴交于点E (-1，0) ，与y轴交于点F(0，5) ． 4分
直线EC的解析式为 ，
EC与y轴交于点H（0，），
所以 FH=．
所以 S△EFC==． 8分
25．（本题5分）
本题答案不唯一，如：
作法：如图3,
（1）延长BA至B’，使得AB’=AB；
（2）分别以点B ，点B’ 为圆心，BB’长为半径画弧，
两弧交于点C；
（3）连接AC，BC．
△ABC就是所求的直角三角形． 1分
证明:连接B’C．
由作图可知， BC= BB’ = B’C，AB’=AB，
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形定义)．
∴ ∠B=60° (等边三角形每个内角都等于60°) ．
∴ AC⊥BB’于点E (等边三角形一边上的中线与这边上的高相互重合) ．
∴ △ABC就是所求作的直角三角形． 6分
四、解答题（本题共8分）
26．（1）解： 在等边三角形△ACD中，
∠CAD =∠ADC =60°，AD＝AC．
∵ E为AC的中点，
∴∠ADE=∠ADC＝30°． 2分
∵ AB＝AC，
∴ AD＝AB．
∵ ∠BAD=∠BAC+∠CAD＝160°．
∴ ∠ADB=∠ABD＝10°．
∴ ∠BDF=∠ADF -∠ADB＝20°． 4分
（2）①补全图形，如图所示． 5分
②证明：连接AN．
∵ CM平分∠ACB，
∴ 设 ∠ACM=∠BCM=α．
∵ AB＝AC，
∴ ∠ABC=∠ACB=2α．
在等边三角形△ACD中，
∵ E为AC的中点，
∴DN⊥AC．
∴ NA=NC．
∴ ∠NAC=∠NCA=α．
∴ ∠DAN=60°+ α．
在△ABN和△ADN中，
∵
∴ △ABN ≌△ADN．
∴ ∠ABN=∠ADN＝30°，∠BAN=∠DAN＝60°+ α．
∴ ∠BAC＝60°+ 2α．
在△ABC中，∠BAC+∠ACB +∠ABC＝180°，
∴ 60°+ 2α+ 2α+2α=180°．
∴α=20°．
∴ ∠NBC=∠ABC-∠ABN= 10°．
∴ ∠MNB=∠NBC+ ∠NCB=30°．
∴ ∠MNB=∠MBN．
∴ MB=MN． 8分