人教版八年级下册17.1 勾股定理综合训练题

17.1勾股定理同步练习

姓名：__________班级：__________学号：__________

一、选择题

1．如图，折叠直角三角形纸片，使两锐角顶点重合，设折痕为．若，，则的长是（  ）

A. 6 B. 8 C. 10   D. 12

2．如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为(  )

A. B. 8 C. 9  D.

3．直角三角形的两边长为5和12，则第三边的长为（  ）

A. 13B. 13或 C. D. 无法确定

4．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=12,AC=5,分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度的一半为半径作弧,相交于点E,F,过点E,F作直线EF,交AB于点D,连接CD,则△ACD的周长为(　)

A. 13 B. 17 C. 18D. 25

5．如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则BP的最小值为（　　）

A. B. 5 C. 4D. 4.8

6．如图在Rt△ABC中，，AD平分，AC=6，BC=8，则CD的长为（   ）

A. 1 B. 2 C. 3  D. 4

7．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm.A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）

A. dm B. 20dm  C. 25dm D. 35dm

8．如图，在平面直角坐标系中，已知平分，，BC∥OA，点的坐标为，点的横坐标为，则点的坐标是（）．

A.   B. C. D.

9．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（　　）

A. b2+（b﹣a）2 B. b2+a2 C. （b+a）2  D. a2+2ab

10．如图3，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰三角形，若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为（    ）

A. 9B.   C.    D. 3

二、填空题

11．在中，，，垂足为点D，如果，，那么AD的长度为________．

12．如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=18，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕和AC交于点E，EC=5，则BC的长为______．

13．已知，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝，AB＝，则边BC的长为_________.

14．在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=13，则c=________；②若a=9，c=41，则b=________．

15．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=________. 

16．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△的位置，点B，O分别落在点,处，点在轴上，再将△绕点顺时针旋转到△的位置，点在轴上，将△绕点顺时针旋转△的位置，点在轴上……依次进行下去。若点,B(0,2)，则点的坐标为_____________ .

三、解答题

17．2017年9月3日21时30分，台风“玛娃”在广东汕尾陆丰市登陆，给人们的生活环境造成极大的破坏。台风“玛娃”将一颗竖直9米高的参天古树吹折（如图），事后测得树尖距树底6米远，求断裂处距树底的高度.

18．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请在所给网格中画一个边长分别为、2、3的三角形．

19．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E、F分别是BG、AC的中点．

(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；

(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．

20．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB=5，BD=4，CD=．

（1）求AD的长．

（2）求△ABC的周长．

21．已知中，，于．

（）若，求的度数．

（）若，，求的长．

22．如图，平分，平分，和交于点，为的中点，连结．

（）找出图中所有的等腰三角形．

（）若，，求的长．

23．如图，等边中，是的角平分线，为上一点，以为一边且在下方作等边，连接．

（）求证：≌．

（）延长至，为上一点，连接、使，若，求的长．

参考答案

1．A

【解析】设BD=，则AD=AB-BD=，

由折叠的性质可得：DC=AD=，

∵在Rt△BCD中，DC2=BD2+BC2，

∴，解得：，即BD=6.

故选A.

2．A

【解析】∵AB=8，BC=10，AC=6，

∴AB2=64，BC2=100，AC2=36，

∴AB2+AC2=BC2，

∴∠BAC=90°，

∴S△ABC=AB·AC=24，

又∵CD⊥BC于点D，

∴S△ABC=BC·CD=24，即5CD=24，

∴CD=.

故选A.

3．B

【解析】试题解析：此题分两种情况:

①当12和5是两直角边时:

由勾股定理,斜边长为:

②当12是斜边长,5是直角边长时:

由勾股定理,另一直角边长为:

综上所述,第三边长为13或

故选B.

点睛：直角三角形两条直角边的平方和会等于斜边的平方.

4．C

【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，根据勾股定理求得AB=13.根据题意可知，EF为线段AB的垂直平分线，在Rt△ABC中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD=AD=AB，所以△ACD的周长为AC+CD+AD=AC+AB=5+13=18.故选C.

5．D

【解析】解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC=6，∴BD=CD=3．在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD===4．又∵S△ABC=BC•AD=BP•AC，∴BP===4.8．故选D．

点睛：此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短；熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

6．C

【解析】试题解析：过点D作DE⊥AB于E，

∵AD平分∠BAC，

∴CD=DE，

在Rt△ACD和Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AE=AC=6，

由勾股定理得，AB==10，

∴BE=AB-AE=10-6=4，

设CD=DE=x，则BD=8-x，

在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2，

x2+42=（8-x）2，

解得x=3，

即CD的长为3．

故选C.

7．C

【解析】试题解析：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得：x=25（dm）．
故选C．

点睛：要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题.

8．B

【解析】解：∵是的角平分线，，，∴．

∵，∴，∴，∴，∴，∴．故选B．

9．A

【解析】解：∵DE=b﹣a，AE=b，∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××（b﹣a）•b=b2+（b﹣a）2．故选A．

10．B

【解析】由题意可知；△ACD、△CEB、△ABF，分别是以AC、CB、AB为斜边的等腰直角三角形，

∴S△ACD=ADCD=AD2=（AC）2=AC2，

S△CEB=CEBE=CE2=（BC）2=BC2，

S△ABF=AFBF=AF2=（AB）2=AB2，

∴S阴影=S△ACD+S△CEB+S△ABF=AC2+BC2+AB2=（AC2+ BC2）+AB2，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，

∴AC2+BC2=AB2=9，

∴S阴影=.

故选B.

二、填空题

11．4.8

【解析】试题解析：∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，

∴BC==10，

∵AD⊥BC，

∴6×8=AD×10，

解得：AD=4.8．

故答案为：4.8．

12．12

【解析】∵AC=18，EC=5，

∴AE=AC-EC=18-5=13，

∵由折叠的性质可知：BE=AE，

∴BE=13，

∵∠C=90°，

∴在Rt△BEC中，BC=.

故答案为：12.

13．2

【解析】作CD⊥AB于点D. 

∵∠A=45°，

∴△ACD是等腰直角三角形，

∴AD=CD.

设AD=CD=x，

由勾股定理得x2+x2=2，

∴x=1.

∵，

∴,

在Rt△BCD中，

∵BC2=BD2+CD2，

∴ .

14．  40．

【解析】解：①∠C=90°，由勾股定理得：c= = = ；

②∠C=90°，由勾股定理得：b== =40；

故答案为：；40．

点睛：本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，运用勾股定理进行变形计算是解决问题的关键．

15．6

【解析】解：如图，∵图中的四边形为正方形，∴∠ABD=90°，AB=DB，∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠ABC+∠CAB=90°，∴∠CAB=∠DBE．在△ABC和△BDE中，∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AC=BE．∵DE2+BE2=BD2，∴ED2+AC2=BD2．∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，∴S1+S2=1，同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．故答案为：6．

点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了勾股定理和正方形的性质．

16．（6048，2）

【解析】∵AO=，BO=4，

∴AB=，

∴OC2=OA+AB1+B1C2=2++=6，

∴B2的坐标为：（6，2）.

同理可得：B4（12，2），B8（18，2）.

∴点B2016的横坐标为：1008×6=6048.

∴点B2016的坐标为：（6048，2）.

点睛：本题主要考查了学生对于图形旋转变换与点坐标之间的关系，以及如何运用旋转变换和勾股定理得到点坐标的规律的能力.首先，利用勾股定理得出AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出B4，B8的坐标；然后，根据点的坐标与下角标之间的关系，总结变化规律，即可得出答案.

三、解答题

17．断裂处距树底的高度为

【解析】试题分析：

如图，设BC= ，则由题意可知，AB= ，AC=6，由此可在Rt△ABC中，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可求得断裂处距树底的高度.

试题解析：

设断裂处距树底的高度为，则树尖距吹折处为，如图，即BC=，AB=，AC=6，

∵在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，

∴ ，

解得： ，即断裂处距树底的高度为米.

18．见解析.

【解析】试题分析：根据勾股定理分别作出3、2、的线段，且构成三角形可得．

试题解析：如图所示，△ABC即为所求，

其中AC=、AB=2、BC=3．

19．（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：

（1）由已知条件先证△BDG≌△ADC，再证△BDE≌△ADF即可得到所求结论；

（2）如图，由（1）可知∠ADC＝90°，△DEF是等腰直角三角形，结合F是AC的中点可得DF=AC=5，这样用勾股定理即可求得EF的长度.

试题解析：

(1)∵AD⊥BC于点D，

∴∠BDG＝∠ADC＝90°.

∵BD＝AD，DG＝DC，

∴△BDG≌△ADC，

∴BG＝AC.

∵E，F分别是BG，AC的中点，

∴DE＝BG，DF＝AC.

∴DE＝DF.

又∵BD＝AD，BE＝AF，

∴△BDE≌△ADF.

∴∠BDE＝∠ADF.

∴∠EDF＝∠EDG＋∠ADF＝∠EDG＋∠BDE＝∠BDG＝90°.

∴DE⊥DF.

(2)如图，连接EF，

∵AC＝10，∠ADC＝90°，

∴DE＝DF＝AC＝5.

又∵∠EDF＝90°，

∴EF＝.

点睛：（1）解第1小题时，由已知条件易证△BDG≌△ADC，从而可得DE=DF；由∠ADB=90°可知，要证DE⊥DF，需证∠BDE=∠ADF，这样就把问题转化为证△BDE≌△ADF了；（2）解第2小题时，由第1小题的结论可知△DEF是等腰直角三角形，这样只需在Rt△ADC中由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得DF=AC=5就可用勾股定理求出EF的长了.

20．（1）3；（2）．

【解析】试题分析：（1）在Rt△ABD中，依据勾股定理可求得AD的长；

（2）在Rt△ACD中，依据勾股定理可求得AC的长，然后再依据三角形的周长等于三边长度之和求解即可.

试题解析：（1）在Rt△ABD中，AD==3；

（2）在Rt△ACD中，AC==2，

则△ABC的周长=AB+AC+BC=5+4++2=9+3.

21．见解析．

【解析】试题分析：（1）在△ABC中，AB=AC，∠A=38°，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠B的度数，在Rt△CBD中，即可求出∠DCB的度数；（2）在Rt△CDA中，利用勾股定理求出AD的长，然后求出BD的长，最后在Rt△CBD中，利用勾股定理即可求出CB的长度．

试题解析：

（）∵，，

∴．

∵，

∴．

（），

∵，

∴对于，

．

∴．

∴对于，

．

22．（）所有的等腰三角形有：，，，;（）．

【解析】试题分析：

（1）由AB∥CD，AC平分∠BAD可得∠C=∠BAC=∠DAC，从而可得AD=CD，得到△ADC是等腰三角形；同理可△ABD是等腰三角形；证∠AED=90°，结合点F是AD中点，可得EF=FD=FA，从而可得△DEF和△AEF是等腰三角形；即图中共有4个等腰三角形；

（2）由∠AED=90°，AE=4，DE=3，由勾股定理可得AD=5，结合点F是AD中点，可得EF=AD=2.5.

试题解析：

（）图中等腰三角形共有4个，分别是：，，，．理由如下：

∵AB∥CD，AC平分∠BAD，

∴∠C=∠BAC，∠BAC=∠DAC，

∴∠C=∠DAC，

∴AD=CD，

∴△ADC是等腰三角形；

同理可得：△ABD是等腰三角形；

∵BD平分∠ADC，AD=CD，

∴BD⊥AC，

∴∠AED=90°，

又∵点F是AD的中点，

∴EF=AF=DF，

∴△AEF和△DEF是等腰三角形；

综上所述，图中共有四个等腰三角形，分别是：△ADC、△ABD、△AEF和△DEF；

（）∵∠AED=90°，AE=4，DE=3，

∴AD=，

又∵点F是AD的中点，

∴EF=AD=.

23．（）证明见解析;（）PQ=8.

【解析】试题分析：

（1）由△ABC、△DCE都是等边三角形可得：AC=BC、CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而可得∠ACD=∠BCE，这样由“SAS”即可证得：△ACD≌△BCE；

（2）由等边△ABC中，AO平分∠BAC可得∠CAD=∠BAC=30°，结合△ACD≌△BCE可得∠CBE=30°；过点C作CH⊥BQ于点H，由此可得CH=BC=3，在Rt△CHQ中，由勾股定理可得HQ=4，结合CP=CQ可得PQ=2HQ=8.

试题解析：

（）∵，均为等边三角形，

∴，

∴，

即，

在和中，

，

∴≌．

（）∵等边△ABC中，AO平分∠BAC，

∴∠CAD=∠BAC=30°.

如下图，过点作，垂足为，

由（）知≌，

则，

∴，

∴在中，，

又∵CP=CQ，CH⊥PQ，

∴．