专题06 平面直角坐标系及规律探究问题-2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

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2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题06 平面直角坐标系及规律探究问题
【典型例题】
1．（2021·广东阳东·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(﹣2，0)，C(2，0)，作DOC，使DOC与AOB全等，则点D的坐标可以为________．

【答案】(0，4)或(0，-4)或(2，4)或(2，-4)
【分析】
由于OB＝OC，∠AOB＝90°，OA＝4，若OD＝4，∠DOC＝90°时，可判断△DOC≌△AOB，从而得到此时D点坐标；若CD＝4，∠OCD＝90°时，可判断△DCO≌△AOB，从而得到此时D点坐标．
【详解】
解：

∵B（−2，0），C（2，0），
∴OB＝OC，
∵∠AOB＝90°，OA＝4，
∴当OD＝4，∠DOC＝90°时，△DOC≌△AOB（SAS），此时D点坐标为（0，4）或（0，−4）；
当CD＝4，∠OCD＝90°时，△DCO≌△AOB（SAS），此时D点坐标为（2，4）或（2，−4）．
故答案为（0，4）或（0，−4）或（2，4）或（2，−4）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．解题关键是掌握全等三角形的判定．
2．（2021·河南·渑池县教育体育局教研室八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，经过第1次变换后得到坐标是，则经过第2022次变换后所得的点坐标是__________．

【答案】
【分析】
观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
【详解】
解：∵点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
点A第二次关于y轴对称后在第三象限，
点A第三次关于x轴对称后在第二象限，
点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
∴每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2022÷4=505…2，
∴经过第2022次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为（-a，-b），
故答案为（-a，-b）．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
【专题训练】
一、 选择题
1．（2021·江苏·洪泽外国语中学八年级阶段练习）点M（﹣2，3）关于x轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（2，3）
【答案】A
【分析】
关于轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据坐标特点可直接得到答案.
【详解】
解：点M（﹣2，3）关于x轴对称点的坐标为
故选A
【点睛】
本题考查的是关于轴对称的点的坐标特点，利用数形结合记忆关于轴对称的点的坐标特点并运用是解本题的关键.
2．（2021·全国·七年级专题练习）已知y轴上点P到x轴的距离为3，则点P坐标为（ ）
A．(0，3) B．(3，0)
C．(0，3)或(0，﹣3) D．(3，0)或(﹣3，0)
【答案】C
【分析】
根据题意，结合点的坐标的几何意义，可得点P横坐标为0，且纵坐标的绝对值为3，即可得点P的坐标．
【详解】
解：∵y轴上点P到x轴的距离为3，
∴点P横坐标为0，且纵坐标的绝对值为3，
∴点P坐标为：（0，3）或（0，﹣3）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离．
3．（2021·河北·廊坊市第四中学八年级阶段练习）已知点和关于轴对称，则（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】A
【分析】
根据轴对称坐标变化特征判断出a、b的值，代入计算即可．
【详解】
解：已知点和关于轴对称，
∴a=1，b=-2，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了关于轴对称点的坐标变化规律和乘方运算，解题关键是熟练掌握关于轴对称点的坐标是横坐标互为相反数，纵坐标相同，由此求a、b的值．
4．（2021·安徽·六安市轻工中学八年级期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，3）若线段AB∥y轴，且AB的长为4，则点B的坐标为（ ）
A．（－2，－1） B．（－2，7）
C．（﹣2，－1）或（－2，7） D．（2，3）
【答案】C
【分析】
设点B，根据线段与数轴平行可得，根据线段，可得，求解即可得出点的坐标．
【详解】
解：设点B，
∵轴，
∴A与点B的横坐标相同，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴或，
∴点B的坐标为：，，
故选：C．
【点睛】
题目主要考查线段与坐标轴平行的点的坐标特点，两点之间的距离，一元一次方程应用等，理解题意，利用绝对值表示两点之间距离是解题关键．
5．（2021·贵州六盘水·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C、D四点坐标分别为：A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．动点P从点A处出发，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣B…的规律在四边形ABCD的边上以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，若t＝2020秒，则点P所在位置的点的坐标是（ ）

A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
【答案】A
【分析】
根据点、、、的坐标可得出、及矩形的周长，由可得出当秒时点与点重合，然后问题可求解．
【详解】
解：，，，，
，，
．
∵，
当秒时，点与点重合，
此时点的坐标为．
故选A．
【点睛】
本题主要考查坐标规律问题，解题的关键是找到当t=2020时，点P的位置．
6．（2021·云南·普洱市思茅区第四中学七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，存在动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，点P的坐标是（ ）

A．(2022，1) B．(2021，0) C．(2021，1) D．(2021，2)
【答案】C
【分析】
观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0，…4个数一个循环，进而可得经过第2021次运动后，动点P的坐标．
【详解】
解：观察点的坐标变化可知：
第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次接着运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
…
按这样的运动规律，
发现每个点的横坐标与次数相等，
纵坐标是1，0，2，0；4个数一个循环，
所以2021÷4＝505…1，
所以经过第2021次运动后，
动点P的坐标是（2021，1）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了规律型−点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标变化寻找规律．
7．（2021·辽宁本溪·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，…均是斜边在轴上，斜边长分别为，，，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
观察图形可以看出A1--A4；A5--A8…每4个为一组，由于2021÷4=505余1，A2021在x正半轴，纵坐标为0，再根据横坐标变化找到规律即可解答.
【详解】
观察图形可以看出A1--A4；A5--A8…每4个为一组，
∵2021÷4=505......1，
∴A2021在x正半轴，纵坐标为0，
∵A1、A5、A9的横坐标分别为2， 4， 6，
∴A2021的横坐标为1012，
∴A2021的坐标为.
故选A.
【点睛】
本题是对点的坐标变化规律的考查，每4个数一循环的变化规律是解题的关键.
二、填空题
8．（2021·全国·七年级专题练习）平面直角坐标系中，点P(3，－4)到x轴的距离是________．
【答案】4
【分析】
根据点的坐标表示方法得到点P(3，﹣4)到x轴的距离是纵坐标的绝对值即|﹣4|，然后去绝对值即可．
【详解】
解：点P(3，-4)到x轴的距离为|﹣4|=4．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了点到坐标上的距离，正确掌握点的坐标性质是解题关键．
9．（2021·广西融水·八年级期中）若点P（2，4）与点B（x，y）关于y轴对称，那么x－y的值为_______．
【答案】-6
【分析】
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出x、y的值，再计算即可得解．
【详解】
解：∵点P（2，4）与点Q（x，y）关于y轴对称，
∴x=-2，y=4，
所以，x-y=-2-4=-6．
故答案为：-6．
【点睛】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
10．（2021·湖南广益实验中学九年级阶段练习）已知点M(，)是第二象限的点，则a的取值范围是_________．
【答案】
【分析】
根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零解答．
【详解】
解：∵点M(，)是第二象限的点，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了直角坐标系中点的坐标特点，熟记各象限内点的坐标特点并应用解决问题是解题的关键．
11．（2021·贵州六盘水·八年级期中）在平面直角坐标系中，若线段轴，，点A的坐标为，则点B的坐标为____．
【答案】（-1，4）或（7，4）
【分析】
线段AB∥x轴，A、B两点纵坐标相等，又AB=4，B点可能在A点左边或者右边，根据距离确定B点坐标．
【详解】
解：∵AB∥x轴，点A的坐标为，
∴A、B两点纵坐标都为4，
又∵AB=4，
∴当B点在A点左边时，B（3-4=-1，4），
当B点在A点右边时，B（3+4=7，4）．
故答案为：（-1，4）或（7，4）．
【点睛】
本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握：平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等．
12．（2021·广东·深圳中学八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A(1，0)处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；…依此规律进行，若点An的坐标为(2021，2020)，则n＝________．
【答案】4039
【分析】
第一次跳跃后的坐标为（2，1）；第二次跳跃后的坐标为（0，-1）；第三次跳跃后的坐标为（3，2）；第四次跳跃后的坐标为（-1，-2），第五次跳跃后的坐标为（4，3），第六次跳跃后的坐标为（-2，-3），由此可以得到，奇数次坐标每次横纵坐标加1，偶数次坐标每次横纵坐标减1，据此求解即可．
【详解】
解：由题意得：第一次跳跃后的坐标为（2，1）；
第二次跳跃后的坐标为（0，-1）；
第三次跳跃后的坐标为（3，2）；
第四次跳跃后的坐标为（-1，-2），
第五次跳跃后的坐标为（4，3），
第六次跳跃后的坐标为（-2，-3），
∴可以得到，奇数次坐标每次横纵坐标加1，偶数次坐标每次横纵坐标减1，
∵点（2021，2020）在第一象限，
∴点是奇数次，
∴，
∴，
故答案为：4039．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键在于能够根据题意找到点的坐标变化规律．
13．（2021·四川·达州中学八年级期中）如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到、、、、，那么的直角顶点的坐标为_____________．

【答案】
【分析】
根据前面四个图像的变化寻找旋转规律，得到的直角顶点的坐标．
【详解】
解：由勾股定理可得：
由图形可得，每三个三角形为一个循环组一次循环，一个循环组的前进长度为，
从原图到相当于向右平移了12个单位长度，的直角顶点坐标为
余1，则是原图经过33个循环组后再旋转一次得到的
则的直角顶点坐标与的直角顶点坐标相同，
的直角顶点坐标为，即
故答案为
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系及图形的旋转变换的相关知识，通过几次旋转得到旋转规律是解题的关键．
14．（2021·湖北·沙市一中八年级期中）如图，A点坐标为，连接，请在y轴上找一点B，使是以为腰的等腰三角形，则B点坐标为____．

【答案】或或
【分析】
分，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，，三种情况，根据等腰三角形的性质解答即可
【详解】
解：当，点在轴的正半轴上时，点坐标为（，），
当，点在轴的负半轴上，点坐标为（，），
当时，作于H，如图所示，

则，
此时B点坐标为（，），
综上所述：是以为腰的等腰三角形，点坐标为（，）或（，）或（，），
故答案为：（，）或（，）或（，）．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论是解题关键．
三、解答题
15．（2021·河南义马·八年级期中）已知两点．
（1）若A，B两点关于x轴对称，求的值；
（2）若点A到y轴的距离是3，且轴，求点A的坐标．
【答案】（1）4；（2）A(3，3)或(﹣3，3)
【分析】
（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可；
（2）根据一点到y轴的距离即为该点横坐标的绝对值，从而求出A点的横坐标，再由AB平行x轴，得到A、B纵坐标相同，即可求解．
【详解】
解：（1）∵A，B两点关于x轴对称，
∴，
∴，，
∴；
（2）∵点A到y轴的距离是3，
∴点A的横坐标为3或﹣3，
又∵AB∥x轴，
∴点A的纵坐标为3，
∴A(3，3)或(﹣3，3)．
【点睛】
本题主要考查了关于x轴对称的坐标特征，点到y轴的距离等等，解题的关键在于能够熟练掌握关于x轴对称的坐标特征，点到y轴的距离的知识．
16．（2021·河南·平顶山市第九中学八年级期中）已知点A（3a+2，2a﹣4），试分别根据下列条件，求出a的值．
（1）点A在y轴上；
（2）经过点A（3a+2，2a﹣4），B（3，4）的直线，与x轴平行；
（3）点A到两坐标轴的距离相等．
【答案】（1）（0，）（2）（14，4）（3）（−16，−16）或（3.2，−3.2）
【分析】
（1）根据y轴上的点的纵坐标等于零，可得方程，解方程可得答案；
（2）根据平行于x轴直线上的点纵坐标相等，可得方程，解方程可得答案；
（3）根据点A到两坐标轴的距离相等，可得关于a的方程，解方程可得答案．
【详解】
解：（1）依题意有3a+2＝0，
解得a＝，
2a﹣4＝2×（）﹣4＝．
故点A的坐标为（0，）；
（2）依题意有2a−4＝4，
解得a＝4，
3a＋2＝3×4＋2＝14，
故点A的坐标为（14，4）；
（3）依题意有|3a＋2|＝|2a−4|，
则3a＋2＝2a−4或3a＋2＋2a−4＝0，
解得a＝−6或a＝0.4，
当a＝−6时，3a＋2＝3×（−6）＋2＝−16，
当a＝0.4时，3a＋2＝3×0.4＋2＝3.2，2a−4＝−3.2．
故点A的坐标为（−16，−16）或（3.2，−3.2）．
【点睛】
本题考查了点的坐标，x轴上的点的纵坐标等于零；平行于x轴直线上的点纵坐标相等．
17．（2021·全国·七年级课时练习）中，A、B、C三点坐标分别为、、．

（1）求的面积；
（2）若B、C点坐标不变，A点坐标变为，则的面积为______．
【答案】（1）；（2）8．
【分析】
（1）分别过点作的垂线交于两点，并反向延长，交于点，则的面积为长方形面积减去三个直角三角形的面积，即可求解；
（2）分别过点作的垂线，分别相交于点，则的面积为长方形面积减去三个直角三角形的面积，即可求解．
【详解】
解：（1）分别过点作的垂线交于两点，并反向延长，交于点，如下图：

则：、、、、、
由图形可得：

所以，
（2）分别过点作的垂线，分别相交于点，如下图：

则：、、、、
由图形可得：

所以，
【点睛】
此题考查了平面直角坐标系的应用，割补法求解三角形面积，解题的关键是根据直角坐标系的性质构造出矩形求解三角形面积．

18．（2021·山东茌平·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在网格的格点处．

（1）请写出A，B，C的坐标；
（2）请求出△ABC的面积；
（3）若点P在x轴上，且△PAB的面积与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）A（-3，-2），B（2，0），C（-1，2）；（2）△ABC的面积为8；（3）点P的坐标（10，0）或（-6，0）．
【分析】
（1）根据图形中点A、B、C的位置即可写出点A、B、C的坐标；
（2）利用割补法求△ABC的面积= S矩形ADEF-S△ADC-S△CEB-S△ABF即可；
（3）由点P在x轴上，点B也在x轴上，以PB为底，点A纵坐标的绝对值为高，根据三角形面积公式，求出BP即可．
【详解】
解（1）由图可知，A（-3，-2），B（2，0）,C（-1，2）；
（2）S△ABC=S矩形ADEF-S△ADC-S△CEB-S△ABF，
=，
=，
=8；

（3）设，由点P在x轴上，点B也在x轴上，以PB为底，
∵点A到轴的距离为2，
∴△PAB的高为2，
∵S△PAB=S△ABC，
∴，
∴，
∵BP=|2-|，
∴|2-|=8，
解得或，
点P的坐标为（10，0）或（-6，0）．
【点睛】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标，三角形面积，掌握平面直角坐标系中点的坐标求法，三角形面积求法，关键利用面积列出方程求点的坐标．
19．（2021·重庆·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（2，0），顶点B（0，3），顶点C（﹣1，2）．
（1）求△AOC的面积：
（2）求△ABC的面积；
（3）若点D在坐标轴上，且S△OCD＝1，直接写出满足条件的D点坐标．

【答案】（1）2；（2）；（3）D点（0，2），（0，﹣2），（﹣1，0），（1，0）
【分析】
（1）由图形可得△AOC的面积为，即可求解；
（2）过点C作CD垂直x轴，由图形可得，即可求解；
（3）对点D进行分类讨论，根据面积，分别求解即可．
【详解】
解：（1），
（2）过点C作CD垂直x轴，如下图：

，
．
（3）D点在y轴上时，，解得
yD＝2或yD＝﹣2，
此时D点（0，2），（0，﹣2），
D点在x轴上时，，解得
∴xD＝1或xD＝﹣1，
此时D点（﹣1，0），（1，0）．
【点睛】
此题考查了平面直角坐标系的有关性质，涉及了三角形面积的求解，掌握平面直角坐标系的性质以及割补法求解三角形面积是解题的关键．