高中数学人教版新课标A选修1-12.1椭圆第1课时一课一练

椭圆的简单几何性质

[A组　学业达标]

1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　)

A．(－1,0)，(1,0)　　　　　 B．(－6,0)，(6,0)

C．(－，0)，(，0)  D．(0，－)，(0，)

解析：∵椭圆方程化为标准式为＋x2＝1，

∴a2＝6，且焦点在y轴上，

∴长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．

答案：D

2．已知椭圆的离心率为，焦点是(－3,0)和(3,0)，则椭圆方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

解析：由题意知c＝3，＝，

则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，

∴椭圆方程为＋＝1.

答案：A

3．中心在原点、焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

解析：∵2a＝18，∴a＝9，

由题意得2c＝×2a＝×18＝6，

∴c＝3，

∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，

故椭圆方程为＋＝1.

答案：A

4．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，

∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac，

∴3a2－2ac－5c2＝0，

∴5c2＋2ac－3a2＝0，

∴5e2＋2e－3＝0，

∴e＝或e＝－1(舍去)．

答案：B

5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：如图，由于BF⊥x轴，

故xB＝－c，yB＝.设P(0，t)，

∵＝2，

∴(－a，t)＝2.

∴a＝2c，∴＝.

答案：D

6．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为________．

解析：由题意得b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，

∴e＝＝.

答案：

7．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．

解析：依题意，得b＝3，a－c＝1.

又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，

∴椭圆的离心率为e＝＝.

答案：

8．已知椭圆的一个顶点是(0，)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程是________．

解析：∵＝＝＝，∴a＝2b，

若椭圆的焦点在x轴上，则b＝，a＝2；

若椭圆的焦点在y轴上，则a＝，b＝.

∴椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.

答案：＋＝1或＋＝1

9．若椭圆的长轴长是10，离心率是，求该椭圆的标准方程．

解析：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．

由已知得2a＝10，e＝＝，

所以c＝4.

所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.

故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

10．已知椭圆＋＝1，在该椭圆上是否存在点M，使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x＝4的距离相等．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解析：由已知得c2＝4－3＝1，

所以c＝1，故F(1,0)．

假设在椭圆上存在点M，使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x＝4的距离相等．

设M(x，y)(－2≤x≤2)，

则＝|x－4|，

两边平方得y2＝－6x＋15.

又由＋＝1，得y2＝3，

代入y2＝－6x＋15，得x2－8x＋16＝0，解得x＝4.

因为－2≤x≤2，

所以符合条件的点M不存在．

[B组　能力提升]

11．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(　　)

A．4  B．5

C．7  D．8

解析：由题意知m－2－(10－m)＝2，

解得m＝8.

答案：D

12．方程为＋＝1(a>b>0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，D是它短轴上的一个端点，若3＝＋2，则该椭圆的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：设点D(0，b)，A(－a,0)，F1(－c,0)，F2(c,0)．

则＝(－c，－b)，＝(－a，－b)，＝(c，－b)，

由3＝＋2，得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝.

答案：D

13．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过P，则椭圆C的标准方程是________．

解析：∵椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，

∴＝，则＝.

∵椭圆C经过点P，

∴＋＝1，

∴a2＝4，b2＝3.

∴椭圆C的方程为＋＝1.

答案：＋＝1

14．椭圆的四个顶点构成的菱形的面积为10，两个焦点与短轴的两个顶点构成的菱形的面积为5，则椭圆的离心率为________．

解析：由题意得

解得

∴e＝＝.

答案：

15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，求椭圆C的离心率．

解析：由题意知A(a,0)，B(0，b)，从而直线AB的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，又|F1F2|＝2c，

∴＝c.∵b2＝a2－c2，∴3a4－7a2c2＋2c4＝0，解得a2＝2c2或3a2＝c2(舍去)，∴e＝.

16．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，求椭圆离心率的取值范围．

解析：设P(x0，y0)，则＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0)，

所以·＝(－c－x0)(c－x0)＋(－y0)2＝x－c2＋y.

因为P(x0，y0)在椭圆上，

所以＋＝1.

所以y＝b2，

所以·＝x－c2＋b2＝c2，

解得x＝.

因为x0∈[－a，a]，所以x∈[0，a2]，

即0≤≤a2，

所以2c2≤a2≤3c2.

即≤≤，所以≤≤，

即椭圆离心率的取值范围是.