湘教版九年级下册1.4 二次函数与一元二次方程的联系优秀精练

2021年湘教版数学九年级下册

1.4《二次函数与一元二次方程的联系》同步练习卷

一、选择题

1.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(﹣2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是(　　)

A.x＜﹣2       B.﹣2＜x＜4       C.x＞0       D.x＞4

2.下列图形中阴影部分的面积相等的是(　　)

A.②③       B.③④       C.①②       D.①④

3.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是(　　)

A.无解       B.x=1       C.x=﹣4       D.x=﹣1或x=4

4.抛物线y=ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(    )

A.x＜2         B.x＞－3   C.－3＜x＜1       D.x＜－3或x＞1

5.下表是一组二次函数y=x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：

那么方程x2＋3x－5=0的一个近似根是(      )

A.1             B.1.1             C.1.2          D.1.3

6.如图,已知顶点为(-3,-6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,-4).

则下列结论中错误的是(　　)
 

A.b2>4ac

B.ax2+bx+c≥-6

C.若点(-2,m),(-5,n)在抛物线上,则m>n 

D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1

7.不论m为何实数，抛物线y=x2﹣mx+m﹣2（    ）

  A.在x轴上方                  B.与x轴只有一个交点    C.与x轴有两个交点              D.在x轴下方

8.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x-3的图象如图所示,点A（x1,y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点,其中﹣3≤x1＜x2≤0,则下列结论正确的是（  ）

 A.y1＜y2     B.y1＞y2     C.y的最小值是﹣3     D.y的最小值是﹣4

9.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.

现给以下结论：

①abc＜0；

②c+2a＜0；

③9a﹣3b+c=0；

④a﹣b≥m(am+b)(m为实数)；

⑤4ac﹣b2＜0．

其中错误结论的个数有(　　)

A．1个       B．2个      C．3个         D．4个

10.已知二次函数y=x2－2x－3，点P在该函数的图象上，点P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2．设d=d1+d2,下列结论中：

①d没有最大值；

②d没有最小值；

③－1＜x＜3时,d随x的增大而增大；

④满足d=5的点P有四个.其中正确结论的个数有(          )

A．1个        B．2个        C．3个        D．4个

二、填空题

11.抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,若y≥0,则x的取值范围是　　　.
 

12.若二次函数y=x2+6x+k的图象与x轴有且只有一个交点，则k的值为     ．

13.抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个公共点，则m的值为        ．

14.如图，一次函数y=mx+n的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于A(﹣1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是　   　．

15.如图所示的是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y 2=mx+n的图象，观察图象写出y2≤y1时，x的取值范围是     ．

16.如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q，则图中阴影部分面积为_____．

三、解答题

17.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），D（﹣1，0）和C（4，5）三点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．

18.二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：

根据表格中的信息，完成下列各题

（1）当x=3时，y=　   　

（2）当x为何值时，y=0？

（3）①若自变量x的取值范围是0≤x≤5，求函数值y的取值范围；

②若函数值y为正数，则自变量x的取值范围.

19.已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.

(1)求证:无论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;

(2)若该抛物线的对称轴为直线x=2.5.

①求该抛物线的函数解析式;

②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点?

20.已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+(m2+1)=0有实数根.

(1)求m的值.

(2)先作y=x2-(m+1)x+12(m2+1)的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位，再向上平移2个单位，写出变化后图象的表达式.

(3)在(2)的条件下，当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n2-4n的最大值和最小值.

参考答案

1.答案为：B.

2.答案为：A.

3.答案为：D.

4.答案为：C.

5.答案为：C.

6.答案为：C.

7.答案为：C

8.答案为：D．

9.答案为：A.

10.答案为：B

11.答案为：-3≤x≤1

12.答案为：9．

13.答案为：8.

14.答案为x＜﹣1或x＞4．

15.答案为：x≤—2或x≥1. 

16.答案为：13.5.

17.解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，

∴，∴a=，b=﹣，c=﹣1，

∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣1；

（2）当y=0时，得x2﹣x﹣1=0；解得x1=2，x2=﹣1，

∴点D坐标为（﹣1，0）；

∴图象如图，

∴当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4．

18.解：（1）从表格看出，函数的对称轴为x=1，顶点为（1，﹣2），

故x=3时，y=﹣1，故：答案是﹣1；

（2）把顶点坐标代入二次函数顶点式表达式得：y=a（x﹣1）2﹣2，

把点（﹣1，﹣1）代入上式得：﹣1=a（﹣1﹣1）2﹣2，解得：a=0.25，

则函数表达式为：y=0.25（x﹣1）2﹣2，令y=0，则x=1±2；

（3）①当0≤x≤5，函数在顶点处取得最小值，y=﹣2，

当x=5时，函数取得最大值y=0.25（5﹣1）2﹣2=2，

即：函数值y的取值范围为：﹣2≤x≤2；

②若函数值y为正数，则x＜1﹣2或x＞1+2.

19.解：(1)证明:∵y=(x-m)2-(x-m)=(x-m)(x-m-1),

∴令y=0,得x1=m,x2=m+1.

∵m≠m+1,

∴无论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点(m,0),(m+1,0).

(2)①∵y=(x-m)(x-m-1)=x2-(2m+1)x+m(m+1),

∴该抛物线的对称轴为直线x=-=,

又该抛物线的对称轴为x=2.5,

∴=2.5,解得m=2,

∴该抛物线的函数解析式为y=x2-5x+6.

②∵y=x2-5x+6=（x-2.5）2-0.25,

∴该抛物线沿y轴向上平移0.25个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.

20.解：(1)对于一元二次方程x2-(m+1)x+(m2+1)=0，

Δ=(m+1)2-4×(m2+1)=-m2+2m-1=-(m-1)2，

∵方程有实数根，

∴-(m-1)2≥0.

∴m=1.

(2)由(1)知y=x2-2x+1=(x-1)2，

它的图象关于x轴的对称图形的函数表达式为y=-(x-1)2,

∴平移后的表达式为y=-(x+2)2+2=-x2-4x-2.

(3)由,消去y得到x2+6x+n+2=0，

由题意知Δ≥0，

∴36-4(n+2)≥0.

∴n≤7.

∵n≥m，m=1，

∴1≤n≤7.

令y′=n2-4n=(n-2)2-4，

∴当n=2时，y′的值最小，最小值为-4，n=7时，y′的值最大，最大值为21.

∴n2-4n的最大值为21，最小值为-4.