高中数学人教版新课标A选修1-1第二章 圆锥曲线与方程2.3抛物线练习

抛物线及其标准方程

 [A组　学业达标]

1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3距离相等的点的轨迹是(　　)

A．直线　　　　　　　 B．抛物线

C．圆  D．双曲线

解析：∵定点(1,1)在直线x＋2y＝3上，

∴轨迹为过点(1,1)且垂直直线x＋2y＝3的直线．

答案：A

2．抛物线y＝－x2的焦点坐标为(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：x2＝－y，

∴2p＝1，p＝，

∴焦点坐标为.

答案：B

3．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　)

A．x2＝16y  B．x2＝8y

C．x2＝±8y  D．x2＝±16y

解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.

答案：D

4．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则实数a的值为(　　)

A.  B．－

C．8  D．－8

解析：由y＝ax2，得抛物线标准方程为x2＝y，

∴＝－2，

∴a＝－.

答案：B

5．若抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标是2的点M到抛物线焦点的距离是3，则p＝(　　)

A．1  B．2

C．4  D．8

解析：∵抛物线的准线方程为x＝－，

点M到焦点的距离为3，∴2＋＝3，

∴p＝2.

答案：B

6．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为________，准线方程为________．

解析：圆M的圆心为(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1.

答案：(1,0)　x＝－1

7．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.

解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.

不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，

由已知得－×2＝－1，故a＝.

答案：

8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；

②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；

④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．

其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)

解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．

答案：②④

9．求顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线3x－5y－36＝0上的抛物线方程．

解析：因为焦点在直线3x－5y－36＝0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以焦点A的坐标为(12,0)或.

设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，求得p＝24，所以此抛物线方程为y2＝48x；

设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，求得p＝，

所以此抛物线方程为x2＝－y.

综上所求抛物线方程为y2＝48x或x2＝－y.

10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是12的等边三角形，求此抛物线方程．

解析：如图，根据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|，由抛物线的定义得PM⊥抛物线的准线，设P，则点M，焦点F，由于△FPM是等边三角形，

所以

解得因此抛物线方程为y2＝12x.

[B组　能力提升]

11．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心的轨迹为(　　)

A．抛物线  B．双曲线

C．椭圆  D．圆

解析：设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r，点A(0,3)，由题意得|CA|＝r＋1＝y＋1，∴＝y＋1，化简得y＝x2＋1，∴圆心的轨迹是抛物线．

答案：A

12．一抛物线形拱桥，当桥顶离水面2米时，水面宽4米，若水面下降2米，则水面宽为(　　)

A．4  B．2

C．4  D．2

解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．

由桥顶离水面2米时，水面宽4米可得图中点A的坐标为(2，－2)，

所以4＝－2p×(－2)，解得p＝1.

所以抛物线的方程为x2＝－2y.

当水面下降2米，即当y＝－4时，

可得x2＝－2×(－4)＝8，解得x＝±2，

因此水面宽为4米．

答案：A

13．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．

解析：如图，过M作准线l的垂线，垂足为B，交y轴于点A，

根据抛物线的定义知

|MF|＝|MB|＝10.

又|AB|＝＝1，∴|MA|＝10－1＝9.

答案：9

14．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.

解析：因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.

答案：6

15.如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.

(1)求抛物线的方程；

(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．

解析：(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，于是4＋＝5，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.

(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．

又F(1,0)，所以kAF＝，则直线FA的方程为y＝(x－1)．

∵MN⊥FA，∴kMN＝－，

则直线MN的方程为y＝－x＋2.

解方程组，

得，

∴N的坐标为.

16．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．

(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；

(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．

解析：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.

由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．

如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为＝.

(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±，因为>2，所以点B在抛物线内部．

自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．

由抛物线的定义，

知|P1Q|＝|P1F|，

则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.

即|PB|＋|PF|的最小值为4.