高中数学人教版新课标A选修1-2第三章 数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念精练

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．复数－2i的实部与虚部分别是(　　)

A．0,2 B．0,0

C．0，－2 D．－2,0

【解析】　－2i的实部为0，虚部为－2.

【答案】　C

2．(2016·鹤岗高二检测)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　)

A．1 B．2

C．－1或－2 D．1或2

【解析】　由得a＝2.

【答案】　B

3．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

【解析】　由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.

【答案】　D

4．在下列命题中，正确命题的个数是(　　)

①两个复数不能比较大小；

②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2；

③若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i必为纯虚数．

A．0 B．1

C．2 D．3

【解析】　两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误；

设z1＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c，d∈R，且d≠0)，因为b＝d，所以z2＝c＋bi.

当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②错误；

③当a＝b≠0时，(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，(a－b)＋(a＋b)i＝0是实数，故③错误，因此选A.

【答案】　A

5．下列命题中，正确命题的个数是(　　)

①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；

②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；

③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.

A．0 B．1　　　

C．2　　　 D．3

【解析】　对于①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；

对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；

对于③，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0，故③是假命题．

【答案】　A

5．已知复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)，则“a＝2”是“z为纯虚数”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

【解析】　因为复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)为纯虚数⇔⇔a＝±2, 所以“a＝2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件．

 【答案】　A

二、填空题

6．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是________．

【解析】　3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i，实部为－3，故应填3－3i.

【答案】　3－3i

7．若x是实数，y是纯虚数，且(2x－1)＋2i＝y，则x，y的值为________.

【导学号：19220037】

【解析】　由(2x－1)＋2i＝y，得

∴x＝，y＝2i.

【答案】　x＝，y＝2i

8．给出下列说法：

①复数由实数、虚数、纯虚数构成；

②满足x2＝－1的数x只有i；

③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数；

④复数m＋ni的实部一定是m.

其中正确说法的个数为________．

【解析】　③中，b＝0时，bi＝0不是纯虚数．故③正确；①中，复数分为实数与虚数两大类；②中，平方为－1的数是±i；④中，m，n不一定为实数，故①②④错误．

【答案】　1

三、解答题

9．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m取什么值时：(1)复数z是零；(2)复数z是纯虚数．

【解】　(1)∵z是零，

∴

解得m＝1.

(2)∵z是纯虚数，

∴解得m＝0.

综上，当m＝1时，z是零；当m＝0时，z是纯虚数．

10．已知集合M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．

【解】　因为M∪P＝P，所以M⊆P，

即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.

由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得

解得m＝1；

由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得

解得m＝2.

综上可知，m＝1或m＝2.

[能力提升]

1．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是(　　)

A．－1或3 B．{a|a>3或a<－1}

C．{a|a>－3或a<1} D．{a|a>3或a＝－1}

【解析】　由已知可以得到a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}．

【答案】　B

2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为(　　)

A.   B.或π

C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)

【解析】　由复数相等定义得

∴tan θ＝1，

∴θ＝kπ＋(k∈Z)．

【答案】　D

3．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．

【解析】　∵log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，

∴

∴

∴

∴x＝－2.

【答案】　－2

4．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根x0，求x0以及实数k的值.

【导学号：19220038】

【解】　x＝x0是方程的实根，代入方程并整理，得

(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.

由复数相等的充要条件，得

解得或

∴方程的实根为x0＝或x0＝－，相应的k值为k＝－2或k＝2.