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【期中复习】人教版 初中数学八年级年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练（含解析）
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这是一份【期中复习】人教版 初中数学八年级年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练（含解析），共50页。试卷主要包含了已知，如图1，直线与直线相互垂直，等内容，欢迎下载使用。
(1)＝ （用t的代数式表示）
(2)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？
(3)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是以或为底边的等腰三角形？
2．已知：在中，，点D、E分别是边、上的点，点P是一动点．令，，．
(1)若点P在线段上，如图①所示，且，则___________°；
(2)若点P在线段上运动，如图②所示，则、、之间的关系为 ___________；
(3)若点P在线段AB的延长线上运动，如图③所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由．
3．在中，，点D是射线上的一动点（不与点B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
(1)如图1，当点D在线段上，且时，证明；
(2)设，．
①如图2，当点D在线段上，时，请你直接写出与之间的数量关系；（无需证明）
②如图3，当点D在线段的延长线上，时，写出此时与之间的数量关系并证明．
4．如图，在中，，，为中点，为射线上一动点，在右侧作等边，直线与直线交于点．
(1)如图1，当点与点重合时，是______三角形，是______三角形：
(2)如图2，当点在线段上，求证：点在的垂直平分线上；
(3)点在射线运动过程中，当为等腰三角形时，则______．
5．如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当_______时，的面积等于面积的一半；
(2)如图②，在中，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点Q的运动速度．
6．如图，等边的边长为，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动t秒，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动．
(1)当_____秒，M、N两点重合.
(2)当______秒，以是等边三角形.
(3)当t为何值时，连接，是以为底边的等腰三角形
7．如图1，直线与直线相互垂直，．
(1)如图1，若，且于点，交于点，试求的长；
(2)如图2，若点为的中点，点为延长线上一动点，连接，过点作交直线于点，当点在延长线上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点、在轴上，点在轴上，点，点，且、满足，．
(1)求的面积；
(2)动点从点出发，沿向终点以每秒2个单位的速度运动，连接过点作的垂线，垂足为，交轴于点，设点的运动时间为秒，的面积为，请你用含的式子表示；
(3)在（2）的条件下，，当是以为腰的等腰三角形时，求的面积．
9．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段交轴于点，，点是轴负半轴．上一动点（点不与点重合）．
(1)求点、、的坐标．
(2)问题探究：
①如图2，过点作，小明发现在点的运动过程中，的度数为定值，为求出这个定值，小明过点作，请你帮他用表示出的度数，并说明理由；
②如图3，分别作，的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的度数．
10．如图1，，，以点为顶点、为腰在第三象限作等腰直角．
(1)求点的坐标；
(2)如图2，是轴负半轴上一个动点，当点向轴负半轴向下运动时，若以为直角顶点，为腰作等腰直角，过点作轴于点，求的值；
(3)如图3，已知点坐标为，当在轴运动时，作等腰直角，并始终保持，与轴交于点，与轴交于点，求、满足的数量关系．
11．如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．
(1)______，______（用含t的式子表示），______；
(2)当t为何值时，为等边三角形？
(3)当t为何值时，为直角三角形？
12．如图，是边长是的等边三角形，动点同时从A，B两点出发，分别沿方向 匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
(1)当点Q到达点C时，与的位置关系如何？请说明理由．
(2)在点P与点Q的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．
(3)当t为何值时，是直角三角形？
13．已知为等边三角形．
(1)如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：．
(2)如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．求证：．
(3)如图3，若，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接、，直接写出的最小值．
14．已知：如图，在中，，于点D，E是上的一动点，点F在直线上，且．
(1)求证：；
(2)如图1，求证：；
(3)如图2，如果，，当正好平分时，直接写出的长为_____．（用含m的代数式表示）
15．如图，在中，，高线，相交于点O．且．
(1)________度；
(2)求证：；
(3)点F是直线上的一点．且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B、O，P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在．请说明理由．
16．在中，，点是射线上的一动点不与点、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接．
(1)如图，当点在线段上，且时，证明；
(2)设，．
①如图，当点在线段上，时，请你直接写出与之间的数量关系；（无需证明）
②如图，当点在线段的延长线上，时，请将图补充完整，写出此时与之间的数量关系并证明．
17．如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，，是轴负半轴上一动点，是轴负半轴上一动点，且，，．
(1)求证：；
(2)若，试用含的式子表示点的坐标；
(3)如图2，作轴交的延长线于，求证：．
18．如图，是等边三角形，点D、E分别在、上满足，连接、交于点F．
(1)求的度数．
(2)如图2过点B作于G，若，求证．
(3)如图3，过点A作直线于点H，点M是直线l上的一个动点（不与点A、H重合），以线段为边构造等边（C、M、N按顺时针排列）连接，，，当是等腰三角形时，则的度数为______
19．如图，平面直角坐标系中，，且a、b满足．
(1)请直接写出A、B两点的坐标；
(2)的度数为______；
(3)如图，C为的中点，D为延长线上一动点，以为边作等边，连接交于F，当D点运动时，线段之间有何数量关系？证明你的结论．
20．如图1，，，轴于点B，轴于点D．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，交于点P，连接，求证：；
(3)如图3，点E为第一象限的动点，点F为y轴正半轴上的动点，连接，，满足且，点G为中点．连接，，在请直接写出的度数．
参考答案：
1．(1)cm
(2)秒
(3)11或12
【分析】（1）根据题意即可用t可表示出即可求得；
（2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】（1）解：由题意可知，，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）当点Q在边上运动，为等腰三角形时，
即，解得，
∴出发秒后；
（3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，
则，
∵，
∴．
，
∴，
∴，
∴（cm），
∴（cm），
∴；
②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，
则（cm），
∴，
综上所述：当t为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形．
故答案为：11或12．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，解题时注意方程思想的应用．
2．(1)120
(2)
(3)，见解析
【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角定理，熟练掌握三角形的内角和为180度，三角形的一个外角之和等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
（1）连接，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再表示出即可；
（2）连接，方法与（1）相同；
（3）利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和讨论求解即可．
【详解】（1）解：如图①，连接，
由三角形的外角性质，，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：120．
（2）解：结论：；理由如下：
连接，如图②，
由三角形的外角性质，，，
∴，
∵°，，
∴．
故答案为：；
（3）解：结论：．
理由：如图③中，连接．
由三角形的外角性质得：，，
∴．
3．(1)见解析
(2)①；②，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应角相等，以及三角形内角和为180度是解题的关键．
（1）根据，得出，即可根据证明，得出，即可解答；
（2）① 由（1）同理可得，进而得出，根据三角形的内角和即可得出；②和（1）同理可得，则，根据，得出，即，再根据，，得出，即可得出．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①，
由（1）同理可得，
∴，即，
∵，
∴；
②和（1）同理可得，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴．
4．(1)等腰，等边
(2)见解析
(3)或或或
【分析】（1）由直角三角形的性质可得，结合，推出为等边三角形，得到，由等边三角形的性质可得，，计算出，结合得到为等边三角形，得到，从而得到，即可得解；
（2）连接，，由直角三角形的性质可得，证明得到，从而得出，结合，即可得证；
（3）分四种情况：当点在线段上，当时；当点在线段上，时；当点在的延长线上，时；当点在线段上，当时，分别画出图形，利用三角形内角和定理、等腰三角形的性质结合三角形外角的定义及性质，列出方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，，为中点，点与点重合，
，
，
为等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
是等腰三角形，
故答案为：等腰，等边；
（2）证明：如图，连接，，
AI ，
在中，，为中点，
，
，
为等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
垂直平分线段，
点在的垂直平分线上；
（3）解：是等边三角形，
，
在中，，，
，
当点在线段上，当时，如图，
AI ，
由（2）可得点在的垂直平分线上，
，
，
设，
，
，
，
，
解得：，
，
；
当点在线段上，时，如图，
AI ，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
；
当点在的延长线上，时，如图，
AI ，
在中，，为中点，
，
，
为等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当点在线段上，当时，如图，
，
设，
由（2）可得点在的垂直平分线上，
，
，
，
，，
，
，
；
综上所述：或或或，
故答案为：或或或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质等知识，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
5．(1)当为或时，的面积等于面积的一半．
(2)或或或
【分析】（1）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答；
（2）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上四种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可．
【详解】（1）如图，当P在上，的面积等于面积的一半，
∴，
∴，
当在上时，如图，的面积等于面积的一半，
∴，
∴，
综上当为或时，的面积等于面积的一半．
（2）解：设点Q的运动速度为，
①当点P在上，点Q在上，时，，
∴4÷3=5÷x 解得
②当点P在上，点Q在上，时，，
∴，解得
③当点P在上，点Q在上，时，，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴ 解得；
④当点P在上，点Q在上，时，，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴ 解得；
∴Q运动的速度为或或或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键．
6．(1)6
(2)2
(3)时，是以为底边的等腰三角形
【分析】此题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质与一元一次方程的应用，解题的关键是熟知等边三角形的性质．
（1）由点N运动路程点M运动路程间的路程，列出方程求解，即可求得结论；
（2）由等边三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论．
【详解】（1）解：设点、运动秒后重合，
则，
解得，
∴点、运动6秒后重合，
故答案为：6；
（2）设点、运动秒后，是等边三角形，
如图，，，
当时，是等边三角形，
即 ，
解得，
∴当点、运动2秒时，是等边三角形，
故答案为：2；
（3）如图
设点、运动秒，
则， ，
假设是等腰三角形且MN是它的底边，
则， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴当点、运动8秒时，是等腰三角形．
7．(1)
(2)的值不发生改变，
【分析】（1）由同角的余角相等可得，证明，即可得到，得到答案；
（2）由等腰直角三角形的性质可得，，，得到，证明得到，最后由，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：∵于，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：的值不发生改变，，
理由如下：
如图，连接，
，
点为的中点，
，
，，
，，，
∴，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明和是解此题的关键．
8．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据非负数的性质可求出a，b的值，求出点A，B的坐标，得到的长，再由得最后根据三角形面积公式可得结论；
（2）分点在线段上和点在线段上两种情况，证明得，再根据三角形面积公式可得结论；
（3）分和两种情况，分别求出，，，，再求出即可得出结论
【详解】（1），且，，
，，
，，
∴，，
∴，
，
，
∴．
（2）当点在线段上时，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，即．
当点在线段上时，同理可求，
．
（3）当时，如图，
∵，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
当时，如图，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
9．(1)A，B，C
(2)①，理由见解析；②的度数不发生变化，理由见解析过程，
【分析】（1）结合题意，根据乘方、算术平方根、绝对值的性质，结合坐标的性质分析，即可得到答案；
（2）①根据平行线的性质，推导得，，结合余角的性质计算，即可得到答案；②根据角平分线的性质，得，；根据余角和三角形内角和的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，，，
，，；
（2）解：①，，
，
，，
，
；
②的度数不发生变化，
理由如下：过点作，
，
，
，，，
，
，
、分别为，的平分线，
，，
．
【点睛】本题考查了直角坐标系、乘方、算术平方根、绝对值、角平分线、平行线、三角形内角和、余角的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、平行线、三角形内角和的性质，数形结合完成求解．
10．(1)点的坐标为
(2)
(3)
【分析】考查了坐标系中的几何问题，全等三角形的性质与判定；
（1）要求点的坐标，则求的横坐标与纵坐标，因为，则作轴，即求和的值，容易得，根据已知即可求得点的值；
（2）求的值，则将其放在同一直线上，过作于点，即是求的值，由图易求得，可求得的长，即为的值；
（3）根据（2）的结论，可知为定长，过分别作轴和轴的垂线，运用（2）中的方法即可求得的值．
【详解】（1）解：如图，过作轴于点，
，，
，，
则，
在和中，
，，，
，
，，
点的坐标为；
（2）如图，过作于点，
，
，
，
在和中，
，，，
，
，
；
（3）如图，过点分别作轴于点，轴于点，
则，，
在和中：
，，，
则，
则，
又，，点坐标为，
，，，
，，
则，
则．
11．(1)，；20
(2)
(3)10或16
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质：
（1）根据题意可得，；再由含30度角的直角三角形的性质，即可求解；
（2）根据等边三角形的性质，可得，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当时，当时，结合含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，；
∵，，，
∴；
故答案为：，；20；
（2）解：∵，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
解得：，
（3）解：当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，当t为10或16时，为直角三角形．
12．(1)当点Q到达点C时，，见解析
(2)能，
(3)或
【分析】本题考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握含的直角三角形的性质是解题关键．
（1）先求出的长，可得P是中点，由等边三角形的性质即可求解．
（2）由等边三角形的性质列方程即可求解．
（3）分情况讨论，由直角三角形的性质列方程即可求解．
【详解】（1）解：当点Q到达点C时，，理由如下：
，当点Q到达点C时，则，
，
点P为的中点，
；
（2）能，
∵为等边三角形，
．
时，为等边三角形，
，
解得；
（3）根据题意得，，
，
当时，
，
，
，
即，
解得；
当时，同理可得，解得．
综上所述：当或时，是直角三角形．
13．(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）本题主要考查全以等边三角形为背景的全等三角形的判定（手拉手模型），直接利用，两个等腰三角形的对应边相等即可证明全等．
（2）本题通过，，就可以确定的形状，可以推出，进而得到，然后再线段上取一点H构造等边三角形就可证明结论了．
（3）第三小问，先确定性分析，，，即对角互补，所以要把，绕着点E逆时针旋转，得到等边三角形，再根据全等的性质可以推出
，最后确定点E的轨迹是在射线上运动，之后就是做对称，将军饮马问题，直接可以求出最小值．
【详解】（1）证明：∵等边和等边；
∴，；
∵；
∴；
∴
（2）∵；
∴；
∵，；
∴；
∴；
即；
∵三角形是等腰直角三角形，E为中点
∴平分；
∴；
∴；
上取一点H，使；
∴是等边三角形；
∴；
即；
∵，
，
；
∴；
∴；
即．
（3）如下图所示，∵，；
把绕点E逆时针旋转，得到；
∵；
∴；
∴C，D，M三点共线；
由旋转的性质可知，是等边三角形；
∴;
∴点E的轨迹是射线；
作点B关于直线的对称点N；
∴；
∵；
∴；
即的最小值为．
【点睛】本题主要考等边为背景下的全等三角形的判定，旋转变换下以等腰直角三角形旋转下的全等构造，进而判定线段相等，考查全等的判定和性质，
考查对角互补性的全等构造，确定动点E的轨迹，将军饮马求两条线段的最值，遇到两个共顶点等边三角形，就一定能通过公共角和差，
证明全等三角形，确定性分析，构造等边三角形是解决线段和证明的有效路径，求最值，利用旋转寻找动点轨迹是解题关键，将军饮马问题巧转化，求最值也是解题关键．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，等边对等角以及三角形的外角性质得出，即可证明结论；
（2）根据已知条件先证明，得出，证明，根据，得出，得出，即可证明结论；
（3）垂直平分线性质结合角平分线定义先证明，得出，根据即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，设与交与点G，
，于点D，
，
，，
，
；
（2）如图，连接，
，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，连接，
，，
，
垂直平分，
，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，线段的垂直平分线．
15．(1)180
(2)证明见解析
(3)t的值为或
【分析】这是一道关于动点的综合问题，考查了全等三角形的性质和判定，同角的补角相等等，
（1）根据四边形内角和定理可得答案；
（2）结合（1）根据证明即可；
（3）由题意，表示，，再分当Q在边上时，根据≌，列出关于t的方程，解方程即可；当Q在边延长线上时，根据≌，列出方程求出t值即可．
【详解】（1）∵的高，相交于点O，
∴.
∵四边形的内角和，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）∵，是高，
∴.
由（1），得，
∵，
∴.
∵，
∴．
（3）存在，t的值为或．
由题意，得，．
∵，．
当Q在边线段上时，如图，≌，
∴，
即，
；
当Q在边延长线上时，如图，≌，
∴，
即，
．
∴t的值为秒或秒时，以点B为顶点的三角形与以点F,C,Q为顶点的三角形全等．
16．(1)见解析
(2)①，②
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理以及全等三角形对应边相等，对应角相等．
（1）先证明，即可求证，则，最后根据，即可求证；
（2）①由（1）同理可得，则，根据，即可得出；②和（1）同理可得，推出，即可得出，再根据，，得出，则．
【详解】（1）证明：∵，，
∴
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）同理可得，
∴，即，
∵，
∴；
②和（1）同理可得，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴．
17．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）过点C作于H，通过证明，可得；
（2）由可证，可得，，即可求解；
（3）过点A作交DB延长线于点E，作交DB的延长线于点F，由可证，可得，由可证，可得，，由可证，可得，由线段的和差关系即可求解．
【详解】（1）证明：过点作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为；
（3）证明：如图2，过点作交延长线于点，作交的延长线于点，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，坐标与图形等等，恰当添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．(1)
(2)见解析
(3)或．
【分析】对于（1），先根据等边三角形的性质得出，，再根据证明≌，进而得出，然后由，可知，最后根据三角形外角的性质得出答案；
对于（2），先根据直角三角形的性质得，再根据（1）中的结论得，，由已知得，可得，即可得出，然后根据证明≌，可得答案；
对于（3），分，，三种情况讨论，并求出答案.．
【详解】（1）∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴≌，
∴．
∵，
∴．
∵是的外角，
∴；
（2）在中，，
∴，
∴．
∵≌，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴≌，
∴；
（3）当时，点A和点M重合，如图所示．
根据题意可知，
∴．
∵，
∴；
当时，如图所示，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴．
∵是等边三角形，是等边三角形，
∴，，．
∵，
∴．
∵，
∴≌，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
不存在的情况．
∴的度数是或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等，两个三角形全等是证明边长相等的常用方法，注意多种情况讨论是解题的关键．
19．(1)，
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性，得出，求出a和b的值，即可得出点A和点B的坐标；
（2）根据点A和点B的坐标，得出，即可得出的度数；
（3）连接，在上截取，连接，易得垂直平分，则，进而求证，，通过证明，得出，，再证明是等边三角形，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，解得：，
∴，；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：
理由如下：如图，连接，在上截取，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，等腰直角三角形的性质，垂直平分线的判定，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据即可证明；
（2）过点作轴，交于点，得出，由平行线的性质得，由轴得，证明，从而得出，推出，根据证明，得出，再由全等三角形的性质得到，即可得证；
（3）延长到，使，连接，，延长交于点，根据证明，得出，，故，由平行线的性质得出，进而推出，根据证明，故，，即可证明．
【详解】（1）证明：轴于点，轴于点，
，
∵，，
，，
；
（2）证明：如图2，过点作轴，交于点，
，
，
轴，
，
∵，
，，，
∴，
，
在与中，
，
，
，即点为中点，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图3，延长到，使，连接，，延长交于点，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
∴，
∵
，
，
，
，
，，
，
，即．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定，利用做辅助线作全等三角形是解决本题的关键．
(1)＝ （用t的代数式表示）
(2)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？
(3)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是以或为底边的等腰三角形？
2．已知：在中，，点D、E分别是边、上的点，点P是一动点．令，，．
(1)若点P在线段上，如图①所示，且，则___________°；
(2)若点P在线段上运动，如图②所示，则、、之间的关系为 ___________；
(3)若点P在线段AB的延长线上运动，如图③所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由．
3．在中，，点D是射线上的一动点（不与点B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
(1)如图1，当点D在线段上，且时，证明；
(2)设，．
①如图2，当点D在线段上，时，请你直接写出与之间的数量关系；（无需证明）
②如图3，当点D在线段的延长线上，时，写出此时与之间的数量关系并证明．
4．如图，在中，，，为中点，为射线上一动点，在右侧作等边，直线与直线交于点．
(1)如图1，当点与点重合时，是______三角形，是______三角形：
(2)如图2，当点在线段上，求证：点在的垂直平分线上；
(3)点在射线运动过程中，当为等腰三角形时，则______．
5．如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当_______时，的面积等于面积的一半；
(2)如图②，在中，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点Q的运动速度．
6．如图，等边的边长为，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动t秒，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动．
(1)当_____秒，M、N两点重合.
(2)当______秒，以是等边三角形.
(3)当t为何值时，连接，是以为底边的等腰三角形
7．如图1，直线与直线相互垂直，．
(1)如图1，若，且于点，交于点，试求的长；
(2)如图2，若点为的中点，点为延长线上一动点，连接，过点作交直线于点，当点在延长线上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点、在轴上，点在轴上，点，点，且、满足，．
(1)求的面积；
(2)动点从点出发，沿向终点以每秒2个单位的速度运动，连接过点作的垂线，垂足为，交轴于点，设点的运动时间为秒，的面积为，请你用含的式子表示；
(3)在（2）的条件下，，当是以为腰的等腰三角形时，求的面积．
9．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段交轴于点，，点是轴负半轴．上一动点（点不与点重合）．
(1)求点、、的坐标．
(2)问题探究：
①如图2，过点作，小明发现在点的运动过程中，的度数为定值，为求出这个定值，小明过点作，请你帮他用表示出的度数，并说明理由；
②如图3，分别作，的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的度数．
10．如图1，，，以点为顶点、为腰在第三象限作等腰直角．
(1)求点的坐标；
(2)如图2，是轴负半轴上一个动点，当点向轴负半轴向下运动时，若以为直角顶点，为腰作等腰直角，过点作轴于点，求的值；
(3)如图3，已知点坐标为，当在轴运动时，作等腰直角，并始终保持，与轴交于点，与轴交于点，求、满足的数量关系．
11．如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．
(1)______，______（用含t的式子表示），______；
(2)当t为何值时，为等边三角形？
(3)当t为何值时，为直角三角形？
12．如图，是边长是的等边三角形，动点同时从A，B两点出发，分别沿方向 匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
(1)当点Q到达点C时，与的位置关系如何？请说明理由．
(2)在点P与点Q的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．
(3)当t为何值时，是直角三角形？
13．已知为等边三角形．
(1)如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：．
(2)如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．求证：．
(3)如图3，若，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接、，直接写出的最小值．
14．已知：如图，在中，，于点D，E是上的一动点，点F在直线上，且．
(1)求证：；
(2)如图1，求证：；
(3)如图2，如果，，当正好平分时，直接写出的长为_____．（用含m的代数式表示）
15．如图，在中，，高线，相交于点O．且．
(1)________度；
(2)求证：；
(3)点F是直线上的一点．且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B、O，P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在．请说明理由．
16．在中，，点是射线上的一动点不与点、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接．
(1)如图，当点在线段上，且时，证明；
(2)设，．
①如图，当点在线段上，时，请你直接写出与之间的数量关系；（无需证明）
②如图，当点在线段的延长线上，时，请将图补充完整，写出此时与之间的数量关系并证明．
17．如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，，是轴负半轴上一动点，是轴负半轴上一动点，且，，．
(1)求证：；
(2)若，试用含的式子表示点的坐标；
(3)如图2，作轴交的延长线于，求证：．
18．如图，是等边三角形，点D、E分别在、上满足，连接、交于点F．
(1)求的度数．
(2)如图2过点B作于G，若，求证．
(3)如图3，过点A作直线于点H，点M是直线l上的一个动点（不与点A、H重合），以线段为边构造等边（C、M、N按顺时针排列）连接，，，当是等腰三角形时，则的度数为______
19．如图，平面直角坐标系中，，且a、b满足．
(1)请直接写出A、B两点的坐标；
(2)的度数为______；
(3)如图，C为的中点，D为延长线上一动点，以为边作等边，连接交于F，当D点运动时，线段之间有何数量关系？证明你的结论．
20．如图1，，，轴于点B，轴于点D．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，交于点P，连接，求证：；
(3)如图3，点E为第一象限的动点，点F为y轴正半轴上的动点，连接，，满足且，点G为中点．连接，，在请直接写出的度数．
参考答案：
1．(1)cm
(2)秒
(3)11或12
【分析】（1）根据题意即可用t可表示出即可求得；
（2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】（1）解：由题意可知，，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）当点Q在边上运动，为等腰三角形时，
即，解得，
∴出发秒后；
（3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，
则，
∵，
∴．
，
∴，
∴，
∴（cm），
∴（cm），
∴；
②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，
则（cm），
∴，
综上所述：当t为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形．
故答案为：11或12．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，解题时注意方程思想的应用．
2．(1)120
(2)
(3)，见解析
【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角定理，熟练掌握三角形的内角和为180度，三角形的一个外角之和等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
（1）连接，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再表示出即可；
（2）连接，方法与（1）相同；
（3）利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和讨论求解即可．
【详解】（1）解：如图①，连接，
由三角形的外角性质，，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：120．
（2）解：结论：；理由如下：
连接，如图②，
由三角形的外角性质，，，
∴，
∵°，，
∴．
故答案为：；
（3）解：结论：．
理由：如图③中，连接．
由三角形的外角性质得：，，
∴．
3．(1)见解析
(2)①；②，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应角相等，以及三角形内角和为180度是解题的关键．
（1）根据，得出，即可根据证明，得出，即可解答；
（2）① 由（1）同理可得，进而得出，根据三角形的内角和即可得出；②和（1）同理可得，则，根据，得出，即，再根据，，得出，即可得出．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①，
由（1）同理可得，
∴，即，
∵，
∴；
②和（1）同理可得，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴．
4．(1)等腰，等边
(2)见解析
(3)或或或
【分析】（1）由直角三角形的性质可得，结合，推出为等边三角形，得到，由等边三角形的性质可得，，计算出，结合得到为等边三角形，得到，从而得到，即可得解；
（2）连接，，由直角三角形的性质可得，证明得到，从而得出，结合，即可得证；
（3）分四种情况：当点在线段上，当时；当点在线段上，时；当点在的延长线上，时；当点在线段上，当时，分别画出图形，利用三角形内角和定理、等腰三角形的性质结合三角形外角的定义及性质，列出方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，，为中点，点与点重合，
，
，
为等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
是等腰三角形，
故答案为：等腰，等边；
（2）证明：如图，连接，，
AI ，
在中，，为中点，
，
，
为等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
垂直平分线段，
点在的垂直平分线上；
（3）解：是等边三角形，
，
在中，，，
，
当点在线段上，当时，如图，
AI ，
由（2）可得点在的垂直平分线上，
，
，
设，
，
，
，
，
解得：，
，
；
当点在线段上，时，如图，
AI ，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
；
当点在的延长线上，时，如图，
AI ，
在中，，为中点，
，
，
为等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当点在线段上，当时，如图，
，
设，
由（2）可得点在的垂直平分线上，
，
，
，
，，
，
，
；
综上所述：或或或，
故答案为：或或或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质等知识，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
5．(1)当为或时，的面积等于面积的一半．
(2)或或或
【分析】（1）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答；
（2）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上四种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可．
【详解】（1）如图，当P在上，的面积等于面积的一半，
∴，
∴，
当在上时，如图，的面积等于面积的一半，
∴，
∴，
综上当为或时，的面积等于面积的一半．
（2）解：设点Q的运动速度为，
①当点P在上，点Q在上，时，，
∴4÷3=5÷x 解得
②当点P在上，点Q在上，时，，
∴，解得
③当点P在上，点Q在上，时，，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴ 解得；
④当点P在上，点Q在上，时，，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴ 解得；
∴Q运动的速度为或或或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键．
6．(1)6
(2)2
(3)时，是以为底边的等腰三角形
【分析】此题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质与一元一次方程的应用，解题的关键是熟知等边三角形的性质．
（1）由点N运动路程点M运动路程间的路程，列出方程求解，即可求得结论；
（2）由等边三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论．
【详解】（1）解：设点、运动秒后重合，
则，
解得，
∴点、运动6秒后重合，
故答案为：6；
（2）设点、运动秒后，是等边三角形，
如图，，，
当时，是等边三角形，
即 ，
解得，
∴当点、运动2秒时，是等边三角形，
故答案为：2；
（3）如图
设点、运动秒，
则， ，
假设是等腰三角形且MN是它的底边，
则， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴当点、运动8秒时，是等腰三角形．
7．(1)
(2)的值不发生改变，
【分析】（1）由同角的余角相等可得，证明，即可得到，得到答案；
（2）由等腰直角三角形的性质可得，，，得到，证明得到，最后由，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：∵于，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：的值不发生改变，，
理由如下：
如图，连接，
，
点为的中点，
，
，，
，，，
∴，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明和是解此题的关键．
8．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据非负数的性质可求出a，b的值，求出点A，B的坐标，得到的长，再由得最后根据三角形面积公式可得结论；
（2）分点在线段上和点在线段上两种情况，证明得，再根据三角形面积公式可得结论；
（3）分和两种情况，分别求出，，，，再求出即可得出结论
【详解】（1），且，，
，，
，，
∴，，
∴，
，
，
∴．
（2）当点在线段上时，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，即．
当点在线段上时，同理可求，
．
（3）当时，如图，
∵，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
当时，如图，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
9．(1)A，B，C
(2)①，理由见解析；②的度数不发生变化，理由见解析过程，
【分析】（1）结合题意，根据乘方、算术平方根、绝对值的性质，结合坐标的性质分析，即可得到答案；
（2）①根据平行线的性质，推导得，，结合余角的性质计算，即可得到答案；②根据角平分线的性质，得，；根据余角和三角形内角和的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，，，
，，；
（2）解：①，，
，
，，
，
；
②的度数不发生变化，
理由如下：过点作，
，
，
，，，
，
，
、分别为，的平分线，
，，
．
【点睛】本题考查了直角坐标系、乘方、算术平方根、绝对值、角平分线、平行线、三角形内角和、余角的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、平行线、三角形内角和的性质，数形结合完成求解．
10．(1)点的坐标为
(2)
(3)
【分析】考查了坐标系中的几何问题，全等三角形的性质与判定；
（1）要求点的坐标，则求的横坐标与纵坐标，因为，则作轴，即求和的值，容易得，根据已知即可求得点的值；
（2）求的值，则将其放在同一直线上，过作于点，即是求的值，由图易求得，可求得的长，即为的值；
（3）根据（2）的结论，可知为定长，过分别作轴和轴的垂线，运用（2）中的方法即可求得的值．
【详解】（1）解：如图，过作轴于点，
，，
，，
则，
在和中，
，，，
，
，，
点的坐标为；
（2）如图，过作于点，
，
，
，
在和中，
，，，
，
，
；
（3）如图，过点分别作轴于点，轴于点，
则，，
在和中：
，，，
则，
则，
又，，点坐标为，
，，，
，，
则，
则．
11．(1)，；20
(2)
(3)10或16
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质：
（1）根据题意可得，；再由含30度角的直角三角形的性质，即可求解；
（2）根据等边三角形的性质，可得，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当时，当时，结合含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，；
∵，，，
∴；
故答案为：，；20；
（2）解：∵，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
解得：，
（3）解：当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，当t为10或16时，为直角三角形．
12．(1)当点Q到达点C时，，见解析
(2)能，
(3)或
【分析】本题考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握含的直角三角形的性质是解题关键．
（1）先求出的长，可得P是中点，由等边三角形的性质即可求解．
（2）由等边三角形的性质列方程即可求解．
（3）分情况讨论，由直角三角形的性质列方程即可求解．
【详解】（1）解：当点Q到达点C时，，理由如下：
，当点Q到达点C时，则，
，
点P为的中点，
；
（2）能，
∵为等边三角形，
．
时，为等边三角形，
，
解得；
（3）根据题意得，，
，
当时，
，
，
，
即，
解得；
当时，同理可得，解得．
综上所述：当或时，是直角三角形．
13．(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）本题主要考查全以等边三角形为背景的全等三角形的判定（手拉手模型），直接利用，两个等腰三角形的对应边相等即可证明全等．
（2）本题通过，，就可以确定的形状，可以推出，进而得到，然后再线段上取一点H构造等边三角形就可证明结论了．
（3）第三小问，先确定性分析，，，即对角互补，所以要把，绕着点E逆时针旋转，得到等边三角形，再根据全等的性质可以推出
，最后确定点E的轨迹是在射线上运动，之后就是做对称，将军饮马问题，直接可以求出最小值．
【详解】（1）证明：∵等边和等边；
∴，；
∵；
∴；
∴
（2）∵；
∴；
∵，；
∴；
∴；
即；
∵三角形是等腰直角三角形，E为中点
∴平分；
∴；
∴；
上取一点H，使；
∴是等边三角形；
∴；
即；
∵，
，
；
∴；
∴；
即．
（3）如下图所示，∵，；
把绕点E逆时针旋转，得到；
∵；
∴；
∴C，D，M三点共线；
由旋转的性质可知，是等边三角形；
∴;
∴点E的轨迹是射线；
作点B关于直线的对称点N；
∴；
∵；
∴；
即的最小值为．
【点睛】本题主要考等边为背景下的全等三角形的判定，旋转变换下以等腰直角三角形旋转下的全等构造，进而判定线段相等，考查全等的判定和性质，
考查对角互补性的全等构造，确定动点E的轨迹，将军饮马求两条线段的最值，遇到两个共顶点等边三角形，就一定能通过公共角和差，
证明全等三角形，确定性分析，构造等边三角形是解决线段和证明的有效路径，求最值，利用旋转寻找动点轨迹是解题关键，将军饮马问题巧转化，求最值也是解题关键．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，等边对等角以及三角形的外角性质得出，即可证明结论；
（2）根据已知条件先证明，得出，证明，根据，得出，得出，即可证明结论；
（3）垂直平分线性质结合角平分线定义先证明，得出，根据即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，设与交与点G，
，于点D，
，
，，
，
；
（2）如图，连接，
，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，连接，
，，
，
垂直平分，
，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，线段的垂直平分线．
15．(1)180
(2)证明见解析
(3)t的值为或
【分析】这是一道关于动点的综合问题，考查了全等三角形的性质和判定，同角的补角相等等，
（1）根据四边形内角和定理可得答案；
（2）结合（1）根据证明即可；
（3）由题意，表示，，再分当Q在边上时，根据≌，列出关于t的方程，解方程即可；当Q在边延长线上时，根据≌，列出方程求出t值即可．
【详解】（1）∵的高，相交于点O，
∴.
∵四边形的内角和，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）∵，是高，
∴.
由（1），得，
∵，
∴.
∵，
∴．
（3）存在，t的值为或．
由题意，得，．
∵，．
当Q在边线段上时，如图，≌，
∴，
即，
；
当Q在边延长线上时，如图，≌，
∴，
即，
．
∴t的值为秒或秒时，以点B为顶点的三角形与以点F,C,Q为顶点的三角形全等．
16．(1)见解析
(2)①，②
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理以及全等三角形对应边相等，对应角相等．
（1）先证明，即可求证，则，最后根据，即可求证；
（2）①由（1）同理可得，则，根据，即可得出；②和（1）同理可得，推出，即可得出，再根据，，得出，则．
【详解】（1）证明：∵，，
∴
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）同理可得，
∴，即，
∵，
∴；
②和（1）同理可得，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴．
17．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）过点C作于H，通过证明，可得；
（2）由可证，可得，，即可求解；
（3）过点A作交DB延长线于点E，作交DB的延长线于点F，由可证，可得，由可证，可得，，由可证，可得，由线段的和差关系即可求解．
【详解】（1）证明：过点作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为；
（3）证明：如图2，过点作交延长线于点，作交的延长线于点，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，坐标与图形等等，恰当添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．(1)
(2)见解析
(3)或．
【分析】对于（1），先根据等边三角形的性质得出，，再根据证明≌，进而得出，然后由，可知，最后根据三角形外角的性质得出答案；
对于（2），先根据直角三角形的性质得，再根据（1）中的结论得，，由已知得，可得，即可得出，然后根据证明≌，可得答案；
对于（3），分，，三种情况讨论，并求出答案.．
【详解】（1）∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴≌，
∴．
∵，
∴．
∵是的外角，
∴；
（2）在中，，
∴，
∴．
∵≌，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴≌，
∴；
（3）当时，点A和点M重合，如图所示．
根据题意可知，
∴．
∵，
∴；
当时，如图所示，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴．
∵是等边三角形，是等边三角形，
∴，，．
∵，
∴．
∵，
∴≌，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
不存在的情况．
∴的度数是或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等，两个三角形全等是证明边长相等的常用方法，注意多种情况讨论是解题的关键．
19．(1)，
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性，得出，求出a和b的值，即可得出点A和点B的坐标；
（2）根据点A和点B的坐标，得出，即可得出的度数；
（3）连接，在上截取，连接，易得垂直平分，则，进而求证，，通过证明，得出，，再证明是等边三角形，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，解得：，
∴，；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：
理由如下：如图，连接，在上截取，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，等腰直角三角形的性质，垂直平分线的判定，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据即可证明；
（2）过点作轴，交于点，得出，由平行线的性质得，由轴得，证明，从而得出，推出，根据证明，得出，再由全等三角形的性质得到，即可得证；
（3）延长到，使，连接，，延长交于点，根据证明，得出，，故，由平行线的性质得出，进而推出，根据证明，故，，即可证明．
【详解】（1）证明：轴于点，轴于点，
，
∵，，
，，
；
（2）证明：如图2，过点作轴，交于点，
，
，
轴，
，
∵，
，，，
∴，
，
在与中，
，
，
，即点为中点，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图3，延长到，使，连接，，延长交于点，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
∴，
∵
，
，
，
，
，，
，
，即．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定，利用做辅助线作全等三角形是解决本题的关键．
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