【期末必备】15.1 分式-2021-2022学年八年级数学上册同步知识+题型过关练(人教版)((解析版+原卷版)学案

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知识点1分式的概念
一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有 字母 ，那么式子AB叫做 分式 。分式AB中，A叫做 分子 ，B叫做 分母 。
注意1
判断一个式子是不是分式，关键是看它的分母中是否含有字母，π除外。
一个式子是分式需要满足的三个条件。
（1）是形如AB的式子；（2）A,B为整式；（3）分母B中含有字母。
注意2
判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，要看原式的本来“面目”是否符合分式的定义。比如，2aa就是分式。
知识点2分式有、无意义的条件
分式有意义的条件：分式的分母 不等于 0。
注意3
分母部位0，并不是分母中的字母不为0，而是表示分母的式子的值不能为0。
分式无意义的条件：分式的分母 等于 0。
知识点3分式的值为0的条件
当分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为 0 。
分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式AB的值为0的条件是 A=0 且 B≠0 ，两者缺一不可。
注意4 使分式的值为0的解题方法
先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值为0，当分母的值不为0时，这个值就是所求的字母的值。
知识点4分式的基本性质
分式的分子与分母乘（或除以）同一个 不等于0 的整式，分式的值 不变 。
用式子表示为AB=A×CB×C，AB=A÷CB÷C（C≠0），其中A,B,C是整式。
注意5
运用分式的基本性质时，要注意限制条件C≠0和隐含条件B≠0；
分子和分母是多项式时，要把分子和分母分别看成一个整体。
知识点5约分、最简分式
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的 公因式 约去，叫做分式的约分。
注意6
对分式进行约分时，一般先分别对分子、分母进行因式分解。
分子与分母没有公因式的分式，叫做 最简分式 。
注意7 找公因式的方法
当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式。当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解，比如，a2-4aa2-16=aa-4a-4a+4=aa+4。
知识点6分式的通分
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 同分母 的分式，叫做分式的通分。
注意8 约分与通分的联系与区别
联系：约分和通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值。
区别：约分针对一个分式，约分使分式变得简单；通分针对两个或两个以上的分式，通分使异分母分式化为同分母分式。
几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的 积 作为公分母，它叫做 最简公分母 。
注意9
分母互为相反数时，每个分母都可以作为最简公分母；
若分式的分子与分母由公因式，应该先找最简公分母再进行化简。
通分的步骤：（1）求各分式的最简公分母；（2）用这个最简公分母除以分式的分母；（3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母。
题型1分式有、无意义及值为0的条件
例题1若分式x-1x+1的值为零，则x的值是（）
A.1B.-1C.±1D.2
【解析】
∵分式x-1x+1的值为零，∴x-1=0且x+1≠0，解得x=1，故选A
变式1 当x为何值时，分式4x2-12x+1有意义？
【解析】
当2x+1≠0时，分式4x2-12x+1有意义。
即当x≠-12时，分式4x2-12x+1有意义。
题型2分式的基本性质
例题2 不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数。
（1）a+13b25a-2b
（2）0.03a-+0.5b
【解析】
原式=15a+13b1525a-2b=15a+5b6a-30b
原式=1000.03a-+0.5b=3a-20b8a+50b
变式2 若将a+b4a2中的a与b的值都扩大为原来的2倍，则这个分式的值将（）
A.扩大为原来的2倍B.不变C.缩小为原来的12D.缩小为原来的14
【解析】
C
题型3 分式的化简求值
例题3 先化简，再求值：a3-4ab2a3-4a2b+4ab2，其中|a-2|+(b+3)2=0
【解析】
a3-4ab2a3-4a2b+4ab2=aa2-4b2a(a2-4ab+4b2)=a(a-2b)(a+2b)a(a-2b)2=a+2ba-2b
∵|a-2|+(b+3)2=0且|a-2|≥0，(b+3)2≥0，∴a-2=0，b+3=0
解得a=2,b=-3
当a=2,b=-3时，原式=a+2ba-2b=1
变式3 先化简，再求值：x2-2xx2-4，其中x是不等式组 1-x>-1-x2，的整数解
x-1>0
【解析】
1-x>-1-x2，①
x-1>0，②
解①得x<3，解②得x>1
∴不等式组的解集为1∵：x2-2xx2-4=xx-2(x-2)(x+2)=xx+2
∴当x=2时，原式=12
题型4分式在规律问题中的应用
例题4 观察下面一列分式：x3y,-x5y2,x7y3,-x9y4,……（其中x≠0）
根据上述分式的规律写出第6个分式。
根据你所发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由。
【解析】
（1）观察各分式的规律可得第6个分式为-x13y6
（2）由已知可得第n（n为正整数）个分式为-1n+1×x2n+1yn，理由：
∵分母的底数为y，次数的连续的正整数，分子的底数是x，次数是连续的奇数，且第偶数个分式的系数为负，
∴第n（n为正整数）个分式为-1n+1×x2n+1yn
变式4 一组按规律排列的式子：1a2,-4a5,9a8,-16a11,……(a≠0)，其中第7个式子是__________________________，第n个式子是___________________________（n为正整数）。
【解析】
49a20；-1n+1n2a3n-1 （n为正整数）