初中数学湘教版九年级下册1.4 二次函数与一元二次方程的联系精品教学设计及反思

1.4 二次函数与一元二次方程的联系

【知识与技能】

1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系.

2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系.

3.会用二次函数图象求一元二次方程的近似根.

4.能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题.

【过程与方法】

经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会二次函数与方程之间的联系,进一步体会数形结合的思想.

【情感态度】

通过自主学习,小组合作,探索出二次函数与一元二次方程的关系,感受数学的严谨性,激发热爱数学的情感.

【教学重点】

①理解二次函数与一元二次方程的联系.

②求一元二次方程的近似根.

【教学难点】

一元二次方程与二次函数的综合应用.

一、情境导入，初步认识

1.一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是二次函数y=ax2+bx+c当 y=0 时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的 横坐标 .

2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的关系：当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴 无 交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有 一 个交点；当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有 两 个交点.

学生回答,教师点评

二、思考探究，获取新知

探究1  求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点

例1 求抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标.

【分析】抛物线y=x2-2x-3与x轴相交时，交点的纵坐标y=0，转化为求方程x2-2x-3=0的根.

解:因为方程x2-2x-3=0的两个根是x1=3,x2=-1,所以抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标分别是3或-1.

【教学说明】求抛物线与x轴的交点坐标，首先令y=0，把二次函数转化为一元二次方程，求交点的横坐标就是求此方程的根.

探究2  抛物线与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系思考：

（1）你能说出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数的情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有何关系？

(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数由什么来判断？

【教学说明】

探究3  利用函数图象求一元二次方程的近似根

提出问题：同学们可以估算下一元二次方程x2-2x-2=0的两根是什么？

学生回答：

【教学点评】-1＜x1＜0,2＜x2＜3.

探究4  一元二次方程与相应二次函数的综合应用

讲解教材P26例2

【教学说明】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的某一个函数值y=M,求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax2+bx+c=M,这样将二次函数的知识和前面学的一元二次方程就紧密联系起来了.

三、运用新知，深化理解

1.（广东中山中考）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（      ）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个同号的实数根

D.没有实数根

2.若一元二次方程x2-mx+n=0无实根，则抛物线y=-x2+mx-n图象位于（      ）

A.x轴上方           B.第一、二、三象限

C.x轴下方           D.第二、三、四象限

3.（x-1)(x-2)=m(m＞0)的两根为α,β，则α,β的范围为（      ）

A.α＜1，β>2       B.α＜1＜β＜2

C.1＜α＜2＜β      D.α＜1,β＞2

4.二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0)，则方程ax2+bx+c=0的解为          .

5.(湖北武汉中考)已知二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1,0),B(x2,0)两点，交y轴的正半轴于点C，且x21+x22=10.

(1)求此二次函数的解析式；

（2）是否存在过点D（0，-）的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由.

学生解答:

【答案】1.D  2.C  3.D  4.x1=1,x2=3

5.解：（1）y=x2-4x+3    (2)存在   y=x-

【教学说明】一元二次方程的根的情况和二次函数与x轴的交点个数之间的关系是相互的，根据根的情况可以判断交点个数，反之也成立.

四、师生互动，课堂小结

1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?

2.在学生回答基础上,教师点评:

①求二次函数自变量的值与一元二次方程根的关系；

②抛物线与x轴交点个数与一元二次方程根的个数的关系.

③用函数图象求“一元二次方程的近似根”；

④二次函数问题可转化为对应一元二次方程根与系数关系问题.

1.教材P28第1~3题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

通过本节课的学习,让学生用函数的观点解方程和用方程的知识求函数，取某一特值时，把对应的自变量的值都联系起来了,这样对二次函数的综合应用就方便得多了,从中让学生体会到各知识之间是相互联系的这一最简单的数学道理.