2020-2021学年2.1 整式学案

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2.1 整式
学习要求:
理解代数式的概念，掌握代数式的基本写法，能按要求列出代数式，会求代数式的值．
2、了解整式的有关概念，会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数．
知识点一：用字母表示数
书写格式：
例1．下列代数式中符合书写要求的是（ ）
A．ab2×4B．C．D．6xy2÷3
例2．下列代数式书写规范的是（ ）
A．8x2yB．C．ax3D．2m÷n
变式1．下列写法正确的是（ ）
A．x5B．4m×nC．x（x+1）D．﹣ab
变式2．下列代数式的书写规范的是（ ）
A．m×nB．7ab÷6C．2xD．a2﹣
代数式读法：
例1．代数式的意义是（ ）
A．a除以b加1B．b加1除a
C．b与1的和除以aD．a除以b与1的和所得的商
例2．代数式的意义为（ ）
A．x与y的一半的差B．x与y的差的一半
C．x减去y除以2的差D．x与y的的差
变式1．代数式a﹣b2的意义表述正确的是（ ）
A．a减去b的平方的差B．a与b差的平方
C．a、b平方的差D．a的平方与b的平方的差
变式2．下面用数学语言叙述代数式﹣b，其中表达正确的是（ ）
A．a与b差的倒数B．b与a的倒数的差
C．a的倒数与b的差D．1除以a与b的差
变式3．代数式2（y﹣2）的正确含义是（ ）
A．2乘以y减2B．2与y的积减去2
C．y与2的差的2倍D．y的2倍减去2
变式4．代数式的正确解释是（ ）
A．a与b的倒数的差的平方B．a的平方与b的倒数的差
C．a的平方与b的差的倒数D．a与b的差的平方的倒数
变式5．设两数为a，b，那么代数式表示（ ）
A．a与b的平方差的5倍除以2
B．a与b的差的平方的5倍除以2
C．a的5倍与b的差的平方的一半
D．a的5倍与b的平方差的一半
整式：
例1．对于下列四个式子：①0.1；②；③；④．其中不是整式的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
例2．下列代数式：，，2x﹣y，（1﹣20%）x，ab，，，其中是整式的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
变式1．下列代数式：（1）mn，（2）m，（3），（4），（5）2m+1，（6），（7），（8）x2+2x+，（9）y3﹣5y+中，整式有（ ）
A．3个B．4个C．6个D．7个
变式2．下列式子：x2+2，+4，，，﹣5x，0中，整式的个数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
变式3．在下列式子中：1，2x2y，，，，a+1，，整式共有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
知识点二：单项式
例1．在下列式子，﹣3x，﹣abc，a，0，a﹣b，0.95中，单项式有（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
变式．在六个代数式中，是单项式的个数（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
例题2．单项式的系数是（ ）
A．B．πC．2D．
变式．单项式﹣4ab2的系数是（ ）
A．4B．﹣4C．3D．2
例题3．单项式4xy2z3的次数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
变式．单项式﹣的次数是（ ）
A．﹣23B．﹣C．6D．3
例题4．下列关于单项式﹣的说法中，正确的是（ ）
A．系数是﹣，次数是2B．系数是，次数是2
C．系数是﹣3，次数是3D．系数是﹣，次数是3
变式1．下列说法正确的是（ ）
A．没有加减运算的代数式是单项式
B．单项式的系数是3，次数是2
C．单项式x既没有系数，也没有次数
D．单项式﹣a2bc的系数是﹣1，次数是4
变式2．单项式﹣3πxy2z3的系数和次数分别是（ ）
A．﹣3π，5B．﹣3，6C．﹣3π，7D．﹣3π，6
变式3．（2016•路北区二模）如果单项式2anb2c是六次单项式，那么n=（ ）
A．6B．5C．4D．3
知识点三：多项式
例1．在整式ab﹣πr2，，，2.5v中，多项式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式1．下列代数式a、2x2+2xy+y2、、a2﹣、﹣（x+y）中多项式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式2．有下列代数式4，，，x2﹣2xy+y2，，5m，﹣3xy+1，其中多项式的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
例题2．代数式﹣4xy2+xy+1是（ ）
A．二次二项式B．二次三项式C．三次二项式D．三次三项式
变式．多项式4xy2﹣3xy3+12的次数为（ ）
A．3B．4C．6D．7
例题3．下列说法中正确的是（ ）
A．多项式ax2+bx+c是二次多项式
B．﹣是6次单项式，它的系数是
C．﹣ab2，﹣x都是单项式，也都是整式
D．﹣4a2b，3ab，5是多项式﹣4a2b+3ab﹣5中的项
变式1．下列说法正确的是（ ）
A．单项式xy的系数是，次数是1
B．单项式﹣πa2b3的系数是﹣，次数是6
C．单项式x2的系数是1，次数是2
D．多项式2x3﹣3x2y2+x﹣1叫三次四项式
变式2．多项式﹣x|m|+（m﹣2）x+1是关于x的二次三项式，则m的值是（ ）
A．2B．﹣2C．﹣4D．2或﹣2
拓展点一：用字母表示数量关系
例题1．x的2倍与y的和的平方用代数式表示为（ ）
A．（2x+y）2B．2x+y2C．2x2+y2D．2（x+y）2
例题2．某工厂二月份的产值比一月份的产值增长了x%，三月份的产值又比二月份的产值增长了x%，则三月份的产值比一月份的产值增长了（ ）
A．2x%B．1+2x%C．（1+x%）x%D．（2+x%）x%
变式1．小红要购买珠子串成一条手链，黑色珠子每个a元，白色珠子每个b元，要串成如图所示的手链，小红购买珠子应该花费（ ）
A．（3a+4b）元B．（4a+3b）元C．4（a+b）元D．3（a+b）元
变式2．某书每本定价8元，若购书不超过10本，按原价付款；若一次购书10本以上，超过10本部分按八折付款．设一次购书数量为x本（x＞10），则付款金额为（ ）
A．6.4x元B．（6.4x+80）元C．（6.4x+16）元D．（144﹣6.4x）元
变式3．某个工人要完成3000个零件的加工，如果该工人每小时能加工x个零件，那么完成这批零件的加工需要的时间是 小时．
变式4．一个两位数，个位数字是n，十位数字为m，则这个两位数可表示为 ．
变式5．在一次植树活动中，某班共有a名男生每人植树3棵，共有b名女生每人植树2棵，则该班同学一共植树 棵．（用含a，b的代数式表示）
例题3．用字母表示图中阴影部分的面积．
变式．如图，请你求出阴影部分的面积（用含有x的代数式表示）．
例题4．请你用实例解释下列代数式的意义：
（1）5a+10b；
（2）3x．
变式1．说出下列代数式的意义：
（1）2（a+3）；
（2）a2+b2；
（3）．
变式2．请你用实例解释下列代数式的意义：
（1）5a+10b；
（2）3x；
（3）；
（4）10a3；
（5）（1﹣8%）x；
（6）（x+y）2；
（7）x2+y2；
（8）（x﹣y）2；
（9）x2﹣y2．
拓展点二：用概念解决问题
例题1．若多项式4xn+2﹣5x2﹣n+6是关于x的三次多项式，求代数式n3﹣2n+3的值．

变式1．﹣5x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，且3x2ny5﹣m的次数跟它相同
（1）求m，n的值
（2）求多项式的常数项以及各项的系数和．

变式2．已知多项式（3﹣b）x5+xa+x﹣6是关于x的二次三项式，求a2﹣b2的值．
例题2．已知多项式xm+1y2+2xy2﹣4x3+1是六次四项式，单项式26x2ny5﹣m的次数与该多项式的次数相同，求（﹣m）3+2n的值．
变式．已知多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny3﹣m与多项式的次数相同．
（1）求m、n的值；
（2）把这个多项式按x的降幂排列．
例题3．若代数式2x2+ax﹣y+b﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值与字母x的取值无关，求a、b的值．

变式1．若多现实mx3﹣2x2+3x﹣2x3+5x2﹣nx+1不含三次项及一次项，请你确定m，n的值，并求出mn+（m﹣n）2016的值．

变式2．若关于x、y的多项式x2y﹣（a﹣4）x2+（8b﹣a+2）xy+3x﹣2y﹣7不含二次项，则a101•（﹣b）100的值为多少？

拓展点三：代数式求值问题
例题1．化简求值：3a+（a﹣2b）﹣（3a﹣6b），其中a=2，b=﹣3．

变式1．先化等再求值；
（1）5abc﹣2a2b﹣[3abc+2（ab2﹣a2b）]，其中a=﹣，b=﹣1，c=3
（2）3（2x2﹣xy）﹣2（3x2﹣2xy），其中x=﹣2，y=﹣3．
变式2．先化简，再求值：2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2），其中x=，y=﹣1．

拓展点四：规律探究问题
例题1．观察下列各式：
﹣a，a2，﹣a3，a4，﹣a5，a6，…
（1）写出第2014个和2015个单项式；
（2）写出第n个单项式．
例题2．仔细观察下列四个等式：
32=2+22+3，42=3+32+4，52=4+42+5，62=5+52+6，…
（1）请你写出第5个等式；
（2）应用这5个等式的规律，用字母表示你发现的规律；
（3）你能验证这个规律的正确性吗？
变式1．观察下列各题：
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
…
（1）根据上面各式的规律，请直接写出1+3+5+7+9+…+99= ；
（2）请写出第n个式子的表达式 ．
变式2．一串数：，，，，，，，，，，…
（1）第800个数是多少？
（2）是第几个数？
（3）前552个数的和是多少？
（4）前n个数的和能否等于106，如果能，试求出n的值，如果不能，试说明理由．
变式3．请你观察：
=﹣，=﹣；=﹣；…
+=﹣+﹣=1﹣=；
++=﹣+﹣+﹣=1﹣=；…
以上方法称为“裂项相消求和法”
请类比完成：
（1）+++= ；
（2）++++…+= ．
（3）计算：++++的值．

拓展点五：整式在生活中的实际应用
例题．在沙坪坝住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图形如图所示）
（1）用含m，n 的代数式表示该广场的面积S；
（2）若m，n满足（m﹣6）2+|n﹣5|=0，求出该广场的面积．
变式．一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）记录如下（x＞9且x＜26，单位：km）
（1）说出这辆出租车每次行驶的方向．
（2）求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置．
（3）这辆出租车一共行驶了多少路程？
易错点一：分母中含字母的式子一定不是单项式
例题．在式子x+y，0，﹣a，﹣3x2y，，中，单项式共有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
变式1．在代数式：，3m﹣3，﹣22，﹣，2πb2中，单项式的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式2．在式子，2x+5y，0.9，﹣2a，﹣3x2y，中，单项式的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
易错点二：不要忽视省略的字母指数1
例题．单项式﹣的次数是（ ）
A．﹣23B．﹣C．6D．3
变式1．单项式4xy2z3的次数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
变式2．下列关于单项式的说法中，正确的是（ ）
A．系数是3，次数是2B．系数是，次数是2
C．系数是，次数是3D．系数是，次数是3
变式3．下列语句中错误的是（ ）
A．数字0也是单项式
B．单项式﹣a的系数与次数都是1
C．xy是二次单项式
D．﹣的系数是﹣
易错点三：多项式的次数不是所有项的次数之和
例题．多项式1+2xy﹣3xy2的次数为（ ）
A．1B．2C．3D．5
变式1．（2016秋•莒南县期末）下列说法中正确的个数是（ ）
（1）﹣a表示负数；
（2）多项式﹣3a2b+7a2b2﹣2ab+l的次数是3；
（3）单项式﹣的系数为﹣2；
（4）若|x|=﹣x，则x＜0．
A．0个B．1个C．2个D．3个
变式2．关于多项式0.3x2y﹣2x3y2﹣7xy3+1，下列说法错误的是（ ）
A．这个多项式是五次四项式
B．四次项的系数是7
C．常数项是1
D．按y降幂排列为﹣7xy3﹣2x3y2+0.3x2y+1
第一次
第二次
第三次
第四次
x
x﹣5
2（9﹣x）