专题02 全等三角形中垂直和旋转问题-2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

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2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题02 全等三角形中垂直和旋转问题
【典型例题】
1．（2021·上海市傅雷中学八年级期中）已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE．

（1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形；
（2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 　 　°；
（3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是 　 　°；
（4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是 　 　°．
【答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）60；（4）60；
【分析】
（1）根据题意，得∠ABC＝∠DBE＝60°，从而得；通过证明，得；通过证明，得，根据等边三角形的性质分析，即可完成证明；
（2）结合题意，通过证明为等边三角形，得；结合（1）的结论，根据三角形外角性质，推导得，从而完成求解；
（3）同理，通过证明为等边三角形，得；通过证明，得；根据三角形外角性质，推导得，从而完成求解；
（4）根据题意，通过证明为等边三角形，推导得，通过证明，得，结合三角形外角的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵∠ABC＝∠DBE＝60°
∴，，
∴
∵BA＝BC，BD＝BE
和中

∴
∴
和中

∴
∴
∴为等边三角形；
（2）∵∠ABC＝∠DBE＝60°, BA＝BC
∴为等边三角形；
∴
根据题意，AE和CD相交于点O
∵
∴
∵
∴
∴，即直线AE和CD的夹角是
故答案为：；
（3）∵∠ABC＝∠DBE＝60°, BA＝BC
∴为等边三角形；
∴
∵，，∠ABC＝∠DBE＝60°
∴
∵BA＝BC，BD＝BE
和中

∴
∴
如图，延长，交CD于点O

∴
∵
∴
∴，即直线AE和CD的夹角是
故答案为：；
（4）∵BA＝BC，
∴
∵∠ACB＝60°
∴
∴为等边三角形
∵BD＝BE，∠ABC＝∠DBE
∴
∵，
∴
和中

∴
∴
分别延长CD、AE，相较于点O，如下图：

∴
∵
∴
∴，即直线AE和CD的夹角是
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形、等边三角形、全等三角形、补角、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、三角形外角的性质，从而完成求解．



【专题训练】
一、 填空题
1．（2021·河南偃师·八年级期中）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝21°，∠2＝30°，则∠3＝___．

【答案】51°
【分析】
根据∠BAC=∠DAE通过角的计算即可得出∠1=∠CAE，结合AB=AC、AD=AE即可证出△BAD≌△CAE（SAS），进而即可得出∠ABD=∠2=30°．再根据外角的性质即可得出∠3的度数．
【详解】
解：∵∠BAC=∠DAE，∠BAC=∠1+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，
∴∠1=∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠2=30°．
∵∠3=∠1+∠ABD=21°+30°=51°．
故答案为：51°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及外角的性质，通过证明三角形全等找出∠ABD=∠2是解题的关键．
2．（2021·辽宁甘井子·八年级期中）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=5，DE=2.7，则BE=__________．

【答案】2.3
【分析】
证明△BCE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到CE=AD=5，BE=CD，结合图形计算即可．
【详解】
解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CBE=∠ACD，且AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴CE=AD=5，CD=BE，
∴BE=CD=CE-DE=2.3，
故答案为：2.3．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
3．（2021·山东庆云·八年级期中）如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝53°，则∠AEB＝____．

【答案】
【分析】
先求出，再利用“”证明，进而得，从而得出，再利用三角形的内角和等于180°列式求出，然后再次利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【详解】
解：∵，
∴，
即，
在和中，

∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中，．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
4．（2021·湖北·黄石八中八年级期中）如图，在 中，，，分别过点 ， 作经过点 的直线的垂线段 ，，若 ，，则 的长为____．

【答案】
【分析】
利用垂直的定义得到一对直角相等，由∠BAC=90°，利用平角的定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AB=AC，利用AAS得到三角形ABD与三角形ACE全等，利用全等三角形对应边相等得到DB=AE=2，AD=CE=4，由DE=AD+AE即可求出DE长．
【详解】
解：∵BD⊥DE，CE⊥DE，BA⊥AC，
∴∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴DB=AE=2，CE=AD=4，
则DE=AD+AE=4+2=6．
故答案为：6．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
5．（2021·江苏·南京市第十二初级中学八年级期中）如图，已知ABC和DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FGBE；④∠BOC＝∠EOC．其中正确结论有_______．

【答案】①②③④
【分析】
首先根据等边三角形的性质，得到BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠BCD＝60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD＝∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF＝CG，得到△CFG是等边三角形，易得③正确．过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，想办法证明CN＝CM即可判断④正确；
【详解】
解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD，（①正确）
∠CBD＝∠CAE，
∵∠BCA＝∠ACG＝60°，AC＝BC，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴AG＝BF，（②正确）
同理：△DFC≌△EGC（ASA），
∴CF＝CG，
∴△CFG是等边三角形，
∴∠CFG＝∠FCB＝60°，
∴FG∥BE，（③正确）
过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC＝∠AEC，
∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，
∴△CDN≌△CEM，
∴CM＝CN，
∵CM⊥AE，CN⊥BD，
∴△Rt△OCN≌Rt△OCM（HL）
∴∠BOC＝∠EOC，
∴④正确；
故答案为：①②③④．

【点睛】
此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、解答题
6．（2021·湖北·安陆市陈店乡初级中学八年级阶段练习）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．

【答案】（1）见解析；（2）78°
【分析】
（1）证明△EAF≌△BAC，即可得到结论；
（2）由△EAF≌△BAC，推出∠AEF=∠ABC＝65°，由AB=AE，得到∠AEB=∠ABC＝65°，求出∠FEC，再利用三角形的外角的性质求出答案．
【详解】
（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠CAF+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，即∠EAF=∠BAC，
∵AE＝AB，AC=AF，
∴△EAF≌△BAC，
∴EF＝BC；
（2）∵△EAF≌△BAC，
∴∠AEF=∠ABC＝65°，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABC＝65°，
∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF＝50°，
∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=78°．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理及性质定理是解题的关键．
7．（2021·福建·武夷山市第二中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，BE ⊥CE于点E，AD ⊥CE于点D．
（1）求证：△BCE ≌△CAD；
（2）若AD =12， BE =5，求ED的长．

【答案】（1）见解析；（2）ED的长为7．
【分析】
（1）根据AAS证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AD=CE=12，CD=BE=5，从而求得ED的长．
【详解】
解：（1）证明：∵BE ⊥CE于点E，AD ⊥CE于点D，
∴∠CEB=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵∠ACB = 90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
又∵AC = BC，
∴≌；
（2）由（1）知，≌，
∴BE=CD，CE=AD，
∵AD =12， BE =5，
∴CE=12，CD=5，
∴ED=CE－CD=12－5=7．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定及性质定理是解题的关键．
8．（2021·山东邹城·八年级期中）如图，点D在△ABC的边BC上，DE交AC于点F，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CDE，BC＝DE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AF＝2CF，DF＝EF，△CDF的面积为1，求△ABC的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）S△ABC＝4．
【分析】
（1）首先根据∠C＝∠E，得到∠FDC＝∠FAE，然后根据∠BAD＝∠CDE证得∠BAC＝∠DAE，最后根据AAS证明△BAC≌△DAE即可；
（2）首先根据AF＝2CF，△CDF的面积为1，求出S△ADF＝2S△DFC＝2，然后根据DF＝EF，可求出S△AEF＝S△ADF＝2，进而可求出△ADE的面积，即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵∠C＝∠E，∠DFC＝∠AFE，
∴∠FDC＝∠FAE，
∵∠BAD＝∠CDE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（AAS）．
（2）解：∵AF＝2CF，
∴S△ADF＝2S△DFC＝2，
∵DF＝EF，
∴S△AEF＝S△ADF＝2，
∴S△AED＝4，
∵△BAC≌△DAE，
∴S△ABC＝S△ADE＝4．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等高模型，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（2021·湖北·安陆市陈店乡初级中学八年级阶段练习）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，
①求证：△ADC≌△CEB；
②求证：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；（3），证明见解析
【分析】
（1）①根据角之间的关系可得，，即可求证；②根据全等得到线段之间的关系，即可求解；
（2）根据等角的余角相等得到，易得，得到，，所以；
（3）具有的等量关系为：．证明的方法与（2）相同．
【详解】
解：（1）①∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴．
在和中，
，
∴
②∵
∴
∴
（2）∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴．
在和中，
，
∴
∴
∴；
（3）．
由（2）方法，可得，，
∴
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质．
10．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，
①求证：∠EAC＝∠BCF．
②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．
（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）

【答案】（1）①证明见解析，②EF＝AE+BF；证明见解析；（2）AE＝BF+EF或BF＝AE+EF．
【分析】
（1）①根据∠AEC＝∠BFC＝90°，利用同角的余角相等证明∠EAC＝∠FCB即可；②根据AAS证△EAC≌△FCB，推出CE＝BF，AE＝CF即可；
（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系即可．
【详解】
（1）证明：①∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB＝90°，
∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，∠ECA+∠FCB＝90°，
∴∠EAC＝∠FCB，
②EF＝AE+BF；
证明：在△EAC和△FCB中，
，
∴△EAC≌△FCB（AAS），
∴CE＝BF，AE＝CF，
∴EF＝CE+CF＝AE+BF，
即EF＝AE+BF；
（2）①当AD＞BD时，如图①，
∵∠ACB＝90°，AE⊥l直线，
同理可证∠BCF＝∠CAE（同为∠ACD的余角），
又∵AC＝BC，BF⊥l直线
即∠BFC＝∠AEC＝90°，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，CE＝BF，
∵CF＝CE+EF＝BF+EF，
∴AE＝BF+EF；
②当AD＜BD时，如图②，
∵∠ACB＝90°，BF⊥l直线，
同理可证∠CBF＝∠ACE（同为∠BCD的余角），
又∵AC＝BC，BE⊥l直线，即∠AEC＝∠BFC＝90°．
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，BF＝CE，
∵CE＝CF+EF＝AE+EF，
∴BF＝AE+EF．

【点睛】
本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ACE≌△CBF（AAS），利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．
11．（2021·浙江·杭州江南实验学校八年级期中）如图，在△ABC中．
（1）如图①，分别以AB、AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD；
①猜想BE与CD的数量关系是 　 　；
②若点M，N分别是BE和CD的中点，求∠AMN的度数；
（2）如图②，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，DC、BE交于点P，连接AP，请直接写出∠APC与α的数量关系

【答案】（1）①BE＝CD；②60°；（2）∠APC＝
【分析】
（1）①证△ABE≌△ADC（SAS），即可得出结论；
②连接AN，由①得：△ABE≌△ADC（SAS），则BE＝CD，∠ABE＝∠ADC，再证△ADN≌△ABM（SAS），得AN＝AM，∠DAN＝∠BAM，然后证∠MAN＝∠BAD＝60°，得△AMN为等边三角形，即可得出∠AMN＝60°；
（2）过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，同（2）得：△ABE≌△ADC（SAS），△ADM≌△ABN（AAS），则∠AEB＝∠ACD，AM＝AN，证出PA平分∠DPE，得∠APE＝∠DPE，再证∠EPC＝∠CAE＝α，得∠DPE＝180°﹣α，则∠APE＝90°﹣α，即可得出结论．
解：（1）①BE＝CD，理由如下：
∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠CAE＝60°，AC＝AE，
∴∠CAE＋∠BAC＝∠BAD＋∠BAC，
即∠BAE＝∠DAC，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD，
故答案为：BE＝CD；
②连接AN，如图①所示：
由①得：△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ADC，
∵点M，N分别是BE和CD的中点，
∴BM＝DN，
又∵AD＝AB，
∴△ADN≌△ABM（SAS），
∴AN＝AM，∠DAN＝∠BAM，
∴∠BAM＋∠BAN＝∠DAN＋∠BAN，
即∠MAN＝∠BAD＝60°，
∴△AMN为等边三角形，
∴∠AMN＝60°；
（2）∠APC＝，理由如下：
过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，如图②所示：
同②得：△ABE≌△ADC（SAS），△ADM≌△ABN（AAS），
∴∠AEB＝∠ACD，AM＝AN，
∵AM⊥CD，AN⊥BE，
∴PA平分∠DPE，
∴∠APE＝∠DPE，
又∵∠EPC＋∠ACD＝∠CAE＋∠AEB，
∴∠EPC＝∠CAE＝α，
∴∠DPE＝180°﹣α，
∴∠APE＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠APC＝∠APE＋∠EPC＝90°﹣α＋α＝90°＋α．

12．（2021·湖北曾都·九年级期中）如图，OAB和OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M

（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD的度数为 °；
（2）如图2，当α＝60°时，求∠AMD的度数；
（3）如图3，当OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示∠AMD，并用图3进行证明；若不确定，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）如图1，设交于，只要证明，推出，由，可得；
（2）如图2，设交于，只要证明，推出，由，可得；
（3）如图3，设交于，只要证明，推出，由，可得，可得；
【详解】
解：（1）如图1中，设交于

∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为
（2）如图2，设交于，

∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为
（3）如图3，设交于，

∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为
【点睛】
本题考查了几何变换综合题，全等三角形的判定，三角形内角和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用“8字型”证明角相等．
13．（2021·河南郾城·八年级期中）在等边中，点D为的中点，点F在延长线上，点E在射线上，．

（1）如图1，当点E与点B重合时，则与的数量关系是_________；
（2）当点E在线段上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
（3）如图3，当点E在的延长线上时，，请直接写出的长．
【答案】（1）DE=DF；（2）DE=DF，理由见解析；（3）4
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质及已知，可得∠DBC=∠F=30゜，从而可得DE=DF；
（2）仍有DE=DF；过点D作DG∥BC交AB于点G，可证明△DGE≌△DCF，从而可得DE=DF；
（3）过点D作DG∥BC交AB于点G，可证明△DGE≌△DCF，从而可得GE=CF；设BC=a，则CF=8－a，，，则可得方程，解方程即可求得a．
【详解】
（1）∵△ABC是等边三角形，D点为AC的中点
∴∠DBC=30゜
∵∠EDF=120゜
∴∠F=180゜―∠DBC―∠EDF=30゜
∴∠DBC=∠F
∴DE=DF
故答案为：DE=DF
（2）仍有DE=DF；理由如下：
过点D作DG∥BC交AB于点G，如图2所示

则∠AGD=∠ABC
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60゜
∴∠AGD=∠A=60゜
∴△AGD是等边三角形
∴∠ADG=∠AGD=60゜，AD=GD
∴∠DGE=∠GDC=120゜
∴∠EDF=∠GDC=120゜
∵∠GDE+∠EDC=∠EDC+∠CDF
∴∠GDE=∠CDF
∵D点是AC的中点
∴AD=DC=GD
∵∠ACB=60゜
∴∠DCF=120゜
∴∠DGE=∠DCF
在△DGE和△DCF中

∴△DGE≌△DCF(ASA)
∴DE=DF
（3）过点D作DG∥BC交AB于点G，如图3所示

与（2）同理有：△DGE≌△DCF
∴GE=CF
设BC=a，则CF=8－a，
∴
由GE=CF，得：
解得：a=4
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造三角形全等是本题后两问的关键．
14．（2021·山西平定·八年级期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　 　，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，则有S1　 　S2（填“＞、＝、＜”）

【答案】（1）DE；（2）见解析；（3）=
【分析】
（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；
（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H，EQ⊥FG于点Q，进而可得∠BAF=∠ADH，然后可证△ABF≌△DAH，则有AF=DH，进而可得DH=EQ，通过证明△DHG≌△EQG可求解问题；
（3）过点D作DO⊥AF交AF于O，过点E作EN⊥OD交OD延长线于N，过点C作CM⊥OD交OD延长线于M，由题意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得∠ADO=∠DCM，则有△AOD≌△DMC，△FOD≌△DNE，进而可得OD=NE，通过证明△ENP≌△CMP及等积法可进行求解问题．
【详解】
解：（1）∵，∴；
（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H，EQ⊥FG于点Q，如图所示：

∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴△ABF≌△DAH，
∴AF=DH，
同理可知AF=EQ，
∴DH=EQ，
∵DH⊥FG，EQ⊥FG，
∴，
∵
∴△DHG≌△EQG，
∴DG=EG，即点G是DE的中点；
（3），理由如下：如图所示，过点D作DO⊥AF交AF于O，过点E作EN⊥OD交OD延长线于N，过点C作CM⊥OD交OD延长线于M

∵四边形ABCD与四边形DEGF都是正方形
∴∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE
∵DO⊥AF，CM⊥OD，
∴∠AOD=∠CMD=90°，∠OAD+∠ODA=90°，∠CDM+∠DCM=90°，
又∵∠ODA+∠CDM=90°，
∴∠ADO=∠DCM，
∴△AOD≌△DMC，
∴，OD=MC，
同理可以证明△FOD≌△DNE，
∴，OD=NE，
∴MC =NE，
∵EN⊥OD，CM⊥OD，∠EPN=∠CMP，
∴△ENP≌△CMP，
∴，
∵，
∴,
∴即．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．