数学八年级下册17.1 勾股定理备课课件ppt

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2．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求证AB＝BC.
证明：∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形．由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＝2AB2－CD2，∴AD2＋CD2＝2AB2.∴AC2＝2AB2.∵∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，∴AB2＋BC2＝2AB2.∴BC2＝AB2，即AB＝BC.
(2)求证：BE2＋CF2＝EF2.
证明：连接AD.∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.易得∠BAD＝∠CAD＝∠B＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD.∵DE⊥DF，∴∠ADE＋∠ADF＝∠CDF＋∠ADF＝90°.∴∠ADE＝∠CDF.∴△ADE≌△CDF(ASA)．∴AE＝CF，DE＝DF.同理可得∠ADF＝∠BDE，∴△ADF≌△BDE.∴AF＝BE.在Rt△AEF中，AF2＋AE2＝EF2，∴BE2＋CF2＝EF2.
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形ABCD的周长为32，求BC和CD的长度．
5．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′处．若AB＝6，BC＝9，求BF的长．
解：∵折叠前后两个图形的对应线段相等，∴CF＝C′F.设BF＝x，∵BC＝9，∴CF＝9－x.∴C′F＝9－x.由题意得BC′＝3.在Rt△C′BF中，根据勾股定理可得C′F2＝BF2＋C′B2，即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4.∴BF的长是4.
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s. (1)求BC边的长；
解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，∴BC＝4 cm.
(2)当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；
解：由题意知BP＝t cm，当△ABP为直角三角形时，有两种情况：Ⅰ.如图①，当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，即t＝4.
(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．
7．如图，某学校(A点)到公路(直线l)的距离为300 m，到公交站(D点)的距离为500 m．现要在公路边上建一个商店(C点)，使之到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．
解：设CD＝x(x＞0)m，则AC＝x m，作AB⊥l于点B，则AB＝300 m.在Rt△ABD中，AD2＝AB2＋BD2，AB＝300 m，AD＝500 m，∴BD＝400 m.∴BC＝(400－x)m.在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，∴x2＝3002＋(400－x)2，解得x＝312.5.∴商店C与公交站D之间的距离为312.5 m.
8．如图，小明家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60 m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80 m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100 m回到家A处．问小明 在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并 说明理由．
解：小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．理由如下：由题易知AB＝60 m，BC＝80 m，AC＝100 m，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.又∵AD∥NM，∴∠NBA＝∠BAD＝30°.∴∠MBC＝180°－90°－30°＝60°.∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
9．【2019·绍兴】如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10. (1)在旋转过程中， ①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
解：AM＝AD＋DM＝40或AM＝AD－DM＝20.
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1旋转到其内的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．
【点拨】本题通过作已知点A或B关于CD的对称点，进一步作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解．
10．如图，红星村A和幸福村B在河岸CD的同侧，它们到河岸CD的距离AC，BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20 000元．(1)请在CD上选取水厂的位置，使铺设水管的费用最省；(2)求铺设水管的最省总费用．
(1)请在CD上选取水厂的位置，使铺设水管的费用最省；
解：作A关于直线CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点E，则点E为水厂的位置，如图所示．