初中数学北师大版八年级下册4 分式方程课时训练

第五章　分式与分式方程  综合检测

一、选择题(每小题3分,共30分)

1. [2022眉山期末]下列代数式中,属于分式的是(　　)

A.-3 B.  C.+y   D.-4x3y

2. [2022临汾期末]下列分式中,是最简分式的是 (　　)

A.  B.  C.  D.

3. [2022成都龙泉驿区期末]下列式子从左至右变形不正确的是 (　　)

A.=  B.=  C.=- D.=

4. [2022石家庄二模]若分式□的运算结果为x,则在“□”中填上的运算符号为(　　)

A.+  B.-  C.+或×  D.-或÷

5. [2021邯郸永年区期中]化简(-)·的结果是(　　)

A.    B.-   C.x-y    D.y-x

6. [2022保定清苑区期末]若分式“·”可以进行约分化简,则“○”不可以是(　　)

A.1  B.x  C.-x D.4

7. [2022南充中考]已知a>b>0,且a2+b2=3ab,则(+)2÷(-)的值是(　　)

A. B.- C.  D.-

8. [2022辽阳期末]若关于x的分式方程+3=有增根,则m的值为(　　)

A.0  B.  C.1  D.4

9. [2022临沂中考]将5 kg浓度为98%的酒精,稀释为75%的酒精.设需要加水x kg,根据题意可列方程为 (　　)

A.0.98×5=0.75x     B.=0.75

C.0.75×5=0.98x   D.=0.98

10. [2022重庆中考B卷]关于x的分式方程+=1的解为正数,且关于y的不等式组的解集为y≥5,则所有满足条件的整数a的值之和是(　　)

A.13 B.15 C.18 D.20

二、填空题(每小题3分,共12分)

11. [2022西安期末]若分式的值为0,则x=　　　　. 

12. [2022成都双流区模拟]已知2a+3b=6(b≠2),则代数式的值为　　　　. 

13. 小王家距上班地点18 km,他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9 km,他从家出发到达上班地点,乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的.小王用自驾车方式上班平均每小时行驶　km.

14. [2022舟山定海区期末]已知a1=x+1(x≠0,x≠-1),a2=,a3=,…,an=.若a2 022的值为2 022,则x的值为　    　.

三、解答题(本大题共6小题,共58分)

15. (6分)[2022遵义红花岗区模拟]化简:(x+2+)÷.

16. (8分)[2022铁岭期末]解分式方程:

(1)-=;

(2)+=.

17. (8分)[2022白银期末]先化简,再求值:÷+,请从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的数代入求值.

18. (10分)如图是学习分式方程的应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程.

根据以上信息,解答下列问题.

(1)冰冰同学所列方程中的x表示　　　　　　　,庆庆同学所列方程中的y表示　　　　　　　; 

(2)两个方程中任选一个,并写出它的等量关系;

(3)解(2)中你所选择的方程,并回答老师提出的问题.

19. (12分)[2022呼和浩特中考]今年我市某公司分两次采购了一批土豆,第一次花费30万元,第二次花费50万元,已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元,第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元,第二次采购的数量是第一次采购的数量的2倍.

(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元.

(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉,因设备原因,两种产品不能同时加工,若单独加工成薯片,每天可加工5吨土豆,每吨土豆获利700元;若单独加工成淀粉,每天可加工8吨土豆,每吨土豆获利400元,由于出口需要,所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天,其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的,为获得最大利润,应将多少吨土豆加工成薯片?最大利润是多少?

20. (14分)阅读材料,解答下列问题:

当a≠b时,一般来说会有a2+b≠a+b2,然而当a和b是特殊的分数时,这个等式却是成立的.例如:()2+=+()2,()2+=+()2,()2+=+()2,…,()2+=+()2,….

(1)特例验证

请再写出一个具有上述特征的等式:　                           .

(2)猜想结论

用n(n为正整数)表示分数的分母,上述等式可表示为                           　.

(3)证明推广

①(2)中得到的等式一定成立吗?若成立,请证明;若不成立,说明理由.

②等式()2+=+()2(m,n为任意实数,且n≠0)成立吗?若成立,请写出一个这种形式的等式(要求m,n中至少有一个为无理数);若不成立,说明理由.

参考答案

一、选择题

1. B

2. D

3. A

4. D　+==,-===x,·=,÷=·=x,所以“□”中填上的运算符号为-或÷.

5. B　解法一(按运算顺序)　(-)·=·=-·=-.

解法二 (利用乘法分配律)　(-)·=·-·=-=-=-.

6. C　观察式子特征,若分式可以进行约分化简,则x2-○因式分解后得到的因式中含有x-1或x+2,结合选项知○不可以是-x.

7. B　(+)2÷(-)=÷=·=-,∵a2+b2=3ab,∴(a+b)2=5ab,(a-b)2=ab.∵a>b>0,∴a+b=,a-b=,∴-=-=-=-.

8. D　去分母,得7x+3(x-1)=2m-1,去括号,得7x+3x-3=2m-1,移项、合并同类项,得10x=2m+2,解得x=.∵关于x的分式方程+3=有增根,∴=1,∴m=4.

9. B

10. A　解分式方程得x=a-2,∵x>0且x≠3,∴a-2>0且a-2≠3,∴a>2且a≠5,解不等式y+9≤2(y+2),得y≥5,解不等式>1,得y>,∵不等式组的解集为y≥5,∴<5,∴a<7,∴2<a<7且a≠5,∴所有满足条件的整数a的值之和为3+4+6=13.

二、填空题

11. 1　若分式的值为0,则x-1=0且2x-3≠0,∴x=1.

12. -　∵2a+3b=6,∴2a=6-3b=3(2-b),∴b-2=-a,所以==-.

13. 27　设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x km,∵小王家距上班地点18 km,∴小王自驾车方式从家到上班地点所需时间为 h.∵他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9 km,∴他乘公交车方式从家到上班地点所需时间为 h.∵乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的,∴=×,解得x=27,经检验,x=27是原方程的根,且符合题意.即小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27 km.

14. -　把a1=x+1代入,得a2===-,把a2=-代入,得a3===,把a3=代入,得a4===x+1,依次类推,结果以x+1,-,为一个循环.∵2 022÷3=674,∴a2 022==2 022,去分母,得x=2 022(x+1),去括号,得x=2 022x+2 022,解得x=-,经检验,x=-是原方程的根.

三、解答题

15. 解:(x+2+)÷

=÷

=·

=·

=·

=3(x+3)

=3x+9.(6分)

16. 解:(1)去分母,得3-x=2(x-3),

解得x=3,(2分)

检验:当x=3时,x(x-3)=0,

因此x=3不是原分式方程的根,

∴原分式方程无解.(4分)

(2)去分母,得2+3=2x-1,

解得x=3,(2分)

检验:当x=3时,4x-2≠0,

∴x=3是原分式方程的根.(4分)

17. 解:÷+

=-·+

=-+

=

=

=,(4分)

解不等式组得-3<x<2.

∴不等式组的整数解为-2,-1,0,1,(6分)

∵x-1≠0,x≠0且x+2≠0,

∴x≠1,0,-2.∴x只能取-1.

当x=-1时,原式==-1.(8分)

18. 解:(1)甲队每天修路的长度　甲队修路400米所需时间或乙队修路600米所需时间 (2分)

(2)选冰冰用的方程,所用的等量关系:甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间.

选庆庆用的方程,所用的等量关系:乙队每天修路的长度-甲队每天修路的长度=20米.(选择一个即可)(4分)

(3)选冰冰的方程:=,

去分母,得400x+8 000=600x,

移项,x的系数化为1,得x=40.(8分)

检验:当x=40时,分母x,x+20均不为零,

∴x=40是原方程的根.

答:甲队每天修路的长度为40米.(10分)

选庆庆的方程:-=20,

去分母,得600-400=20y,

将y的系数化为1,得y=10.(8分)

检验:当y=10时,分母y不为0,

∴y=10是原方程的根,∴=40.

答:甲队每天修路的长度为40米.(10分)

19. 解:(1)设去年每吨土豆的平均价格是x元,则今年第一次采购时每吨土豆的平均价格为(x+200)元,第二次采购时每吨土豆的平均价格为(x-200)元,

由题意,得×2=,(3分)

解得x=2 200,

经检验,x=2 200是原分式方程的根,且符合题意.

答:去年每吨土豆的平均价格是2 200元.(5分)

(2)由(1),得今年采购的土豆数量为×3=375(吨),(6分)

设应将m吨土豆加工成薯片,则应将(375-m)吨土豆加工成淀粉,

由题意,得(8分)

解得150≤m≤175.(9分)

设总利润为y元,

则y=700m+400(375-m)=300m+150 000,(10分)

∵300>0,∴y随m的增大而增大,

∴当m=175时,y取得最大值,最大值为300×175+150 000=202 500.

答:为获得最大利润,应将175吨土豆加工成薯片,最大利润是202 500元.(12分)

20. 解:(1)()2+=+()2(答案不唯一)(3分)

(2)()2+=+()2(6分)

(3)①成立.证明如下:

左边:()2+=+=.(8分)

右边:+()2=+=.

左边=右边,

∴()2+=+()2.(10分)

②成立.

例如:()2+=+()2.(答案不唯一)(14分)