高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件教案设计

《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）》

专题04充分条件与必要条件（讲）

充分条件与必要条件

充要条件

1．如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q．

2．如果p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．

3．如果p⇒q且q p，则称p是q的充分不必要条件．

4．如果p q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．

5．设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}，

若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

若A＝B，则p是q的充要条件．

6．p是q的充要条件是说，有了p成立，就一定有q成立．p不成立时，一定有q不成立．

1．集合，，则“”是“”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．设，则“”是“”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知，，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．设：，：，则是的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

重要考点一：充分条件

【典型例题】“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【题型强化】若“”是““的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.

【收官验收】：二次函数的图象与轴有交点；：判别式，则是的什么条件__________.（充分条件、必要条件）

【名师点睛】

1.判断p是q的充分条件，就是判断命题“若p，则q”为真命题．

2．p是q的充分条件说明：有了条件p成立，就一定能得出结论q成立．但条件p不成立时，结论q未必不成立．

例如，当x＝2时，x2＝4成立，但当x≠2时，x2＝4也可能成立，即当x＝－2时，x2＝4也可以成立，所以“x＝2”是“x2＝4”成立的充分条件，“x＝－2”也是“x2＝4”成立的充分条件．

重要考点二：必要条件

【典型例题】已知、，下列条件中，使成立的必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【题型强化】从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：“有实根”是“”的________．

【收官验收】生活中，我们还常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“坚持就是胜利”等熟语来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力在这些熟语里，“石穿”、“事成”、“胜利”分别是“水滴”、“有志”、“坚持”的______条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步。（填“充分不必要、必要不充分、充要或者既不充分也不必要”）

【名师点睛】

1.判断p是q的必要条件，就是判断命题“若q，则p”成立；

2．p是q的必要条件理解要点：

①有了条件p，结论q未必会成立，但是没有条件p，结论q一定不成立．

②如果p是q的充分条件，则q一定是p的必要条件．

真命题的条件是结论的充分条件；真命题的结论是条件的必要条件．假命题的条件不是结论的充分条件，但是有可能是必要条件．例如：命题“若p：x2＝4，则q：x＝－2”是假命题．p不是q的充分条件，但q⇒p成立，所以p是q的必要条件．

3．推出符号“⇒”

只有当命题“若p，则q”为真命题时，才能记作“p⇒q”．

重要考点三：充分条件与必要条件的应用

【典型例题】已知集合，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【题型强化】已知，，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ）．

A． B．

C． D．

【收官验收】若是的必要不充分条件，且，则实数a的值为______.

【名师点睛】

充分条件与必要条件的应用技巧：

(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．

(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．

重要考点四：充要条件的判断

【典型例题】a，b中至少有一个不为零的充要条件是（    ）

A．ab＝0 B．ab>0

C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0

【题型强化】设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得，”是“”的（     ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【收官验收】“方程没有实数根”的充要条件是________.

【名师点睛】

判断p是q的充分必要条件的两种思路

(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立，若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．

(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．

重要考点五：利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围

【典型例题】“不等式在上恒成立”的充要条件是（   ）

A． B． C． D．

【题型强化】方程至少有一个负根的充要条件是（    ）

A． B． C． D．或

【收官验收】已知两个关于x的一元二次方程和，两方程的根都是整数的充要条件为_______________．

【名师点睛】

充要条件中的含参数问题，往往是通过集合的包含关系解答．

重要考点六：充要条件的证明

【典型例题】已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.

【题型强化】已知，求证：的充要条件是．

【收官验收】求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是．

【名师点睛】

(1)充要条件的证明要确定命题中的条件和结论，要从两个方面进行证明，证充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命题的逆命题成立．

(2)证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件．尽管证明充要条件问题中，前者可以是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了，一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q是该步中证明的“结论”，即p⇒q．

重要考点七：充要条件的探求

【典型例题】下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；

（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；

（3），，；

（4）是一元二次方程的一个根，.

【题型强化】指出下列各题中，是的什么条件，并说明原因．

（1）数能被整除，数能被整除；

（2），；

（3）四边形的对角线相等，四边形是平行四边形．

【收官验收】已知条件p：；条件q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是什么？

【名师点睛】

(1)探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：①先由结论寻找使之成立的必要条件，再验证它也是使结论成立的充分条件，即保证充分性和必要性都成立．②变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件．

(2)求一个命题的充要条件时，往往要从两个方面进行求解：一是充分性，二是必要性．