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人教版新课标A选修1-23.1数系的扩充和复数的概念教课内容ppt课件
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这是一份人教版新课标A选修1-23.1数系的扩充和复数的概念教课内容ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了z或a+bi，失误案例等内容，欢迎下载使用。
【自主预习】1.复平面
2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b).(2)复数z=a+bi(a,b∈R) 平面向量 (O为坐标原点).
3.复数的模(1)定义:向量 的___r叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模.(2)记法:复数z=a+bi的模记为____________.(3)公式:|z|=|a+bi|=r=____________(r≥0,r∈R).
【即时小测】1.已知a,b∈R,那么在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点的位置关系是 ( )A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称
【解析】选B.在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点为(a,-b)和(-a,-b),关于y轴对称.
2.(2016·保定高二检测)已知i为虚数单位,则复数-1-i对应的点位于坐标平面内 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.复数-1-i对应的点的坐标为(-1,-1),位于坐标平面内的第三象限.
3.复数z与它的模相等的充要条件是 ( )A.z为纯虚数B.z是实数C.z是正实数D.z是非负实数【解析】选D.因为z=|z|,所以z为实数且z≥0.
4.在复平面内,O为原点,向量 对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量 对应的复数为 ( )A.-2-i B.-2+iC.1+2i D.-1+2i
【解析】选B.因为A(-1,2)关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以向量 对应的复数为-2+i.
5.已知复数z=a+i(其中a∈R,i为虚数单位)的模为|z|=2,则a等于 ( )A.1 B.±1C. D.± 【解析】选D.因为|z|=2,所以a2+1=4,所以a=± .
6.设z=a+bi(a,b∈R)和复平面内的点Z(a,b)对应,当b=________时,点Z位于实轴上.【解析】当b=0时,复数z=a+bi=a为实数,即落在实轴上.答案:0
【知识探究】探究点1 复数的几何意义1.原点O在虚轴上,数0是否也可以看作虚数?提示:不可以.数0为实数,不是虚数.
2.实数可用数轴上的点来表示,类比一下,复数怎样来表示呢?提示:任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都和一个有序实数对(a,b)一一对应,因此,复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应.
【归纳总结】1.复平面、实轴、虚轴与复数的对应(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应:点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示.(2)实轴与复数的对应:实轴上的点都表示实数.
(3)虚轴与复数的对应:除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.
(4)象限内的点与复数的对应:①第一象限的复数特点:实部为正,且虚部为正;②第二象限的复数特点:实部为负,且虚部为正;③第三象限的复数特点:实部为负,且虚部为负;④第四象限的复数特点:实部为正,且虚部为负.
2.复数几何意义的两个注意点(1)复数与复平面上的点:复数z=a+bi(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi).(2)复数与向量的对应:复数z=a+bi(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复平面上与 相等的向量有无数个.
探究点2 复数的模1.复数的模可以等于该复数吗?提示:可以,当复数为正实数和0时就可以.2.任意两个复数的模能比较大小吗?提示:复数的模为实数,故能比较大小.
【归纳总结】对复数模的三点说明(1)数学上所谓大小的定义是,在(实)数轴上右边的比左边的大,而复数的表示要引入虚数轴,在平面上表示,所以也就不符合关于大和小的定义,而且定义复数的大小也没有什么意义,所以我们说两个复数不能比较大小.
(2)数的角度理解:复数a+bi(a,b∈R)的模|a+bi|= ,两个虚数不能比较大小,但它们的模表示实数,可以比较大小.(3)几何角度理解:表示复数的点Z到原点的距离.|z1-z2|表示复数z1,z2对应的点之间的距离.
易错警示:两个复数不能比较大小,但是复数的模能比较大小.
类型一 复数与复平面内点的关系 【典例】1.(2016·潍坊高二检测)复数z= +i2对应的点在复平面的( )A.第一象限内B.实轴上C.虚轴上D.第四象限内
2.在复平面内表示复数z=(m-3)+2 i的点在直线y=x上,则实数m的值为________.
3.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应点(1)在虚轴上.(2)在第二象限.(3)在直线y=x上.分别求实数m的取值范围.
【解题探究】1.典例1中复数对应的点是什么？提示：( -1，0).
2.典例2中复数对应的点有什么特点?提示:复数对应的点坐标中横坐标与纵坐标相等.3.典例3中复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应点的坐标是什么?提示:(m2-m-2,m2-3m+2).
【解析】1.选B.因为z= +i2= -1∈R，所以z对应的点在实轴上.2.复数z在复平面上对应的点为(m-3,2 ),所以m-3=2 ,即m-2 -3=0.解得m=9.答案:9
3.复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-2,虚部为m2-3m+2.(1)由题意得m2-m-2=0.解得m=2或m=-1.
(2)由题意得 所以 所以-1
【方法技巧】利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.
(2)列出方程:此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.特别提醒:复数与复平面内的点是一一对应关系,因此复数可以用点来表示.
【变式训练】已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第二象限,求实数x的取值范围.【解题指南】根据复数在复平面内对应点所在的象限,确定实部和虚部对应的不等式,由不等式组求出x的取值范围.
【解析】复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点的坐标为(x2-6x+5,x-2),因在第二象限,所以有 故实数x的取值范围是2
【解题探究】典例中复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i对应点的坐标分别是多少?两点间的距离公式是什么?提示:复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i对应点的坐标分别是A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),A(x1,y1),B(x2,y2)两点间的距离公式|AB|=
【解析】在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0), C(c,2c-6),由∠BAC是钝角,得cs∠BAC<0,且A,B,C不共线,cs∠BAC= 即|AB|2+|AC|2-|BC|2<0.
由两点间的距离公式,得25+(3-c)2+(4-2c+6)2-[c2+(2c-6)2]<0,解得c> .其中当c=9时,此时A,B,C三点共线,故c≠9.所以c的取值范围是
【延伸探究】1.若∠BAC为锐角,求实数c的取值范围.【解析】要使∠BAC为锐角,由余弦定理得|AB|2+|AC|2-|BC|2>0,且A,B,C不共线,25+(3-c)2+(4-2c+6)2-[c2+(2c-6)2]>0,解得
2.在本例中,求|z1+z3|的最小值.【解析】z1+z3=c+3+(2c-2)i,|z1+z3|2=(c+3)2+(2c-2)2=5c2-2c+13 当c= 时, |z1+z3|2取得最小值 即|z1+z3|的最小值为
【方法技巧】求解关于复数模最值问题的两种方法(1)转化为函数式求最值:将z=x+yi(x,y∈R)直接代入所要求的式子中去,把所要求的模用x,y的函数表示出来,转化为函数最值问题.
(2)数形结合求最值:因为复数和图形有着密切的关系,可以利用这种关系把所给条件转化为图形直观地求出最大值和最小值.
【补偿训练】设z∈C,满足下列条件的点Z的集合分别是什么图形?(1)|z|=4.(2)2<|z|<4.【解题指南】根据复数的模的几何意义判定复数z对应点Z的集合所构成的图形.
【解析】(1)复数z的模等于4,就是说,向量 的模等于4,所以满足条件|z|=4的点Z的集合是以原点O为圆心,以4为半径的圆.
(2)2<|z|<4可化为不等式组 不等式|z|<4的解集是圆|z|=4内部所有的点组成的集合,不等式|z|>2的解集是圆|z|=2外部所有的点组成的集合,这两个集合的交集就是不等式组
所表示的集合.容易看出,点Z的集合是以原点O为圆心,以2及4为半径的圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界.
类型三 复数与平面向量的一一对应【典例】1.向量 对应的复数是5-4i,向量 对应的复数是-5+4i,则 对应的复数是 ( )A.-10+8i B.10-8iC.0 D.10+8i
2.在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求向量 对应的复数.(2)判定△ABC的形状.
【解题探究】1.典例1中 怎样用坐标表示?提示: =(5,-4), =(-5,4).2.典例2中 对应的复数怎样求?提示:
【解析】1.选C.因为向量 对应的复数是5-4i,向量 对应的复数是-5+4i,所以 =(5,-4), =(-5,4),所以 =(5,-4)+(-5,4)=(0,0),所以 对应的复数是0.
2.(1)由复数的几何意义知: =(1,0), =(2,1), =(-1,2),所以 =(1,1), 所以 对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.
(2)因为 所以 所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
【方法技巧】复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
【变式训练】(2016·大连高二检测)设复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,且z1=2+i,则z2=( )A.2+iB.-2+iC.2-iD.-2-i
【解析】选B.因为z1=2+i,所以z1在复平面内对应点的坐标为(2,1),由复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,可知z2在复平面内对应的点的坐标为(-2,1),所以z2=-2+i.
【补偿训练】复数z=3+4i对应的向量 所在直线的斜率为________.【解题指南】先利用复数与向量的对应关系,确定出向量 的坐标,再利用直线的斜率公式求直线斜率.
【解析】由z=3+4i知, =(3,4),所以直线的斜率:k= .答案:
自我纠错 复数与复平面内点的对应关系【典例】在复平面内,O为原点,已知复数z=x- i所对应的点都在单位圆内,则实数x的取值范围是_________.
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是误认为复数z=x- i所对应的点为z 而导致错误.正确的解答过程如下:
【解析】因为复数z=x- i所对应的点Z 都在单位圆内,所以|OZ|<1,即 所以 即 解得 答案:
【自主预习】1.复平面
2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b).(2)复数z=a+bi(a,b∈R) 平面向量 (O为坐标原点).
3.复数的模(1)定义:向量 的___r叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模.(2)记法:复数z=a+bi的模记为____________.(3)公式:|z|=|a+bi|=r=____________(r≥0,r∈R).
【即时小测】1.已知a,b∈R,那么在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点的位置关系是 ( )A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称
【解析】选B.在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点为(a,-b)和(-a,-b),关于y轴对称.
2.(2016·保定高二检测)已知i为虚数单位,则复数-1-i对应的点位于坐标平面内 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.复数-1-i对应的点的坐标为(-1,-1),位于坐标平面内的第三象限.
3.复数z与它的模相等的充要条件是 ( )A.z为纯虚数B.z是实数C.z是正实数D.z是非负实数【解析】选D.因为z=|z|,所以z为实数且z≥0.
4.在复平面内,O为原点,向量 对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量 对应的复数为 ( )A.-2-i B.-2+iC.1+2i D.-1+2i
【解析】选B.因为A(-1,2)关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以向量 对应的复数为-2+i.
5.已知复数z=a+i(其中a∈R,i为虚数单位)的模为|z|=2,则a等于 ( )A.1 B.±1C. D.± 【解析】选D.因为|z|=2,所以a2+1=4,所以a=± .
6.设z=a+bi(a,b∈R)和复平面内的点Z(a,b)对应,当b=________时,点Z位于实轴上.【解析】当b=0时,复数z=a+bi=a为实数,即落在实轴上.答案:0
【知识探究】探究点1 复数的几何意义1.原点O在虚轴上,数0是否也可以看作虚数?提示:不可以.数0为实数,不是虚数.
2.实数可用数轴上的点来表示,类比一下,复数怎样来表示呢?提示:任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都和一个有序实数对(a,b)一一对应,因此,复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应.
【归纳总结】1.复平面、实轴、虚轴与复数的对应(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应:点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示.(2)实轴与复数的对应:实轴上的点都表示实数.
(3)虚轴与复数的对应:除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.
(4)象限内的点与复数的对应:①第一象限的复数特点:实部为正,且虚部为正;②第二象限的复数特点:实部为负,且虚部为正;③第三象限的复数特点:实部为负,且虚部为负;④第四象限的复数特点:实部为正,且虚部为负.
2.复数几何意义的两个注意点(1)复数与复平面上的点:复数z=a+bi(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi).(2)复数与向量的对应:复数z=a+bi(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复平面上与 相等的向量有无数个.
探究点2 复数的模1.复数的模可以等于该复数吗?提示:可以,当复数为正实数和0时就可以.2.任意两个复数的模能比较大小吗?提示:复数的模为实数,故能比较大小.
【归纳总结】对复数模的三点说明(1)数学上所谓大小的定义是,在(实)数轴上右边的比左边的大,而复数的表示要引入虚数轴,在平面上表示,所以也就不符合关于大和小的定义,而且定义复数的大小也没有什么意义,所以我们说两个复数不能比较大小.
(2)数的角度理解:复数a+bi(a,b∈R)的模|a+bi|= ,两个虚数不能比较大小,但它们的模表示实数,可以比较大小.(3)几何角度理解:表示复数的点Z到原点的距离.|z1-z2|表示复数z1,z2对应的点之间的距离.
易错警示:两个复数不能比较大小,但是复数的模能比较大小.
类型一 复数与复平面内点的关系 【典例】1.(2016·潍坊高二检测)复数z= +i2对应的点在复平面的( )A.第一象限内B.实轴上C.虚轴上D.第四象限内
2.在复平面内表示复数z=(m-3)+2 i的点在直线y=x上,则实数m的值为________.
3.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应点(1)在虚轴上.(2)在第二象限.(3)在直线y=x上.分别求实数m的取值范围.
【解题探究】1.典例1中复数对应的点是什么？提示：( -1，0).
2.典例2中复数对应的点有什么特点?提示:复数对应的点坐标中横坐标与纵坐标相等.3.典例3中复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应点的坐标是什么?提示:(m2-m-2,m2-3m+2).
【解析】1.选B.因为z= +i2= -1∈R，所以z对应的点在实轴上.2.复数z在复平面上对应的点为(m-3,2 ),所以m-3=2 ,即m-2 -3=0.解得m=9.答案:9
3.复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-2,虚部为m2-3m+2.(1)由题意得m2-m-2=0.解得m=2或m=-1.
(2)由题意得 所以 所以-1
【方法技巧】利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.
(2)列出方程:此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.特别提醒:复数与复平面内的点是一一对应关系,因此复数可以用点来表示.
【变式训练】已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第二象限,求实数x的取值范围.【解题指南】根据复数在复平面内对应点所在的象限,确定实部和虚部对应的不等式,由不等式组求出x的取值范围.
【解析】复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点的坐标为(x2-6x+5,x-2),因在第二象限,所以有 故实数x的取值范围是2
【解题探究】典例中复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i对应点的坐标分别是多少?两点间的距离公式是什么?提示:复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i对应点的坐标分别是A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),A(x1,y1),B(x2,y2)两点间的距离公式|AB|=
【解析】在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0), C(c,2c-6),由∠BAC是钝角,得cs∠BAC<0,且A,B,C不共线,cs∠BAC= 即|AB|2+|AC|2-|BC|2<0.
由两点间的距离公式,得25+(3-c)2+(4-2c+6)2-[c2+(2c-6)2]<0,解得c> .其中当c=9时,此时A,B,C三点共线,故c≠9.所以c的取值范围是
【延伸探究】1.若∠BAC为锐角,求实数c的取值范围.【解析】要使∠BAC为锐角,由余弦定理得|AB|2+|AC|2-|BC|2>0,且A,B,C不共线,25+(3-c)2+(4-2c+6)2-[c2+(2c-6)2]>0,解得
2.在本例中,求|z1+z3|的最小值.【解析】z1+z3=c+3+(2c-2)i,|z1+z3|2=(c+3)2+(2c-2)2=5c2-2c+13 当c= 时, |z1+z3|2取得最小值 即|z1+z3|的最小值为
【方法技巧】求解关于复数模最值问题的两种方法(1)转化为函数式求最值:将z=x+yi(x,y∈R)直接代入所要求的式子中去,把所要求的模用x,y的函数表示出来,转化为函数最值问题.
(2)数形结合求最值:因为复数和图形有着密切的关系,可以利用这种关系把所给条件转化为图形直观地求出最大值和最小值.
【补偿训练】设z∈C,满足下列条件的点Z的集合分别是什么图形?(1)|z|=4.(2)2<|z|<4.【解题指南】根据复数的模的几何意义判定复数z对应点Z的集合所构成的图形.
【解析】(1)复数z的模等于4,就是说,向量 的模等于4,所以满足条件|z|=4的点Z的集合是以原点O为圆心,以4为半径的圆.
(2)2<|z|<4可化为不等式组 不等式|z|<4的解集是圆|z|=4内部所有的点组成的集合,不等式|z|>2的解集是圆|z|=2外部所有的点组成的集合,这两个集合的交集就是不等式组
所表示的集合.容易看出,点Z的集合是以原点O为圆心,以2及4为半径的圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界.
类型三 复数与平面向量的一一对应【典例】1.向量 对应的复数是5-4i,向量 对应的复数是-5+4i,则 对应的复数是 ( )A.-10+8i B.10-8iC.0 D.10+8i
2.在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求向量 对应的复数.(2)判定△ABC的形状.
【解题探究】1.典例1中 怎样用坐标表示?提示: =(5,-4), =(-5,4).2.典例2中 对应的复数怎样求?提示:
【解析】1.选C.因为向量 对应的复数是5-4i,向量 对应的复数是-5+4i,所以 =(5,-4), =(-5,4),所以 =(5,-4)+(-5,4)=(0,0),所以 对应的复数是0.
2.(1)由复数的几何意义知: =(1,0), =(2,1), =(-1,2),所以 =(1,1), 所以 对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.
(2)因为 所以 所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
【方法技巧】复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
【变式训练】(2016·大连高二检测)设复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,且z1=2+i,则z2=( )A.2+iB.-2+iC.2-iD.-2-i
【解析】选B.因为z1=2+i,所以z1在复平面内对应点的坐标为(2,1),由复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,可知z2在复平面内对应的点的坐标为(-2,1),所以z2=-2+i.
【补偿训练】复数z=3+4i对应的向量 所在直线的斜率为________.【解题指南】先利用复数与向量的对应关系,确定出向量 的坐标,再利用直线的斜率公式求直线斜率.
【解析】由z=3+4i知, =(3,4),所以直线的斜率:k= .答案:
自我纠错 复数与复平面内点的对应关系【典例】在复平面内,O为原点,已知复数z=x- i所对应的点都在单位圆内,则实数x的取值范围是_________.
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是误认为复数z=x- i所对应的点为z 而导致错误.正确的解答过程如下:
【解析】因为复数z=x- i所对应的点Z 都在单位圆内,所以|OZ|<1,即 所以 即 解得 答案:
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