人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算教学设计

《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）》

专题03集合的基本运算（讲）

1．并集和交集的定义

[知识点拨]　(1)简单地说，集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是集合A与B的并(交)集；(2)当集合A，B无公共元素时，不能说A与B没有交集，只能说它们的交集是空集；(3)在两个集合的并集中，属于集合A且属于集合B的元素只显示一次；(4)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同．

2．并集和交集的性质

3．全集

4.补集

[知识点拨]　(1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．

(2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．

(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则（     ）

A． B．

C． D．

3．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

4．设集合， ，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知全集，集合，，则如图所示阴影区域表示的集合为（  ）

A． B．

C． D．

重要考点一：并集的概念及运算

【典型例题】已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【题型强化】已知集合，，则________．

【收官验收】已知集合，，则中的元素个数为________.

【名师点睛】并集运算应注意的问题

(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．

(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．

(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．

重要考点二：交集的概念及其运算

【典型例题】已知集合，，则为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【题型强化】已知集合，则________.

【收官验收】已知集合，，若则实数的值为________

【名师点睛】求集合A∩B的方法与步骤

(1)步骤

①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；

②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B\”的形式；

③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)．

(2)方法

①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．

②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．

重要考点三：集合交集、并集运算的性质及应用

【典型例题】已知集合，，若，则（ ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【题型强化】设集合，．若，则  (　  　)

A． B． C． D．

【收官验收】已知若,则实数的值为(      )

A．0或1或2 B．1或2 C．0 D．0或1

【名师点睛】利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点

(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B＝B，A∩B＝A等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．

(2)关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解．

重要考点四：集合运算时忽略空集致错

【典型例题】集合，．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围．

【题型强化】设集合，集合．求：

（1）实数在什么范围内取值时，且；

（2）实数在什么范围内取值时，．

【收官验收】已知集合，.

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【名师点睛】A∩B＝B，B可能为空集，千万不要忘记．

重要考点五：数形结合思想的应用

【典型例题】已知集合，集合，若，则实数的取值范围是________

【题型强化】设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．或

【收官验收】某校一（1）班共有18名学生参加了学校书法社或手工社，其中参加书法社的学生有15人，参加手工社的学生有6人，则一（1）班这两个社团都参加了的学生共___________人.

【名师点睛】求解此类问题一定要看是否包括端点(临界)值．集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解．

重要考点六：补集的基本运算

【典型例题】设，集合，则（　　）

A． B． C． D．

【题型强化】已知集合，则_____

【收官验收】设全集，集合，则=__________．

【名师点睛】求集合补集的基本方法及处理技巧

(1)基本方法：定义法．

(2)两种处理技巧：

①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解．

②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．

重要考点七：交集、并集、补集的综合运算

【典型例题】已知集合，，则（  ）

A． B．

C． D．

【题型强化】已知全集，集合，，则______.

【收官验收】若全集，或，，则______（用，或其补集表示）.

【名师点睛】求集合交、并、补运算的方法

重要考点八：“正难则反”思想的应用

【典型例题】已知集合，若.求实数a的取值范围.

【题型强化】已知集合,则实数的值为__________.

【收官验收】设全集，．若，求实数的值．

【名师点睛】“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A．

补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．