高中数学人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算课后测评

2.2.3　向量数乘运算及其几何意义

课时目标　1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件．

1．向量数乘运算

实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：

(1)|λa|＝__________.

(2)λa (a≠0)的方向；

特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________.

2．向量数乘的运算律

(1)λ(μa)＝________.

(2)(λ＋μ)a＝____________.

(3)λ(a＋b)＝____________.

特别地，有(－λ)a＝____________＝________；

λ(a－b)＝____________.

3．共线向量定理

向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________．

4．向量的线性运算

向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有

λ(μ1a±μ2b)＝__________________.

一、选择题

1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　)

A．k＝0        B．k＝1

C．k＝2        D．k＝

2．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)

A．B、C、D        B．A、B、C        C．A、B、D        D．A、C、D

3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则(　　)

A．P在△ABC内部

B．P在△ABC外部

C．P在AB边上或其延长线上

D．P在AC边上

4．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为(　　)

A．2        B．3        C．4        D．5

5．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且＝4＝r＋s，则r－s等于(　　)

A．0        B.        C.        D．3

6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||等于(　　)

A．8        B．4        C．2        D．1

二、填空题

7．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝_______.

8．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且＝x＋y，则x＋y＝________.

9. 如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝______.(填写正确的序号)

①－＋

②－－

③－

④＋

10. 如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝______.(用a，b表示)

三、解答题

11．两个非零向量a、b不共线．

(1)若A＝a＋b，B＝2a＋8b，C＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；

(2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．

12. 如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝______.(用a，b表示)

能力提升

13．已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A．外心        B．内心        C．重心        D．垂心

14．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于(　　)

A.a＋b        B.a＋b

C.a＋b        D.a＋b

1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．

2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量表示与向量a同向的单位向量．

3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．

2．2.3　向量数乘运算及其几何意义

知识梳理

1．向量　数乘　λa　(1)|λ||a|　(2)λ>0　λ<0　0　0

2．(1)(λμ)a　(2)λa＋μa　(3)λa＋λb　－(λa)　λ(－a)　λa－λb

3．b＝λa

4．加　减　数乘　λμ1a±λμ2b

作业设计

1．D　[当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.

∴n＝2m，此时，m，n共线．]

2．C　[∵＝＋＝2a＋4b＝2，

∴A、B、D三点共线．]

3．D　[＋＋＝－，

∴＝－2，∴P在AC边上．]

4．B　[∵＋＋＝0，

∴点M是△ABC的重心．

∴＋＝3，∴m＝3.]

5．C　[∵＝＋＝4，

∴＝3.

∴＝－＝＋－

＝＋－

＝＋(－)－

＝－

∴r＝，s＝－，r－s＝.]

6．C　[∵2＝16，

∴||＝4.又|－|＝||＝4，

∴|＋|＝4.

∵M为BC中点，∴＝(＋)，

∴||＝|＋|＝2.]

7.a－b＋c

8．1

解析　∵A，B，C三点共线，∴∃λ∈R使＝λ.

∴－＝λ(－)．

∴＝(1－λ)＋λ.

∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.

9．①

解析　－＋＝＋＝＋＝.

10.(b－a)

解析　＝＋＋

＝－b－a＋

＝－b－a＋(a＋b)

＝(b－a)．

11．(1)证明　∵A＝A＋B＋C＝a＋b＋2a＋8b＋3a－3b＝6a＋6b＝6A，∴A、B、D三点共线．

(2)解　∵ka＋b与2a＋kb共线，∴ka＋b＝λ(2a＋kb)．

∴(k－2λ)a＋(1－λk)b＝0，

∴⇒k＝±.

12．证明　设＝a，＝b，则由向量加法的三角形法则可知：

＝－＝－＝a－b.

又∵N在BD上且BD＝3BN，

∴＝＝(＋)＝(a＋b)，

∴＝－＝(a＋b)－b＝a－b＝，

∴＝，又∵与共点为C，

∴C、M、N三点共线．

13．B　[为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．

又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同．而＝＋λ，∴点P在上移动．

∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．]

14．B　[

如图所示，

∵E是OD的中点，

∴＝＝b.

又∵△ABE∽△FDE，

∴＝＝.

∴＝3，∴＝.

在△AOE中，＝＋＝a＋b.

∴＝＝a＋b.]