高中数学人教版新课标A选修1-1第二章 圆锥曲线与方程2.2双曲线同步训练题

双曲线及其标准方程

[A组　学业达标]

1．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为

(　　)

A．双曲线的一支　　　　 B．圆

C．抛物线  D．双曲线

解析：设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，

由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，

∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，

由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．

答案：A

2．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1(x≤－3)   D.－＝1(x≥3)

解析：由题意c＝5，a＝3，∴b＝4.

∴点P的轨迹方程是－＝1(x≥3)．

答案：D

3．k>9是方程＋＝1表示双曲线的(　　)

A．充要条件 

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 

D．既不充分又不必要条件

解析：当k>9时，9－k<0，k－4>0，方程表示双曲线．当k<4时，9－k>0，k－4<0，方程也表示双曲线．

∴k>9是方程＋＝1表示双曲线的充分不必要条件．

答案：B

4．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是(　　)

A.  B．1或－2

C．1或  D．1

解析：依题意：解得a＝1.

答案：D

5．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为(　　)

A．6  B．12

C．12  D．24

解析：由已知易得2a＝2，由双曲线的定义及已知条件得，

|PF1|－|PF2|＝2，

又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，

∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.

由|F1F2|＝2c＝2.

由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝0.

∴三角形为直角三角形．

∴S△PF1F2＝×6×4＝12.

答案：C

6．双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)，N(－2，－1)，则双曲线的标准方程是________．

解析：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)

又点M(3,2)、N(－2，－1)在双曲线上，

∴∴

答案：－＝1

7．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．

解析：如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.

答案：

8．求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；

(2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.

解析：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，

所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题设知，a＝2，

且点A(2，－5)在双曲线上，

所以

解得

故所求双曲线的标准方程为－＝1.

(2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)或(－，4)．设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，

则解得

故所求双曲线的标准方程为－＝1.

9．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．

解析：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，

则有

解得a2＝3，b2＝2，

所以双曲线的标准方程为－＝1.

(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，

又|MF1|＋|MF2|＝6，

故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，

又|F1F2|＝2，

因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，

而cos∠MF2F1＝<0，

所以∠MF2F1为钝角．

故△MF1F2为钝角三角形．

[B组　能力提升]

10．如果＋＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)  B．(0,2)

C．(2，＋∞)  D．(1,2)

解析：由题意知，双曲线的标准形式为－＝1.

∴解得k>2.

又c2＝k－1＋|k|－2＝2k－3>1，

∴c>1.

答案：A

11．已知双曲线C的中心在原点O，焦点F(－2，0)，点A为左支上一点，满足|OA|＝|OF|且|AF|＝4，则双曲线C的方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

解析：如图，由题意可得c＝2，设右焦点为F′，由|OA|＝|OF|＝|OF′|知，∠AFF′＝∠FAO，∠OF′A＝∠OAF′，所以∠AFF′＋∠OF′A＝∠FAO＋∠OAF′.由∠AFF′＋∠OF′A＋∠FAO＋∠OAF′＝180°知，∠FAO＋∠OAF′＝90°，即AF⊥AF′.在Rt△AFF′中，由勾股定理，得|AF′|＝＝8，由双曲线的定义，得|AF′|－|AF|＝2a＝8－4＝4，从而a＝2，得a2＝4，于是b2＝c2－a2＝16，所以双曲线的方程为－＝1.故选C.

答案：C

12．已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则△PF1Q的周长为(　　)

A.  B．5

C.  D．4

解析：∵c＝＝2，∴F2(2,0)．

又点P的横坐标为2，∴PQ⊥x轴．

由－y2＝1，得y＝±，故|PF2|＝.

∴|PQ|＝.

又P，Q在双曲线的右支上，

∴|PF1|－|PF2|＝2，|QF1|－|QF2|＝2.

∴|PF1|＝|QF1|＝2a＋＝，

∴l△PF1Q＝|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝.

答案：A

13．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则点P到F2的距离为________．

解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线的左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，所以|PF2|＝22；当点P在双曲线的右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，所以|PF2|＝2.

答案：22或2

14．已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程．

解析：已知双曲线－＝1，

由c2＝a2＋b2，得c2＝16＋9＝25，∴c＝5.

设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．

依题意知b2＝25－a2，

故所求双曲线方程可写为－＝1.

∵点P在所求双曲线上，

∴－＝1，

化简得4a4－129a2＋125＝0，

解得a2＝1或a2＝.

当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－<0，不合题意，舍去，

∴a2＝1，b2＝24，

∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.

15．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.

(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；

(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．

解析：(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·＝0，

则MF1⊥MF2，

设|MF1|＝m，|MF2|＝n，

由双曲线定义，知m－n＝2a＝8，①

又m2＋n2＝(2c)2＝80，②

由①②得m·n＝8，

∴mn＝4＝|F1F2|·h，∴h＝.

(2)设所求双曲线C的方程为

－＝1(－4<λ<16)，

由于双曲线C过点(3，2)，

∴－＝1，

解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，

∴所求双曲线C的方程为－＝1.