初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径优秀学案及答案

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径优秀学案及答案，共5页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，答案与解析，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


理解圆的对称性；


掌握垂径定理及其推论；


3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．





【要点梳理】


知识点一、垂径定理


1.垂径定理


垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.


2.推论


平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.





要点诠释：


(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即





(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.


知识点二、垂径定理的拓展


根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：


平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；


弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；


平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.


圆的两条平行弦所夹的弧相等.


要点诠释：


在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）





【典型例题】


类型一、应用垂径定理进行计算与证明


1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是 ．








【答案】 eq \r(,5).


【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，


∵AB=CD，CE=1，ED=3，


∴OM=EN=1，AM=2，


∴OA=.


【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.


举一反三：


【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．





【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，


∴


，


，


∴ 在Rt△BOM中，．


356965 例2-例3


【变式2】（2015春•安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．





【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，


∴F为CD的中点，即CF=DF，


∵AE=2，EB=6，


∴AB=AE+EB=2+6=8，


∴OA=4，


∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，


在Rt△OEF中，∠DEB=30°，


∴OF=OE=1，


在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，


根据勾股定理得：DF==，


则CD=2DF=2．





356965 例2-例3


2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.


【思路点拨】


在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.


【答案与解析】


(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，


并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.


∵AB∥CD


∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.


∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，








=8+6


=14(cm)





























图1 图2


(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，


同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)


∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.


【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.


举一反三：


【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．


【答案】2或8．





类型二、垂径定理的综合应用


3.（2015•普陀区一模）如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）





【答案与解析】


解：过点O作OD⊥AC于点D，则AD=BD，


∵∠OAB=45°，


∴AD=OD，


∴设AD=x，则OD=x，OA=x，CD=x+BC=x+50．


∵∠OCA=30°，


∴=，即=，


解得x=，


∴OA=x=×（）=（）（米）．


答：人工湖的半径为（）米．


【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．





4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．


(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；


(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；


(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．








【答案与解析】


(1)如图所示，


在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；


在图②中AB、CD交于⊙O内一点；


在图③中AB∥CD．





(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．


(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．


∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，


∴ AE∥OG∥BF．


∵ AB为直径，


∴ AO＝OB，


∴ EG＝GF，


∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．


【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.