高中数学人教版新课标A选修1-12.3抛物线教学设计

2013年高考数学总复习 8-6 抛物线但因为测试 新人教B版

1.(文)(2011·惠州调研)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为(　　)

A．－2　 　　 B．2　　　　

C．－4　 　　 D．4

[答案]　D

[解析]　椭圆中，a2＝6，b2＝2，∴c＝＝2，

∴右焦点(2,0)，由题意知＝2，∴p＝4.

(理)(2011·东北三校联考)抛物线y2＝8x的焦点到双曲线－＝1的渐近线的距离为(　　)

A．1　　　　 B.　 　　

C.　　 　 D.

[答案]　A

[解析]　抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)到双曲线－＝1的渐近线y＝±x的距离d＝1.

2．(文)(2011·陕西文，2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(　　)

A．y2＝－8x   B．y2＝－4x

C．y2＝8x   D．y2＝4x

[答案]　C

[解析]　由抛物线准线方程为x＝－2知p＝4，且开口向右，∴抛物线方程为y2＝8x.故选C.

(理)(2010·河北许昌调研)过点P(－3,1)且方向向量为a＝(2，－5)的光线经直线y＝－2反射后通过抛物线y2＝mx，(m≠0)的焦点，则抛物线的方程为(　　)

A．y2＝－2x   B．y2＝－x

C．y2＝4x   D．y2＝－4x

[答案]　D

[解析]　设过P(－3,1)，方向向量为a＝(2，－5)的直线上任一点Q(x，y)，则∥a，∴＝，∴5x＋2y＋13＝0，此直线关于直线y＝－2对称的直线方程为5x＋2(－4－y)＋13＝0，即5x－2y＋5＝0，此直线过抛物线y2＝mx的焦点F，∴m＝－4，故选D.

3．(文)(2011·茂名一模)直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为(　　)

A．48   B．56 

C．64   D．72

[答案]　A

[解析]　由题意不妨设A在第一象限，联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6)，B(1，－2)，而抛物线的准线方程是x＝－1，所以|AP|＝10，|QB|＝2，|PQ|＝8，故S梯形APQB＝(|AP|＋|QB|)·|PQ|＝48，故选A.

(理)(2011·石家庄模拟)直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为(　　)

A．16   B. 

C．4   D.

[答案]　B

[解析]　由得x2－3x－4＝0，

∴xA＝－1，xD＝4，yA＝，yD＝4，

∵直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)．

∴|AF|＝yA＋1＝，|DF|＝yD＋1＝5，

∴＝＝.故选B.

4．(2010·福州市质检)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是(　　)

A．5   B．8 

C.－1   D.＋2

[答案]　C

[解析]　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝－1.

5．(2010·福建福州)若抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，则经过点F、M(4,4)且与l相切的圆共有(　　)

A．0个   B．1个

C．2个   D．3个

[答案]　C

[解析]　经过F、M的圆的圆心在线段FM的垂直平分线上，设圆心为C，则|CF|＝|CM|，又圆C与l相切，所以C到l距离等于|CF|，从而C在抛物线y2＝4x上．

故圆心为FM的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆．

6．(2011·湖北文，4)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则(　　)

A．n＝0   B．n＝1

C．n＝2   D．n≥3

[答案]　C

[解析]　由抛物线的对称性知，在抛物线上的两个顶点关于x轴对称，所以过抛物线焦点F作斜率为(或斜率为－)的直线与抛物线有两个不同交点，它们关于x轴的对称点也在抛物线上，这样可得到两个正三角形．

7．(2010·延边州质检)抛物线的焦点为椭圆＋＝1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为______．

[答案]　y2＝－4x

[解析]　由c2＝9－4＝5得F(－，0)，

∴抛物线方程为y2＝－4x.

8．(文)若点(3, 1)是抛物线y2＝2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.

[答案]　2

[解析]　设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，

则，两式相减得，＝＝2，

∵y1＋y2＝2，∴p＝2.

(理)已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是______．

[答案]　(0,0)

[解析]　设P，则＝，＝，·＝＋y2＝＋y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．

9．(文)(2011·湖南六校联考)AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点到直线x＋＝0的距离为________．

[答案]　

[解析]　由题可知|AB|＝4，所以A、B两点分别到准线x＝－的距离之和为4，所以AB的中点到准线x＝－的距离为2，所以AB的中点到直线x＝－的距离为2＋＝.

(理)(2011·黑龙江哈六中期末)设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则AB的长为________．

[答案]　10

[解析]　2p＝8，∴＝2，∴E到抛物线准线的距离为5，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2×5＝10.

10．(文)(2011·福建文，18)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.

(1)求实数b的值；

(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

[解析]　(1)由

得x2－4x－4b＝0(*)

∵直线l与抛物线相切

∴△＝(－4)2－4×(－4b)＝0　(*)

∴b＝－1

(2)由(1)知b＝－1，方程(*)为x2－4x＋4＝0

解得x＝2，代入x2＝4y中得，y＝1，∴A(2,1)

∵圆A与抛物线准线y＝－1相切

∴r＝|1－(－1)|＝2.

所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.

(理)(2011·韶关月考)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L：y＝－2相切．

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.

[解析]　(1)解：依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L：y＝－2为准线的抛物线，

因为抛物线焦点到准线距离等于4，

所以圆心的轨迹方程是x2＝8y.

(2)证明：因为直线AB与x轴不垂直，

设AB：y＝kx＋2.A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由可得x2－8kx－16＝0，

∴x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.

抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x.

所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1＝x1，k2＝x2，

k1k2＝x1·x2＝x1·x2＝－1.

所以AQ⊥BQ.

11.(文)(2011·温州模拟)已知d为抛物线y＝2px2(p>0)的焦点到准线的距离，则pd等于(　　)

A.p2   B．p2 

C.   D.

[答案]　D

[解析]　抛物线方程可化为x2＝y，

∴d＝，则pd＝，故选D.

(理)(2011·山东文，9)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)

A．(0,2)      B．[0,2]

C．(2，＋∞)    D．[2，＋∞)

[答案]　C

[解析]　设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程y＝－2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r>4.又因为点M(x0，y0)为抛物线x2＝8y上一点，所以有x＝8y0.又点M(x0，y0)在圆x2＋(y－2)2＝r2上．所以x＋(y0－2)2＝r2>16，所以8y0＋(y0－2)2>16，即有y＋4y0－12>0，解得y0>2或y0<－6(舍)，

∴y0>2.故选C.

12．(文)(2010·山东文)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)

A．x＝1   B．x＝－1 

C．x＝2   D．x＝－2

[答案]　B

[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点(，)，∴＝2，①－②得y－y＝2p(x1－x2)，∴kAB＝＝＝，

∵kAB＝1，∴p＝2，∴y2＝4x，

∴准线方程为：x＝－1，故选B.

(理)(2011·山东济宁一模)已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是(　　)

A.   B. 

C.   D.

[答案]　B

[解析]　根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x＝－4，则抛物线方程为y2＝16x.

把M(1，m)代入y2＝16x得m＝4，即M(1,4)．

在双曲线－y2＝1中，A(－，0)，则

kAM＝＝.

解得a＝.

13．(2011·台州二检)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点，有下列四个命题：

①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM不一定与抛物线相切．其中正确的命题是(　　)

A．①③　 　 B．①④　 　

C．②③　 　 D．②④

[答案]　A

[解析]　因为|PF|＝|MF|＝|NF|，故∠FPM＝∠FMP，∠FPN＝∠FNP，从而可知∠MPN＝90°，故①正确，②错误；令直线PM的方程为y＝x＋，代入抛物线方程可得y2－2py＋p2＝0，Δ＝0，所以直线PM与抛物线相切，故③正确，④错误．

14．(2011·烟台检测)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是________米．

[答案]　4

[解析]　

建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交点为A，由题意可知A(4，－2)，故可求得抛物线的方程为y＝－x2，设水面上升后交点为B，则点B的纵坐标为－，代入抛物线方程y＝－x2可求出B点的横坐标为2，所以水面宽为4米．

15．(文)已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足·＝y2－8.

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证：OC⊥OD(O为原点)．

[解析]　(1)由题意可得

·＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)＝y2－8，

化简得x2＝2y.

(2)证明：将y＝x＋2代入x2＝2y中得，

x2＝2(x＋2)．

整理得x2－2x－4＝0，

可知Δ＝4＋16＝20>0，x1＋x2＝2，x1x2＝－4.

∵y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，

∴y1·y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4.

∴kOC·kOD＝·＝＝－1，

∴OC⊥OD.

(理)(2011·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．

(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；

(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

[解析]　(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，

设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x中得，

y2－4ty－4＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，

∴·＝x1x2＋y1y2

＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2

＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2

＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.

(2)设l：x＝ty＋b代入抛物线方程y2＝4x，消去x得

y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，

∴·＝x1x2＋y1y2

＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2

＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2

＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.

令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，

∴直线l过定点(2,0)．

∴若·＝－4，则直线l必过一定点．

1．(2010·辽宁理)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　)

A．4   B．8 

C．8   D．16

[答案]　B

[解析]　

解法1：如上图，kAF＝－，∴∠AFO＝60°，

∵|BF|＝4，∴|AB|＝4，即P点的纵坐标为4，∴(4)2＝8x，∴x＝6，∴|PA|＝8，

∴|PF|＝8，故选B.

解法2：设A(－2，y)，∵F(2,0)，∴kAF＝＝－，

∴y＝4，∴yp＝4

∵P在抛物线上，∴y＝8xp，∴xp＝＝6

由抛物线定义可得|PF|＝|PA|＝xp－xA＝6－(－2)＝8

故选B.

2．双曲线－＝1(mn≠0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

[答案]　A

[解析]　由条件知，解得 .

∴mn＝.故选A.

[点评]　解决这类问题一定要抓准各种曲线的基本量及其关系．

3．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)

A．2   B．3 

C.  D.

[答案]　A

[解析]　直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l1的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，

即dmin＝＝2，故选A.

4．(2011·大连一模)已知抛物线x2＝4y上的动点P在x轴上的射影为点M，点A(3,2)，则|PA|＋|PM|的最小值为________．

[答案]　－1

[解析]　设d为点P到准线y＝－1的距离，F为抛物线的焦点，由抛物线定义及数形结合得，|PA|＋|PM|＝d－1＋|PA|＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1.

5．(2011·南京调研)已知点M是抛物线y2＝4x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为________．

[答案]　4

[解析]　由M向抛物线的准线作垂线，垂足为B，则|MF|＝|MB|，圆心C(4,1)，显然当B、M、A、C在同一条直线上时，|MA|＋|MF|取最小值，且(|MA|＋|MF|)min＝|BC|－1＝5－1＝4.

6．(2011·德州模拟)P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值是________．

[答案]　5

[解析]　两圆的圆心A(－4,0)，B(4,0)恰好为双曲线的焦点，由双曲线的定义知，||PA|－|PB||＝2，

∴|PM|－|PN|≤||PA|－|PB||＋2＋1＝5.

7．(2011·中山模拟)若椭圆C1：＋＝1(0<b<2)的离心率等于，抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点在椭圆C1的顶点上．

(1)求抛物线C2的方程；

(2)若过M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．

[解析]　(1)已知椭圆的长半轴长为a＝2，半焦距c＝，

由离心率e＝＝＝得，b2＝1.

∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，

∴p＝2，抛物线的方程为x2＝4y.

(2)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，

∵y＝x2，∴y′＝x，

∴切线l1，l2的斜率分别为x1，x2，

当l1⊥l2时，x1·x2＝－1，即x1·x2＝－4，

由得：x2－4kx－4k＝0，

由Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.

又x1·x2＝－4k＝－4，得k＝1.

∴直线l的方程为y＝x＋1.