专题01 全等三角形中动点问题-2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

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2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题01 全等三角形中动点问题
【典型例题】
1．（2021·湖北武汉·八年级期中）如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之停止）．问：x为何值时，△ACP与△BPQ全等？

【答案】x的值为2或
【分析】
由于∠CAB=∠DBA，所以△ACP与△BPQ全等分两种情况讨论：若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，即5=7-2t，2t=xt；②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，即5=xt，2t=7-2t，然后分别求出x即可．
【详解】
解： AB＝7cm，AC＝5cm，

△ACP与△BPQ全等，分两种情况讨论：
①若△ACP≌△BPQ， 则AC=BP，AP=BQ，
可得：5=7-2t，2t=xt， 解得：x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP， 则AC=BQ，AP=BP，
可得：5=xt，2t=7-2t， 解得：．
综上所述，x的值为2或时，△ACP与△BPQ全等．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定和性质和动点相结合，解题关键是全等知识点熟练应用和动点的情况分析．

【专题训练】
一、 填空题
1．（2021·山东微山·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 ___cm/s．

【答案】1 或
【分析】
根据题意可得当和时两种情况讨论，然后根据全等三角形对应边相等分别列出方程求解即可．
【详解】
解：设点F的运动速度为x m/s，
由题意可得，，，，
当时，
∴，
∴，
解得：，
∴此时点F的运动速度为1m/s；
当时，
，，
∴，，
解得：，．
∴此时点F的运动速度为m/s；
故答案为：1 或 ．
【点睛】
此题考查了三角形全等的判定和性质，几何动点问题，解题的关键是根据题意分情况讨论，分别根据全等三角形的性质列出方程求解．
2．（2021·江西·上高中学八年级期中）已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为__秒时，△ABP和△DCE全等．

【答案】1或7
【分析】
分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2或AP=16-2t=2即可求得结果．
【详解】
因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，
根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP＝2t＝2，
所以t＝1，
因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP＝16﹣2t＝2，
解得t＝7．
所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故答案为：1或7．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，要注意分类讨论．
3．（2021·河北·石家庄市第四十二中学八年级阶段练习）如图，AE与BD相交于点C，AC=EC，BC=DC，AB=4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以lcm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t(s)．连接PQ，当线段PQ经过点C时，t的值为______．

【答案】1或2
【分析】
先证△ACP≌△ECQ（ASA），得AP=EQ，再分两种情况，当0≤t≤时，3t=4-t，解得t=1；当＜t≤时，8-3t=4-t，解得t=2即可．
【详解】
解：在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠A=∠E，
在△ACP和△ECQ中，
，
∴△ACP≌△ECQ（ASA），
∴AP=EQ，
当0≤t≤时，3t=4-t，
解得：t=1；
当＜t≤时，8-3t=4-t，
解得：t=2；
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1s或2s．
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等是解题的关键．
4．（2021·河北·邯郸市永年区教育体育局教研室八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90，AC=6，BC=8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，CQ的长为_______．

【答案】5或2.5或6
【分析】
分三种情况：（1）当P在AC上，Q在BC上时；（2）当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时；（3）当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时；得出关的方程，解方程求得的值，进而求得的长．
【详解】
解：当P在AC上，Q在BC上时，
∵∠ACB=90，
∴∠PCE+∠QCF=90°，
∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．
∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PEC=∠CFQ=90°，
∴∠EPC=∠QCF，
∴△PCE≌△CQF，
∴PC=CQ，
∴6-t=8-3t，解得t=1，
∴CQ=8-3t=5；
当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ=PC，
由题意得，6-t=3t-8，
解得t=3.5，
∴CQ=3t-8=2.5，
当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ=AC=6，
综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6，
故答案为：5或2.5或6．
【点睛】
本题考查了全等三角形判定与性质，根据题意得出关于的方程是解题的关键．
5．（2021·广东阳东·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(﹣2，0)，C(2，0)，作DOC，使DOC与AOB全等，则点D的坐标可以为________．

【答案】(0，4)或(0，-4)或(2，4)或(2，-4)
【分析】
由于OB＝OC，∠AOB＝90°，OA＝4，若OD＝4，∠DOC＝90°时，可判断△DOC≌△AOB，从而得到此时D点坐标；若CD＝4，∠OCD＝90°时，可判断△DCO≌△AOB，从而得到此时D点坐标．
【详解】
解：

∵B（−2，0），C（2，0），
∴OB＝OC，
∵∠AOB＝90°，OA＝4，
∴当OD＝4，∠DOC＝90°时，△DOC≌△AOB（SAS），此时D点坐标为（0，4）或（0，−4）；
当CD＝4，∠OCD＝90°时，△DCO≌△AOB（SAS），此时D点坐标为（2，4）或（2，−4）．
故答案为（0，4）或（0，−4）或（2，4）或（2，−4）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．解题关键是掌握全等三角形的判定．
二、解答题
6．（2021·河南义马·八年级期中）已知：如图，在长方形中，，点E为中点．点P在线段上以每秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．设点P的运动时间为t秒，解答下列问题：

（1）线段的长可用含t的式子分别表示为 ， ；
（2）若某一时刻与全等，求此时t的值和点Q的运动速度．
【答案】（1）；（2）s，cm/s或s，cm/s
【分析】
（1）利用路程等于速度乘以时间可得 再利用 可得的长度；
（2）要使△BPE与△CQP全等，对应关系不明确，分两种情况讨论：①若△BPE≌△CQP，② 若△BPE≌△CPQ，再利用全等三角形的对应边相等建立方程求解即可.
【详解】
解：（1）由题意可得：

故答案为：
（2） E为中点，长方形，

要使△BPE与△CQP全等，对应关系不明确，分两种情况讨论：
①若△BPE≌△CQP，如图①

则，即，
解得
∴，
② 若△BPE≌△CPQ，如图②

则，即，
解得
∴，
综上所述，当s，cm/s，或s，cm/s时，△BPE与△CQP全等．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明三角形全等，清晰的分类讨论”是解题的关键.
7．（2021·陕西富县·八年级期中）如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，点M从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点M的运动时间为ts．

（1）MC＝　 　cm；（用含t的代数式表示）
（2）若△ABM≌△DCM，求出此时t的值；
（3）如图2，当点M从点B开始运动时，点N同时从点C出发，以xcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的x值，使得△ABM与△MNC全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）(12﹣2t);（2）3;（3）x=2或x=
【分析】
（1）根据题意求出BM，计算即可；
（2）根据全等三角形的判定定理解答；
（3）分△ABM≌△NCM和△ABM≌△MCN两种情况，根据全等三角形的性质解答．
【详解】
解：（1）∵点M的速度是2cm/s，
∴ts后BM=2tcm，
∴MC=BC−BM=(12−2t)cm，
故答案为：(12﹣2t)
（2）△ABM≌△DCM；
BM=CM=6，
∵12﹣2t
∴t=3
（3）∵四边形是长方形，
∠B=∠C=90°，
∴当AB=MC,BM=CN时,△ABM≌△MCN，
∴12−2t=8，2t=xt，
解得，t=2，x=2，
当AB=NC,BM=CM时, △ABM≌△NCM，
此时，点M为BC的中点，点N与点D重合，
∴2t=6, xt=8，
解得，t=3，x=，
综上所述，当x=2或x=时，△ABM≌△MCN全等．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
8．（2021·江西余干·八年级期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．当一个点停止运动时时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．
（1）用含有t的代数式表示CP．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

【答案】（1）；（2）全等，理由见解析；（3）
【分析】
（1）由运动知，BP=3t，即可得出结论；
（2）先求出BP=3，CP=5，CQ=3，得出BP=CQ，再判断出CP=BD，即可得出结论；
（3）分两种情况，利用全等三角形的对应边相等建立方程求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）由运动知，BP=3t，
∵BC=8，
∴PC=BC-BP=8-3t；
（2）全等，理由：
当t=1时，BP=3，CP=5，CQ=3，
∴BP=CQ，
∵点D是AB的中点，
∴BD=AB=5，
∴CP=BD，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（3）∵BP=3t，CP=8-3t，
设点Q的运动速度为xcm/s，
∴CQ=xt，
当△BPD≌△CQP时，
∴BP=CQ，
∴3t=xt，
∴x=3（不符合题意），
当△BPD≌△CPQ时，
∴BP=CP，BD=CQ，
∴3t=8-3t，5=xt，
∴t=，x=，
∴点Q的运动速度为cm/s时，能使△BPD与△CQP全等．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，中点的定义，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
9．（2021·安徽阜阳·八年级期中）如图（1），，，垂足分别为A、B，．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“，”改为“”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
【答案】（1）PC⊥PQ，理由见解析；（2）2或
【分析】
（1）根据SAS证明△ACP和△BPQ全等，进而解答即可；
（2）根据全等三角形的性质得出方程解答即可．
【详解】
解：（1）△ACP≌△BPO，PC⊥PQ．
理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
∵AP=BQ=2，
∴BP=7，
∴BP=AC，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠C=∠BPQ，
∵∠C+∠APC=90°，
∴∠APC+∠BPQ=90°，
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
可得：7=9-2t，2t=xt，
解得：x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，可得：7=xt，2t=9-2t
解得：x＝，t=，
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△ACP和△BPQ全等解答，解决此题的是注意分类讨论．
10．（2021·山东龙口·七年级期中）如图，AB=9cm，AC=3cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点B向点A运动，同时点Q在射线BD上以2cm/s的速度由点B沿射线BD的方向运动．它们运动的时间为t(s)．
（1）如图①，若AC⊥AB，BD⊥AB，当t=3时，说明ACP≌BPQ，并求∠CPQ的度数；
（2）如图②，∠CAB=∠DBA=，若ACP与BPQ全等，求出此时t的值，并直接写出∠CPQ的度数；
（3）如图②，若将条件中“AB=9cm”改为“AB＝10cm”，其它条件不变，∠CAB=∠DBA=，是否存在t的值，使ACP与BPQ全等？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）90°；（2）；；（3）不存在，见解析
【分析】
（1）根据t=3时，分别计算出的长度，然后根据全等三角形的判定定理判断ACP≌BPQ，根据全等三角形对应角相等可得∠CPQ的度数；
（2）分两种情况进行讨论，当AC＝BQ时和AC＝BP时，然后根据全等三角形对应角相等得出答案；
（3）同样分两种情况进行讨论，或,分别计算各边的长度，检验是否符合题意即可．
【详解】
解：（1）由题意，得BP＝tcm，AP＝(9－t)cm，BQ＝2tcm，∠A＝∠B＝90°，
当t＝3时，BP＝3cm，AP＝6cm，BQ＝6cm，
∵AC＝3cm，
∴AC＝BP，AP＝BQ，
∴△ACP≌△BPQ，
∴∠BPQ=∠C，
∵∠A=90°，
∴∠APC+∠C=90°，
∴∠APC+∠BPQ=90°，
∴∠CPQ=90°；
（2）∵△ACP与△BPQ全等，∠CAB=∠DBA=，
∴AC＝BP，AP＝BQ或AC＝BQ，AP＝BP．
当AC＝BP时，t＝3，此时AP＝9－3＝6，BQ＝2t=6，AP＝BQ，
∴t=3，
当AC＝BQ时，3＝2t，解得t＝，
此时AP＝9－＝，BP＝t＝，AP≠BP，
∴t=不合题意，
∴t的值为3，
∵∠CAB=∠DBA=，，
∠CAB=，
∴,
∴∠CPQ＝；
（3）不存在，
由题意BP＝tcm，AP＝(10－t)cm，BQ＝2tcm，
设△ACP与△BPQ全等，则AC＝BP，AP＝BQ或AC＝BQ，AP＝BP，
当AC＝BP时，t＝3，此时AP＝10－3＝7，BQ＝2t=6，AP≠BQ，
∴t=3不合题意，
当AC＝BQ时，3＝2t，解得t＝，
此时AP＝10－＝，BP＝t＝，AP≠BP，
所以t=不合题意，
所以不存在t的值，使△ACP与△BPQ全等．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
11．（2021·河南·永城市实验中学八年级期中）如图，在中，，，过点作射线．点从点出发，以的速度沿匀速移动；点从点出发，以的速度沿匀速移动．点，同时出发，当点到达点时，点，同时停止移动，连接，，设移动时间为．

（1）点，从移动开始到停止，所用时间为______________；
（2）当与全等时，
①若点，的移动速度相同，求的值；
②若点，的移动速度不同，求的值．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】
（1）根据点M在BC上运动的速度×运动时间=BC长，求出时间即可
（2）①根据点，的移动速度相同，可得BM=CN，利用三角形全等得出AB=MC，列方程12=20-3t求解即可；
②根据点，的移动速度不同，可得CN≠BM，根据（SAS），可得CN=BA=12，CM=BM=，利用BM的长求出时间，再根据CN的长列方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵点从点出发，以的速度沿匀速移动，移动时间为；
∴3t=20，
解得S，
故答案为；
（2）①∵点，的移动速度相同，
∴BM=CN，
又∵，
∴∠ABM=∠MCN，
∵≌，
∴AB=MC，
∴12=20-3t，
解得；

②点，的移动速度不同，
∴CN≠BM，
∵，
∴∠ABM=∠MCN，
∴AM与MN是对应边，

当CM=BM时，CN=BA，
在△CMN和△BMA中，
，
∴（SAS），
∴CN=BA=12，CM=BM=，
∴3t=10，
，
∴，
解得．
【点睛】
本题考查动点问题，三角形全等判定与性质，平行线性质，一元一次方程的解法，掌握动点问题速度时间与线段长的关系，三角形全等判定与性质，平行线性质，一元一次方程的解法是解题关键．