高中人教版新课标A2.3抛物线教案

这是一份高中人教版新课标A2.3抛物线教案，共4页。


[时间：35分钟 分值：80分]
eq \a\vs4\al\c1(基础热身)
1．若点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P(x，y)的轨迹方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
2．抛物线x2＝(2a－1)y的准线方程是y＝1，则实数a＝( )
A.eq \f(5,2) B.eq \f(3,2) C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(3,2)
3．已知抛物线y2＝4x，若过焦点F且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，则△OAB的面积是( )
A．1 B．2 C．4 D．6
4．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，2]
C．[0,2] D．(0,2)
eq \a\vs4\al\c1(能力提升)
5．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，O是原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB的方程是( )
A．x＝p B．x＝3p
C．x＝eq \f(3,2)p D．x＝eq \f(5,2)p
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)均在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|
D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
7．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A.eq \f(\r(17),2) B．3
C.eq \r(5) D.eq \f(9,2)
8．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝eq \r(2)|AF|，则△AFK的面积为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
9．已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
10．[2010·全国卷Ⅱ] 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为eq \r(3)的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))，则p＝________.
11．[2010·重庆卷] 已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A、B满足eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，则弦AB的中点P到准线的距离为________．
12．(13分)[2012·珠海模拟] 在平面直角坐标系xOy中，设点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，直线l：x＝－eq \f(1,2)，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹方程C；
(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．
图K50－1
eq \a\vs4\al\c1(难点突破)
13．(12分)[2010·湖北卷] 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
课时作业(五十)B
【基础热身】
1．C [解析] 点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，说明点P(x，y)到点F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0即y＝－2的距离相等，轨迹为抛物线，其中p＝4，故所求的抛物线方程为x2＝8y.
2．D [解析] 根据分析把抛物线方程化为x2＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－a))y，则焦参数p＝eq \f(1,2)－a，故抛物线的准线方程是y＝eq \f(p,2)＝eq \f(\f(1,2)－a,2)，则eq \f(\f(1,2)－a,2)＝1，解得a＝－eq \f(3,2).
3．B [解析] 焦点坐标是(1,0)，A(1,2)，B(1，－2)，|AB|＝4，故△OAB的面积S＝eq \f(1,2)|AB||OF|＝eq \f(1,2)×4×1＝2.
4．B [解析] 设点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，由|PQ|≥|a|，得yeq \\al(2,0)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)－a))2≥a2，整理，得yeq \\al(2,0)(yeq \\al(2,0)＋16－8a)≥0，∵yeq \\al(2,0)≥0，∴yeq \\al(2,0)＋16－8a≥0，即a≤2＋eq \f(y\\al(2,0),8)恒成立．而2＋eq \f(y\\al(2,0),8)的最小值为2，所以a≤2.
【能力提升】
5．D [解析] A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，由于焦点Feq \f(p,2)，0是抛物线的垂心，所以OA⊥BF.由此得eq \f(y0,x0)×eq \f(－y0,x0－\f(p,2))＝－1，把yeq \\al(2,0)＝2px0代入得x0＝eq \f(5p,2)，故直线AB的方程是x＝eq \f(5,2)p.
6．C [解析] 由抛物线定义，2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3＋\f(p,2)))，即2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.
7．A [解析] 依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)).依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋22)＝eq \f(\r(17),2).
8．B [解析] ∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，准线方程为x＝－2，∴K(－2,0)，
设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，则B(－2，y0)，∵|AK|＝eq \r(2)|AF|，又AF＝AB＝x0－(－2)＝x0＋2，
∴由BK2＝AK2－AB2得yeq \\al(2,0)＝(x0＋2)2，即8x0＝(x0＋2)2，解得x0＝2，∴A(2，±4)，∴△AFK的面积为eq \f(1,2)|KF|·|y0|＝eq \f(1,2)×4×4＝8.
9．y2＝4x [解析] 设抛物线方程为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x2－kx＝0，x1＋x2＝k＝2×2＝4，故y2＝4x.
10．2 [解析] 过B作BE垂直于准线l于E，∵eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))，∴M为AB中点，∴|BM|＝eq \f(1,2)|AB|.又斜率为eq \r(3)，∠BAE＝30°，∴|BE|＝eq \f(1,2)|AB|，∴|BM|＝|BE|，
∴M为抛物线的焦点，∴p＝2.
11.eq \f(8,3) [解析] 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AF|＝xA＋1，|BF|＝xB＋1，∴xA＋1＝3(xB＋1)．①
由几何关系，xA－1＝3(1－xB)．②
联立①②，得xA＝3，xB＝eq \f(1,3)，∴所求距离d＝eq \f(xA＋xB,2)＋1＝eq \f(8,3).
12．[解答] (1)依题意知，
点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，
∴RQ是线段FP的垂直平分线．
∵|PQ|是点Q到直线l的距离．
点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|.
故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，
其方程为：y2＝2x(x>0)．
(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，
圆的半径r＝|MA|＝eq \r(x0－12＋y\\al(2,0))，
则|TS|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(y\\al(2,0)－2x0＋1)，
因为点M在曲线C上，所以x0＝eq \f(y\\al(2,0),2)，
所以|TS|＝2eq \r(y\\al(2,0)－y\\al(2,0)＋1)＝2，是定值．
【难点突破】
13．[解答] (1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足eq \r(x－12＋y2)－x＝1(x>0)．
化简得y2＝4x(x>0)．
(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
设l的方程为x＝ty＋m，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ty＋m，,y2＝4x，))得y2－4ty－4m＝0，Δ＝16(t2＋m)>0，
于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝4t，,y1y2＝－4m.))①
又eq \(FA,\s\up6(→))＝(x1－1，y1)，eq \(FB,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，
eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))<0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0.②
又x＝eq \f(y2,4)，于是不等式②等价于eq \f(y\\al(2,1),4)·eq \f(y\\al(2,2),4)＋y1y2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),4)＋\f(y\\al(2,2),4)))＋1<0，
⇔eq \f(y1y22,16)＋y1y2－eq \f(1,4)[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1<0.③
由①式，不等式③等价于m2－6m＋1<4t2.④
对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1<0，即3－2eq \r(2)由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)，且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))<0，且m的取值范围是(3－2eq \r(2)，3＋2eq \r(2))．