初中21.2.1 配方法教学设计

一元二次方程及其解法——直接开平方法、配方法

课首沟通

1、了解学生最近的学习情况

2、回顾之前所学的平方根、完全平方公式

知识导图

课首小测

1. [单选题] 4的平方根是（ ）

A．2 B．-2 C．±2 D．16

2. [单选题] （2016年武汉市中考试题） 运用乘法公式计算（x+3）2的结果是（ ）

A．x2+9 B．x2-6x+9 C．x2+6x+9 D．x2+3x+9

3. 因式分解：x2-4xy+4y2=           。

4. 解方程：（2x-1）2=4．

导学一 ： 一元二次方程的有关概念

知识点讲解 1：一元二次方程的定义

例 1. [单选题] 下列方程是一元二次方程的是（ ）

A．x2-y=1 B．x2+2x-3=0 C．x2+ =3 D．x-5y=6

例 2. [单选题] 有下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0，②3x（x-4）=0，③x2+y-3=0，④+x=2，⑤x3-3x+8=0，⑥ x2-5x+7=0，⑦（x-2）（x+5）=x2-1．其中是一元二次方程的有（              ）

A．2 B．3 C．4 D．5

例 3. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的值是                  。

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1. [单选题] （2015年佛山市期末试题） 下列选项中一元二次方程的是（ ）

A．x=2y-3 B．2（x+1）=3 C．2x2+x-4 D．5x2+3x-4=0

2. [单选题] （2016年汕头市校级期中试题） 下列方程中：①7x2+6=3x；②=7；③x2-x=0；④2x2-5y=0；⑤-x2=0． 是一元二次方程的有（              ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3.   [单选题] （2016年桂林市期末试题） 已知关于x的方程（a-1）x|a|+1-2x-1=0是一元二次方程，则a的值为（ ） A.-1              B.1              C.0              D.1或-1

4.   [单选题] （2016年中山市期末试题） 若关于x的方程（m-2）x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A．m≠2              B．m=2              C．m≥2              D．m≠0

知识点讲解 2：一元二次方程的一般形式

例 1. 一元二次方程（x+3）（x-3）=2x化为一般形式，二次项系数为         ，一次项系数为       ，常数项为

       。

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1. [单选题]  一元二次方程3x2-4x-5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）

A．3，-4，-5 B．3，-4，5 C．3，4，5 D．3，4，-5

2. [单选题]  把一元二次方程（x+2）（x-2）=5x化成一般形式，正确的是（ ）

A. x2-5x-4=0 B．x2-5x+4=0 C．x2+5x-4=0 D．x2+5x+4=

3. 方程（x-1）（2-2x）=3化成标准形式为              ，其中二次项系数，一次项系数，常数项分别为

            。

知识点讲解 3：一元二次方程的解

例 1. [单选题] （2016年武汉市期末试题） 在数1、2、3和4中，是方程x2+x-12=0的根的为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

例 2. 已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是        。

例 3. 若关于x的一元二次方程（k-1）x2-x+k2=0的一个根是1，则k的值为           。

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1. [单选题] 下列哪个是一元二次方程x2-6x+8=0的解（ ）

A．-2或-4 B．2 C．2或4 D．无解

2. [单选题]  若关于x的一元二次方程x2-x-m=0的一个根是x=1，则m的值是（ ）

A．1 B．0 C．-1 D．2

3. 若方程（a-3）x2+4x+3-|a|=0的一根为0，则a=        。

导学二 ： 一元二次方程的解法——直接开平方法

例 1. 解方程：（1）x2-2=0 （2）9x2=16

（3）（x-1）2=4 （4）9（3x-2）2=64

（5）（x-3）2-25=0． （6）2（x-1）2-16=0

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1. [单选题] （2015年深圳市期末试题） 一元二次方程x2-9=0的解是（ ）

A．x=-3 B．x=3 C．x1=3，x2=-3 D．x=81

2. [单选题] 下列方程能直接开平方的是（ ）

A．5x2+2=0 B．4x2-2x+1=0 C．（x-2）2=4 D．3x2+4=2

3. [单选题]  若方程（x-4）2=a有实数解，则a的取值范围是（ ）

A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．无法确定

4. 解方程：（1）x2+4=12 （2）（2x-5）2=9

（3）16x2-25=0 （4）5（x-1）2=125

（5）（x-2）2-16=0 （6）2（x-1）2-8=0

导学三 ： 一元二次方程的解法——配方法

知识点讲解 1：一元二次方程的解法——配方法

例 1. 用配方法解方程x2-6x=2时，方程的两边同时加上       ，使得方程左边配成一个完全平方式．

例 2. （2015年西城区期末试题） 将一元二次方程x2+8x+3=0化成（x+a）2=b的形式，则a+b的值为           。

例  3. 方程2x2-8x+3=0配方后可写出（x+m）2=b的形式，方程两边先同时除以二次项系数2得到           ，然后把常数项移到方程的右边得到               ，方程左右两边同时加上               ，使得方程左边配成一个完全平方

式。

例 4. 解方程：（1）x2-2x=4 （2）x2-6x+6=0

（3）x2+6x+7=0 （4）2x2+3x-7=0

知识点讲解 2：配方法的应用

例 1. （2016年海口市校级月考试题） 试用配方法说明，无论x取何值，代数式-x2+4x-5式的值总是负数，并指出当x取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？

例 2. （2016年无锡市校级月考试题） 用配方法证明代数式2x 2-x+3的值不小于 。

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1. [单选题] 当x取何值时，代数式x2-6x-3的值最小（ ）

A．0 B．-3 C．3 D．-9

2.   （2016年南通市校级月考试题） 阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4-（y+2）2+4

∵（y+2）2≥0

∴（y+2）2+4≥4

∴y2+4y+8的最小值为4

仿照上面的解答过程，求x2-x+4的最小值和6-2x-x2的最大值．

3. 求证：代数式3x2-6x+9的值恒为正数．

限时考场模拟 ： （15分钟）

1.   [单选题] （2016年茂名市校级期中试题） 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（  ）       A．                      B．ax2+bx+c=0              C．x2-2x-3=0              D．x2+2x=x2-1
2. [单选题]  关于x的方程（m-3）xm2-7-3x-4=0是一元二次方程，则m=           。

3. [单选题]  把一元二次方程（x+2）（x-3）=4化成一般形式，得（ ）

A．x2+x-10=0 B．x2-x-6=4 C．x2-x-10=0 D．x2-x-6=0

4. （2015年孝感市校级月考试题）  已知方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一根是1，那么a+b+c=          。

5. [单选题]  已知b＜0，关于x的一元二次方程（x-1）2=b的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根

6. 解方程：（1）（2x+1）2=3 （2）9（2x-5）2-4=0

（3）x2+4x-8=0 （4）2x2-3x-3=0

7. 用配方法求x2-6x+2的最小值．

课后作业

1. 若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x-1=0是一元二次方程，则m=           。

2. （2016年菏泽市中考试题）  已知m是关于x的方程x2-2x-3=0的一个根，则2m2-4m=                。

3. 方程（x-2）2+4=0的解是        。

4. 解方程：（1）x2-x-1=0 （2）12（3-x）2-48=0

1、总结中线倍长题型的特点及对应的解题方法

2、根据学生的掌握情况布置相应的练习，让学生课后巩固所学知识方法

课首小测

1.C

2.C

3.（x-2y）2

4.  

解析: 解：∵（2x-1）2=4，

∴2x-1=±2，

∴2x-1=2或2x-1=-2，

∴  

导学一

知识点讲解 1：一元二次方程的定义例题

1.B

2.A

3.-1

解析:

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1.D

2.C

3.A

4.A

解析:

解：由题意，得m-2≠0， m≠2，

故选：A．

知识点讲解 2：一元二次方程的一般形式例题

1.1,-2,-9

解析: 解：方程整理得：x2-2x-9=0，二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为-9，

故答案为：1；-2；-9

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1.A

2.A

3.2x2-4x+5=0，2，-4，5．

知识点讲解 3：一元二次方程的解例题

1.C

2.-3

解析: 解：把x=2代入方程x2+mx+2=0，可得4+2m+2=0，得m=-3， 故答案为：-3．

3.-2

解析: 解：把x=1代入（k-1）x2-x+k2=0得k-1-1+k2=0，解得k1=-2，k2=1， 而k-1≠0，

所 以 k=-2． 故答案为-2．

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1.C

2.-2

3.-3

解析: 解：∵方程（a-3）x2+4x+3-|a|=0的一根为0，

∴3-|a|=0， 解得：a=±3，

∵a-3≠0，

∴a=-3，

导学二例题

1.（1） ；（2） ；（3）x1=3，x2=-1；（4） ；（5）x18，x2=-2；（6）

解析:（1）x2-2=0， x2=2，

（2）

（3）解：两边直接开平方得：x-1=±2，

∴x-1=2 或 x-1=-2， 解得：x1=3，x2=-1．

（4）

（5）解：移项，得

（x-3）2=25， 开方，得

x-3=±5， x1=3+5=8，x2=3-5=-2．

（6）解：（1）2（x-1）2-16=0，

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1.C

2.C

3.B

解析: 解：∵方程（x-4）2=a有实数解，

∴x-4=± ，

∴a≥0； 故选B．

4.（1） ；（2）x1=4，x2=1；（3） ；（4）x1=6，x2=-4；（5）x1=6，x2=-2；（6）

x1=-1，x2=3

解析:（1）解：（1）x2+4=12 x2=8，

（2）解：∵（2x-5）2=9，

∴2x-5=3或2x-5=-3， 解得x1=4，x2=1．

（3）16x2=25

（4）解：两边都除以5，得

（x-1）2=25， 开方，得

x-1=±5，

即x1=6，x2=-4．

（5）解：（x-2）2-16=0

（x-2）2=16 x-2= 4

解得x1=6，x2=-2．

（6）解：（1）移项得：2（x-1）2=8，

两边同时除以2得：（x-1）2=4，

两边直接开平方得；x-1=2或x-1=-2， 解得：x1=-1，x2=3；

导学三

知识点讲解 1：一元二次方程的解法——配方法例题

1.9

2.17

解析: 解：方程x2+8x+3=0， 移项得：x2+8x=-3，

配方得：x2+8x+16=13，即（x+4）2=13， 可得a=4，b=13，

则a+b=13+4=17． 故答案为：17．

3. ， ，4，

4.（1） ；（2）x1=5，x2=1；（3） ；（4）

解析:（1）解：配方x2-2x+1=4+1

∴（x-1）2=5

（2）解：由原方程移项，得x2-6x=-5，

等式两边同时加上一次项系数一半的平方32．得x2-6x+32=-5+32，即（x-3）2=4，

∴x=3±2，

∴原方程的解是：x1=5，x2=1．

（3）解：（1）x2+6x+7=0（用配方法解） x2+6x=-7，

x2+6x+9=-7+9，

则（x+3）2=2，

（4）2x2+3x=7，

知识点讲解 2：配方法的应用例题

1.x=2时，代数式-x2+4x-5有最大值，最大值为-1．

解析: 解：-x2+4x-5=-（x-2）2-1=-[（x-2）2+1]＜0，即不论x为何值，代数式-x2+4x-5的值都小于零； 当（x-2）2=0，即x=2时，代数式-x2+4x-5有最大值，最大值为-1．

2.

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1.C

2.（1）最小值是 ，最大值是7. 解析:

（2）6-2x-x 2=-（x+1） 2+7，

∵-（x+1） 2≤0，

∴-（x+1） 2+7≤7，

则6-2x-x 2的最大值为7．

3.证明：∵对于任何实数x，（x-1）2≥0，∴3x2-6x+9=3（x2-2x）+9=3（x2-2x+1）+9-3=3（x-1）2+6≥6＞0，则对于任 何实数x，代数式3x2-6x+9的值恒为正数

限时考场模拟

1.C

2.-3

3.C

4.0

解析: 解：∵x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，

∴a×12+b×1+c=0，

∴a+b+c=0， 故答案为0 5.C

6.（1） ；（2） ；（3） ;

（4）

解析:（1）

（2）解：9（2x-5）2-4=0

（3）解：x2+4x=8，

x2+4x+4=8+4，即（x+2）2=12，

（4）解：2x2-3x-3=0，

7.解：∵x2-6x+2=x2-6x+9-9+2=（x-3）2-7，

∴x2-6x+2的最小值是-7．

课后作业

1.2

2.6

解析: 解：∵m是关于x的方程x2-2x-3=0的一个根，

∴m2-2m-3=0，

∴m2-2m=3，

∴2m2-4m=6， 故答案为：6．

3.无解

解析: 解：移项得，（x-2）2=-4，

∵-4＜0，

∴方程（x-2）2+4=0无解， 故答案为无解．

4.（1） ；（2）x1=1，x2=5

解析:（1）原方程变形为：x2-x=1

（2）12（3-x）2-48=0， 12（3-x）2=48，

（3-x）2=4， 3-x=±2，

x1=1，x2=5．