数学九年级下册第1章 二次函数1.4 二次函数与一元二次方程的联系优秀ppt课件
展开我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系如下:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间存在怎样的关系呢?
当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0.一次函数kx+b=0(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.
画二次函数y=x2-2x-3的图象,回答下列问题:
问题1:如图,你能从图象中看出它与x轴的交点吗?
二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标分别是(-1,0),(3,0).
观察图象与x轴的交点坐标,当x=-1时,y=___,即________,也就是说x=-1是一元二次方程_________的一个根.同理,当x=3时,y=0,即x2-2x-3=0,也就是说______是一元二次方程__________的一个根.
问题2:二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系呢?
结论:方程x2-2x-3=0的解就是抛物线y=x2-2x-3与x轴的两个交点的横坐标.因此,抛物线与一元二次方程之间是有密切联系的.即:若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个不同交点,坐标分别是A(x1,0),B(x2,0),则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根分别是x=x1、x=x2.
观察二次函数y=x2-6x+9,y=x2-2x+2的图象,分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+2=0的根的情况.
(1)抛物线y=x2-6x+9的图象与x轴有______交点,它们的横坐标是_____,此时函数值为0,所以而一元二次方程x2-6x+9=0的根是_________.
(2)抛物线y=x2-2x+2的图象与x轴______交点,所以一元二次方程x2-2x+2=0______实根.
在坐标系中画出二次函数y=x2-2x-3的图象,说出一元二次方程x2-2x-3=0的根的情况.
抛物线y=x2-2x-3的图象与x轴有______交点,它们的坐标分别是___________________,此时函数值为0,所以而一元二次方程x2-2x-3=0的根是___________.
(-1,0),(3,0)
观察以上三个函数的图像,说一说一元二次方程的根与二次函数与x轴交点有什么关系?
一元二次方程的根与二次函数与x轴交点的关系:
求一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是求二次函数y=ax2+bx+c在y=0时,自变量x的值,也就是二次函数与x轴交点的横坐标.因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根.由于作图或观察的误差,由图象求得的根,一般是近似的.
例1 求一元二次方程x2-2x-1=0的根的近似值(精确到0.1).
解 设二次函数y=x2-2x-1.作出二次y=x2-2x-1的图象,如图.
可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1和0之间,另一个交点在2和3之间.
通过观察或测量,可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4,即一元二次方程x2-2x-1=0的实数根为x1≈-0.4,x2≈2.4.
借助计算器也可以来分析所求方程的实数根.其方法是将二次函数y=x2-2x-1在-1至0范围内的部分x值所对应的y值列表如下:
观察表格可以发现,当x=-0.5时,y=0.25>0;当x=-0.4时,y=-0.04<0.结合图象可以看出,使y=0的x的值一定在-0.5与-0.4之间,即-0.5
试借助计算器,确定一元二次方程的另一个实数根x=2.4.
归纳 一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤:1、用描点法作二次函数的图象; 2、通过观察、测量或借助计算器估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标; 3、确定一元二次方程的解.
即当铅球离地面的高度为2.1 m时,它离初始位置的水平距离是1 m或5 m.
一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=m(m是实数)图象交点的横坐标.
已知二次函数y=ax2+bx+c的某一个函数值y=m,求对应的自变量的值
解一元二次方程ax2+bx+c=m的根
1、二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴的交点情况是( )A.一个交点 B.两个交点 C.没有交点 D.无法确定2、抛物线y=-x2-2x+3与坐标轴的交点个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3 3、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则( )A.a>0,b2-4ac<0 B.a>0,b2-4ac>0C.a<0,b2-4ac<0 D.a<0,b2-4ac>
4、下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是( )A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.35、已知二次函数y=ax2+2ax-3的部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程ax2+2ax-3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=( )A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3
6、判断下列函数的图象与x轴的公共点情况,并说明理由. (1)y=2x2-3x; (2)y=-x2-4x-1; (3)y=x2+2x+5.
解:(1)令y=0,则2x2-3x=0,所以,△=(-3)2-4×2×0=9>0, 所以,该方程有两个不相等的实数根,即函数y=2x2-3x与x轴有两个公共点;
(2)-x2-4x-1=0,所以,△=(-4)2-4×(-1)×(-1)=12>0, 所以,该方程有两个不相等的实数根,即函数y=-x2-4x-1与x轴有两个公共点;
(3)x2+2x+5=0,所以,△=22-4×1×5=-16<0, 所以,该方程没有实数根,即函数y=x2+2x+5与x轴没有公共点.
7、在高尔夫球比赛中,某运动员打出的球在空中飞行高度h(m) 与打出后飞行的时间t(s)之间的关系是h=7t-t2. (1)经过多少秒钟,球飞出的高度为10 m; (2)经过多少秒钟,球又落到地面.
解:(1)把h=10代入函数解析式h=7t-t2得,7t-t2=10, 解得t1=2,t2=5, 答:经过2秒或5秒,球飞出的高度为10 m;
(2)把h=0代入函数解析式h=7t-t2得,7t-t2=0, 解得t1=0(为球开始飞出时间),t2=7(球又落到地面经过的时间), 答:经过7秒钟,球又落到地面.
一般地,从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知1、如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数的值是0,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.2、一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=m(m是实数)图象交点的横坐标.
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