初中数学人教版七年级上册3.1 从算式到方程综合与测试学案及答案

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3.1从算式到方程
学习要求
了解从算式到方程是数学的进步．理解方程、方程的解和解方程的概念，会判断一个数是否为方程的解．理解一元一次方程的概念，能根据问题，设未知数并列出方程．初步掌握等式的性质1、性质2．
掌握等式的性质，能列简单的方程和求简单方程的解．
知识点一： 方程
例题．下列各式3x﹣2，2m+n=1，a+b=b+a（a，b为已知数），y=0，x2﹣3x+2=0中，方程有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式1．在以下的式子中：+8=3；12﹣x；x﹣y=3；x+1=2x+1；3x2=10；2+5=7；其中是方程的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
变式2．下列各式：①5+2=7；②x=1；③2a＜3b；④4x+y；⑤x+y+z=0；⑥x+=1；⑦+1=3x，其中方程式的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
知识点二： 一元一次方程
例题．下列方程：①x=3；②x+2y=1；③+2=0；④﹣1=x；⑤x2﹣4=3x．其中是一元一次方程的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
变式1．已知下列方程：①；②0.3x=1；③；④x2﹣4x=3；⑤x=6；⑥x+2y=0．其中一元一次方程的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
变式2．在下列方程中①x2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
知识点三： 解方程和方程的解
例题1．下列方程的解是x=2的方程是（ ）
A．4x+8=0B．﹣x+=0C．x=2D．1﹣3x=5
例题2．关于x的方程3（x+1）﹣6a=0的一个根是﹣2，则a的值是（ ）
变式．判断括号内未知数的值是不是方程的根：
（1）x2﹣3x﹣4=0（x1=﹣1，x2=1）；
（2）（2a+1）2=a2+1（a1=﹣2，a2=﹣）．
知识点四： 等式的性质
例题．已知a=b，则下列等式不成立的是（ ）
A．a+1=b+1B．+4=+4C．﹣4a﹣1=﹣1﹣4bD．1﹣2a=2b﹣1
变式1．根据等式性质，下列结论正确的是（ ）
A．如果2a=b﹣2，那么a=bB．如果a﹣2=2﹣b，那么a=﹣b
C．如果﹣2a=2b，那么a=﹣bD．如果2a=b，那么a=b
变式2．已知ax=ay，下列等式变形不一定成立的是（ ）
A．b+ax=b+ayB．x=y
C．x﹣ax=x﹣ayD．=
知识点五： 运用等式性质解方程
例题．利用等式的性质解方程：
（1）5﹣x=﹣2
（2）3x﹣6=﹣31﹣2x．

变式1．用等式的性质解下列方程：
（1）4x+7=3；
（2）x﹣x=4．

变式2．利用等式的性质解下列方程：
（1）x﹣3=9；
（2）5=2x﹣4；
（3）﹣4+5x=2x﹣5；
（4）﹣﹣2=10．
拓展点一： 根据已知条件中的相等关系列方程
例题．根据下列条件列出方程
（1）x比它的大15
（2）2xy与5的差的3倍等于24
（3）y的与5的差等于y与1的差．
变式1．一件衬衫先按成本加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的成本是多少钱？设衬衫的成本为x元．
（1）填写下表：（用含有x的代数式表示）
（2）根据相等关系列出方程： ．
变式2．在一次美化校园活动中，先安排31人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树的人数的2倍．问支援拔草和植树的分别有多少人？（只列出方程即可）
拓展点二： 根据一元一次方程的定义解题
例题1．已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18=0是一元一次方程，试求：
（1）m的值；
（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．
变式．已知方程（a﹣2）x|a|﹣1+8=0是关于x的一元一次方程，求a的值并求该方程的解．

例题2．（|k|﹣1）x2+（k﹣1）x+3=0是关于x的一元一次方程，求k的值．

变式．已知方程2kx2+2kx+3k=4x2+x+1是关于x的一元一次方程，求k值，并求出这个方程的根．
拓展点三： 方程解的应用
例题．x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解．

变式．已知x=﹣1是关于x的方程8x3﹣4x2+kx+9=0的一个解，求3k2﹣15k﹣95的值．

拓展点四： 利用等式的性质将等式变形
例题．将方程4x+3y=6变形成用y的代数式表示x，则x= ．
变式1．由2x﹣16=3x+5得2x﹣3x=5+16，在此变形中，是在原方程的两边同时加上了 ．
变式2．方程5x﹣2=4（x﹣1）变形为5x﹣2=4x﹣4的依据是 ．
拓展点五： 利用等式的性质解简易方程
例题．利用等式的性质解下列方程，并口算检验：
（1）3x﹣5=6；
（2）﹣7x=6x﹣26；
（3）﹣x﹣2=1；
（4）2﹣x=﹣3．

变式．利用等式的性质解下列方程：
（1）2x+3=11；
（2）x﹣1=x+3；
（3）x﹣1=6；
（4）﹣3x﹣1=5﹣6x．
易错点一： 对一元一次方程概念理解错误
例题．（1）3x=10 （2）5x﹣y=35 （3）x2﹣4=0 （4）4z﹣3（z+2）=1 （5）=3 （6）x=3．其中是一元一次方程的个数是（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
变式．已知下列方程，①3x﹣2=6；②x﹣1=y；③+1.5x=8；④3x2﹣4x=10；⑤x=0；⑥=3．其中一元一次方程的个数有（ ）
A．3B．4C．5D．6
易错点二： 忽略一次项系数不能为0这个条件
例题．已知（a﹣2）x|a|﹣1+4=0是关于x一元一次方程，求|x+2a|的值．
变式．已知方程（m﹣8）x|m|﹣7+6=m﹣9是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）写出关于x的一元一次方程．

易错点三： 运用等式的性质不注意隐含条件
例题．下列各式运用等式的性质变形，错误的是（ ）
A．若﹣a=﹣b，则a=bB．若=，则a=b
C．若ac=bc，则a=bD．若（m2+1）a=（m2+1）b，则a=b
变式．下列判断错误的是（ ）
A．若x=y，则xm﹣5=ym﹣5B．若（a2+1）x=1，则x=
C．若x2=3x，则x=3D．若m=n，则am=an
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