初中数学湘教版九年级下册1.4 二次函数与一元二次方程的联系教学设计及反思

1.4二次函数与一元二次方程的联系

教学目标

1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.使学生知道二次函数的图象与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程根的三种情况.

2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.[来源:Z+xx+k.Com]

3.运用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题.

教学重点、难点

重点：二次函数与一元二次方程的关系.
难点：运用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题.

教学设计

一.预习导学

学生通过自主预习P24-P27完成下列各题：
1. 填表：二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的  横坐标 就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的  根   .

设计意图： 通过学生自主预习教材，初步理解掌握二次函数与一元二次方程的关系，培养学生的自学能力.

二.探究展示

(一)合作探究

1.画出二次函数y=x2-2x-3的图象，你能从图象中看出它与x 轴的交点吗？二次函y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系？

如上图所示， 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴的交点坐标分别是 （-1,0）， （3,0）  . 由交点坐标可知，当x=-1时， y=0 ， 即x2-2x-3=0，也就是说， x=  -1  是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根. 同理，当x=3 时，y=0，即x2-2x-3=0， 也就是说，x=  3  是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根.

由此得出：一般地， 如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x = x1，x = x2.

2.观察二次函数y=x2-6x+9 ，y=x2-2x+2 的图象（如下图），分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和 x2-2x+2=0 的根的情况.

二次函数y= x2-6x+9的图象与x 轴有重合的  两  个交点，其坐标都是 （3,0），而一元二次方程x2-6x+9=0 有两个相等的实根：x1= 3  ，x2= 3   .

二次函数y= x2-2x+2 的图象与x 轴  没有 交点，而一元二次方程x2-2x+2=0 没有 实数根.

由此得出：一般地，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴的位置关系有三种：

有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点，这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和没有实数根. 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x 轴的位置关系.

从上面的分析可以看出， 二次函数与一元二次方程关系密切. 那么解一元二次方程能不能借助二次函数呢？

求一元二次方程ax2+bx+c=0 的根就是求二次函数y=ax2+bx+c在y=  0   时，自变量x 的值，也就是二次函数图象与  x  轴交点的  横   坐标，因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根. 由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的.

设计意图：通过探究，进一步理解掌握二次函数与一元二次方程的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.培养学生通过合作交流解决问题的能力.

(二)展示提升

1.求一元二次方程x2-2x-1=0的根的近似值(精确到0.1).

分析： 一元二次方程x2-2x-1=0的根就是抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点的横坐标. 因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标.这种解一元二次方程的方法叫作图象法.

解 设二次函数y =x2-2x-1. 作出函数y =x2-2x-1的图象，如下图所示：　

可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1和0之间， 另一个交点在2和3之间. [来源:Zxxk.Com]

通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4，即一元二次方程x2-2x-1=0的实数根为x1≈-0.4或x2≈2.4.

我们还可以借助计算器来分析所求方程的实数根. 将二次函数y = x2-2x-1在-1至0范围内的部分x值所对应的y 值列表如下：

即 x2-6x+9=0

解得 x1=x2=3

即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.

（3）由抛物线的表达式得：3=-x2+x+[来源:

即 x2-6x+14=0

因为Δ=（-6）2 -4×1×14=-20<0 ，所以方程无实数根.

所以铅球离地面的高度不能达到3m.

从例2可以看出，已知二次函数y=ax2+bx+c的某一个函数值y =M，求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax2+bx+c=M，这样，二次函数与一元二次方程就紧密地联系起来了.

设计意图： 可点名展示，也可分组展示，培养学生分析问题的能力；同时增强学生团结协作的精神。老师在此环节准确引导，及时点拨和追问，总结出解决问题的方法和规律。

三.知识梳理

以“本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.

1. 二次函数与一元二次方程的关系：一般地，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴的位置关系有三种：有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点，这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和没有实数根. 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x 轴的位置关系.

2. 求一元二次方程ax2+bx+c=0 的根就是求二次函数y=ax2+bx+c在y= 0时，自变量x 的值，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根. 由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的.

四.当堂检测

1.试判断下列抛物线与x轴的交点情况：

（1） y=x2-x-2                       （2） y=9x2+12x+4

（3） y=x2-2x+3                      （4） y=4x2+12x+5

2．用图象法求一元二次方程x2+x-1=0的根的近似值（精确到0.1）

3.当t取什么值时，抛物线y=5x2+4tx+t2-1与x轴有一个交点？

3. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程. 如图，已知y=x2-2x刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月份）之间的关系. 试根据图象提供的信息，回答下列问题：

（1） 该公司亏损期是几个月？几月末开始赢利？

（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？

（3）该公司第8个月末所获利润是多少？

五.教学反思

本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系.教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系，然后介绍了用图象法求一元二次方程近似解的过程.这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容. 在教学过程中，我始终遵循着“有效的数学学习活动不能单独地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式”这一《新课程标准》的精神.