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九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试同步达标检测题
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这是一份九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试同步达标检测题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。）
LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=﹣x2+1的图象大致为（ ）
A
LISTNUM OutlineDefault \l 3 抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（ ）
LISTNUM OutlineDefault \l 3 把二次函数y=x2﹣4x+1化成y=a（x+m）2+k的形式是（ ）
A．y=（x﹣2）2+1
B．y=（x﹣2）2﹣1
C．y=（x﹣2）2+3
D．y=（x﹣2）2﹣3
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知关于x的方程ax2+bx+c=5的一个根是2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则这条抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（2，﹣3）B．（2，1）C．（2，5）D．（5，2）
LISTNUM OutlineDefault \l 3 若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（ ）
A．y=（x﹣2）2+3
B．y=（x﹣2）2+5
C．y=x2﹣1
D．y=x2+4
LISTNUM OutlineDefault \l 3 （2016•莆田）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：
①连接AM．作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P；
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线顺次连接起来，得到的曲线是（ ）
A．直线B．抛物线C．双曲线D．双曲线的一支
LISTNUM OutlineDefault \l 3 将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（ ）
A．4B．6C．8D．10
LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①b＜0；②b+2a=0；③方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=﹣2，x2=4；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
LISTNUM OutlineDefault \l 3 在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线的图象如图所示，当y1≠y2时，取y1，y2中的较大值记为N；当y1=y2时，N=y1=y2．则下列说法：①当0＜x＜2时，N=y1；②N随x的增大而增大的取值范围是x＜0；③取y1，y2中的较小值记为M，则使得M大于4的x值不存在；④若N=2，则x=2﹣或x=1．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
LISTNUM OutlineDefault \l 3 抛物线y=，y=x2，y=﹣x2的共同性质是：
①都是开口向上；
②都以点（0，0）为顶点；
③都以y轴为对称轴；
④都关于x轴对称．
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
LISTNUM OutlineDefault \l 3 设函数y=kx2+（3k+2）x+1，对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，则m的最大整数值为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣1D．0
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共34分）
LISTNUM OutlineDefault \l 3 抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标是______．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 二次函数y=x2+2x+m与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为______．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 抛物线y=﹣2x2+x﹣4的对称轴为______．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 将抛物线y=2x2的图象向上平移1个单位后，所得抛物线的解析式为______．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，它与x轴的一个交点为A（3，0），根据图象，可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是______．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的序号是__________．
三、解答题（本大题共8小题，共78分）
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴是直线x=﹣1，且经过点（2，﹣3），求这个二次函数的表达式．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(－2，－5)，求此二次函数的解析式。
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知二次函数y=x2﹣6x+8．
（1）将y=x2﹣6x+8化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）当0≤x≤4时，y的最小值是 ，最大值是 ；
（3）当y＜0时，写出x的取值范围．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知P（﹣5，m）和Q（3，m）是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点．
（1）求b的值；
（2）将二次函数y=2x2+bx+1的图象沿y轴向上平移k（k＞0）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的取值范围．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 某纪念币从2013年11月11日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
（1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系：
①y=ax+b（a≠0）； ②y=a（x﹣h）2+k（ a≠0）； ③y=（a≠0）．
你可选择的函数的序号是 ．
（2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？
LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，一次函数y1=kx+1与二次函数y2=ax2+bx﹣2交于A，B两点，且A（1，0）抛物线的对称轴是x=﹣．
（1）求k和a、b的值；
（2）求不等式kx+1＞ax2+bx﹣2的解集．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；
（2）若t=﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点与y轴交于点C，动点P在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，请直接写出点P的坐标．
九年级上册第二单元二次函数测试卷（2）答案解析
一、选择题
1.【考点】二次函数的图象．
【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，和y轴的交点可得相关图象．
【解答】解：∵二次项系数a＜0，
∴开口方向向下，
∵一次项系数b=0，
∴对称轴为y轴，
∵常数项c=1，
∴图象与y轴交于（0，1），
故选B．
2.【考点】二次函数的性质
【分析】抛物线y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），直接根据抛物线y=（x+2）2+3写出顶点坐标则可．
【解答】解：由于y=（x+2）2+3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）．
故选：A．
3.【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
故第三个选项错误；
∵c＜0，
∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
故第一个选项错误；
∵a＜0、b＞0，对称轴为x=＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
故第四个选项错误．
故选B．
4.【考点】二次函数的三种形式．
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y=x2﹣4x+1
=x2﹣4x+4﹣3
=（x﹣2）2﹣3，
故选：D．
5.【考点】二次函数的性质；一元二次方程的解．
【分析】由二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，得出顶点横坐标为2，代入函数解析式得出纵坐标ax2+bx+c=5，由此求得顶点坐标即可．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，方程ax2+bx+c=5的一个根是2，
∴当x=2时，y=ax2+bx+c=5，
∴抛物线的顶点坐标是（2，5）．
故选：C．
6.【分析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题．
【解答】解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，
∵y=（x﹣1）2+2，
∴原抛物线图象的解析式应变为y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1，
故答案为C．
【点评】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的，记住左加右减，上加下减的规律，属于中考常考题型．
7.【考点】二次函数图象上点的坐标特征；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．
【分析】按照给定的作图步骤作图，根据图形中曲线的特征即可得出该曲线为抛物线．
【解答】解：根据作图步骤作图，如图所示．
由此即可得出该曲线为抛物线．
故选B/
8.【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．
【分析】抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后的到的新的二次函数的解析式为y=x2﹣9，令x2﹣9=0求其解即可知道抛物线与x轴的交点的横坐标，两点之间的距离随即可求．
【解答】解：将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度，
其解析式变换为：y=x2﹣9
而抛物线y=x2﹣9与x轴的交点的纵坐标为0，
所以有：x2﹣9=0
解得：x1=﹣3，x2=3，
则抛物线y=x2﹣9与x轴的交点为（﹣3，0）、（3，0），
所以，抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6
9.【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】①利用a的符号来判定b的符号；
②利用对称轴来判定；
③观察图形与x轴的交点的横坐标与对称性得出结论；
④找图形中x=﹣1时对应的y的值；
⑤把b=﹣2a代入a﹣b+c＜0中得出结论．
【解答】解：①因为开口向上，a＞0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，所以b＜0，选项①正确；
②对称轴x=﹣=1，则b=﹣2a，2a+b=0，选项②正确；
③根据对称性可知抛物线与x轴另一交点为（4，0），所以方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=﹣2，x2=4，选项③正确；
④由图象得：x=﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0，则a+c＜b，选项④错误；
⑤由a﹣b+c＜0和b=﹣2a得：3a+c＜0，选项⑤正确．
有4个正确的，故选B．
10.【考点】二次函数的性质．
【分析】根据函数图象和题意，可以判断题目中①②③④的正确与否，从而解答本题，得到正确的选项．
【解答】解：由题意和图象可知：x≤0时，N=y2，M=y1；0＜x≤2时，N=y1，M=y2；x＞2时，M=y1，N=y2
故选B．
11.【考点】二次函数的性质．
【分析】利用二次函数的性质，利用开口方向，对称轴，顶点坐标逐一探讨得出答案即可．
【解答】解：抛物线y=，y=x2的开口向上，y=﹣x2的开口向下，①错误；
抛物线y=，y=x2，y=﹣x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴，②③正确；④错误；
故选：B．
12.【考点】二次函数的性质；一次函数的性质．
【分析】先根据函数的解析式，再由对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大可知﹣≥m，故可得出m的取值范围，进而得出m的最大整数值．
【解答】解：∵对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，
∵k为负数，即k＜0，
∴函数y=kx2+（3k+2）x+1表示的是开口向下的二次函数，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∵对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，
∴x=﹣=﹣
∴m≤﹣=．
∵k＜0，
∴﹣＞0
∴，
∵m≤
对一切k＜0均成立，
∴m≤﹣的最小值是，
∴m的最大整数值是m=﹣2．
故答案为：﹣2．
二、填空题
13.【考点】二次函数的性质．
【分析】根据抛物线y=x2﹣4x+3，可以将此函数的解析式化为顶点式，从而可以得到它的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标是（2，﹣1），
故答案是：（2，﹣1）．
14.【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】由于抛物线与x轴的交点不能确定，故应分两种情况进行讨论，即当抛物线经过原点时，此时抛物线与x轴还有一个除原点以外的交点；若抛物线不经过原点，则抛物线必与x轴有一个交点，此时△=0，求出两中情况是m的值即可．
【解答】解：分两种情况：
当抛物线经过原点时，y=m=0，即m=0；
当抛物线不经过原点时，△=22﹣4×1×m=0，
解得：m=1．
故答案为：0或1．
15.【考点】二次函数的性质．
【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴公式为X=﹣，此题中的a=﹣4，b=3，将它们代入其中即可．
【解答】解：x=﹣=﹣=．
故答案为．
16.【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据左加右减，上加下减的规律，直接在函数上加1可得新函数．
【解答】解：∵抛物线y=2x2的图象向上平移1个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为y=2x2+1．
故答案为：y=2x2+1．
17.【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，设另一个交点为（x，0），可得=1，解得x的值，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线与x轴交点的横坐标．
【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（x，0），
∵抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，
∴=1，
解得：x=﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（﹣1，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是3或﹣1．
18.【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】观察函数图象，根据二次函数图象与系数的关系找出“a＜0，c＞0，﹣＞0”，再由顶点的纵坐标在x轴上方得出＞0．①由a＜0，c＞0，﹣＞0即可得知该结论成立；②由顶点纵坐标大于0即可得出该结论不成立；③由OA=OC，可得出xA=﹣c，将点A（﹣c，0）代入二次函数解析式即可得出该结论成立；④结合根与系数的关系即可得出该结论成立．综上即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象，发现：
开口向下⇒a＜0；与y轴交点在y轴正半轴⇒c＞0；对称轴在y轴右侧⇒﹣＞0；顶点在x轴上方⇒＞0．
①∵a＜0，c＞0，﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，①成立；
②∵＞0，
∴＜0，②不成立；
③∵OA=OC，
∴xA=﹣c，
将点A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c中，
得：ac2﹣bc+c=0，即ac﹣b+1=0，③成立；
④∵OA=﹣xA，OB=xB，xA•xB=，
∴OA•OB=﹣，④成立．
综上可知：①③④成立．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及根与系数的关系，解题的关键是观察函数图象逐条验证四条结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，观察函数图形，利用二次函数图象与系数的关系找出各系数的正负是关键．
三、解答题
19.考点： 待定系数法求二次函数解析式．
分析： 由抛物线的一般形式可知：a=﹣1，由对称轴方程x=﹣，可得一个等式﹣①，然后将点（2，﹣3）代入y=﹣x2+bx+c即可得到等式﹣4+2b+c=﹣3②，然后将①②联立方程组解答即可．
解答： 解：根据题意，得：，
解得，
所求函数表达式为y=﹣x2﹣2x+5．
点评： 此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是：熟练掌握待定系数法及对称轴表达式x=﹣．
20.设此二次函数的解析式为。
∵其图象经过点(－2，－5)，
∴，
∴，
∴
21.【考点】二次函数的三种形式；二次函数的最值．
【分析】（1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）根据二次函数的性质结合自变量的取值范围即可求解；
（3）先求出方程x2﹣6x+8=0的两根，再根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）y=x2﹣6x+8=（x2﹣6x+9）﹣9+8=（x﹣3）2﹣1；
（2）∵抛物线y=x2﹣6x+8开口向上，对称轴为x=3，
∴当0≤x≤4时，x=3，y有最小值﹣1；x=0，y有最大值8；
（3）∵y=0时，x2﹣6x+8=0，解得x=2或4，
∴当y＜0时，x的取值范围是2＜x＜4．
故答案为﹣1，8．
【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质及最值的求法，难度适中．把一般式转化为顶点式是解题的关键．
22.考点： 二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．
分析： （1）利用P（﹣3，m）和Q（1，m）是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点，得出图象的对称轴，进而得出b的值；
（2）利用图象与x轴无交点，则b2﹣4ac＜0，即可求出k的取值范围．
解答： 解：（1）∵点P、Q是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点，
∴此抛物线对称轴是直线x=﹣1．
∵二次函数的关系式为y=2x2+bx+1，
∴有﹣=﹣1．
∴b=4．
（2）平移后抛物线的关系式为y=2x2+4x+1+k．
要使平移后图象与x轴无交点，
则有b2﹣4ac=16﹣8（1+k）＜0，
k＞1．
点评： 此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及图象与x轴交点个数确定方法，利用二次函数的对称性得出对称轴是解题关键．
23.考点： 二次函数的应用．
分析： （1）根据市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据，逐一判断出可选择的函数的序号是哪个即可．
（2）根据二次函数最值的求法，求出该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少即可．
解答： 解：（1）①设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=ax+b时，
则，
解得．
∴y=﹣6.5x+116，
∵﹣6.5×36+116=﹣118≠90，
∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y=﹣6.5x+116；
②设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=a（x﹣h）2+k（ a≠0）时，
则
解得
∴y=（x﹣20）2+26，
∴该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．
答：该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．
点评： 此题注意考查了二次函数的应用，要熟练掌握，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
24.【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数的性质．
【分析】（1）首先把A的坐标代入一次函数解析式即可求得k的值，根据对称轴即可得到一个关于a和b的式子，然后把A代入二次函数解析式，解所得到的两个式子组成的方程组即可求得a和b的值；
（2）解一次函数解析式和二次函数解析式组成的方程组，求得B的坐标，然后根据图象求解．
【解答】解：（1）把A（1，0）代入一次函数解析式得：k+1=0，解得：k=﹣1，
根据题意得：，
解得：；
（2）解方程组，
解得：或．
则B的坐标是（﹣6，7）．
根据图象可得不等式kx+1＞ax2+bx﹣2的解集是：x＜﹣6或x＞1．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解二次函数的对称轴的解析式，正确求得B的坐标是关键．
25.【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【分析】（1）由图可以看出A点为抛物线的顶点，且开口向上，所以此点即为此函数的最小值；
（2）点p是抛物线与x轴的一个交点，而此时另一个交点是0，那么P与O是关于抛物线对称轴的两个对称点，知道了对称点的坐标，就很容易求出t的值；
（3）a＞0时，抛物线的开口向上，a＜0时，抛物线的开口向下，求出a的值就知道其开口方向．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴经过点A，
∴A点为抛物线的顶点，
∴y的最小值为﹣3，
∵P点和O点对称，
∴t=﹣6；
（2）分别将（﹣4，0）和（﹣3，﹣3）代入y=ax2+bx，得：，
解得，
∴抛物线开口方向向上；
（3）将A（﹣3，﹣3）和点P（t，0）代入y=ax2+bx，
，
由①得，b=3a+1③，
把③代入②，得at2+t（3a+1）=0，
∵t≠0，∴at+3a+1=0，
∴a=﹣．
∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∴﹣＜0，
∴t+3＞0，
∴t＞﹣3．
故t的值可以是﹣1（答案不唯一）．
（注：写出t＞﹣3且t≠0或其中任意一个数均给分）
【点评】此题主要考查了抛物线的对称性及开口方向的问题，对于二次函数的图象和性质要很熟悉．
26.【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将A．B两点的坐标分别代入y=﹣x2+bx+c，运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（2）可分两种情况（①以C为直角顶点，②以A为直角顶点）讨论，然后根据点P的纵、横坐标之间的关系建立等量关系，就可求出点P的坐标；
（3）连接OD，易得四边形OFDE是矩形，则OD=EF，根据垂线段最短可得当OD⊥AC时，OD（即EF）最短，然后只需求出点D的纵坐标，就可得到点P的纵坐标，就可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，
∴，
解得：，
则抛物线的解析式是y=﹣x2+3x+4；
（2）存在．
①当以C为直角顶点时，
过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1，
过点P1作y轴的垂线，垂足是M，如图1．
∵∠ACP1=90°，
∴∠MCP1+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP1=∠OAC．
∵OA=OC=4，
∴∠MCP1=∠OAC=45°，
∴∠MCP1=∠MP1C，
∴MC=MP1，
设P（m，﹣m2+3m+4），
则m=﹣m2+3m+4﹣4，
解得：m1=0（舍去），m2=2．
∴m=2，
此时﹣m2+3m+4=6，
∴P1的坐标是（2，6）；
②当点A为直角顶点时，
过A作AP2⊥AC交抛物线于点P2，
过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F，如图2，则P2N∥x轴，
∵∠CAO=45°，
（3）当EF最短时，点P的坐标是（，2）或（，2）．
解题过程如下：
连接OD，如图3，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短可得：当OD⊥AC时，OD（即EF）最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4．
根据等腰三角形的性质可得：D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴△AFD∽△AOC，
∴==，
∴DF=OC=2，
∴点D的纵坐标是2，
∴点P的纵坐标也是2，
解﹣x2+3x+4=2，得x1=，x2=，
∴点P的坐标为（，2）或（，2）．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征、等腰三角形的性质、矩形的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，有一定的综合性，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键，根据矩形的性质将EF转化为OD，然后利用垂线段最短是解决第（3）小题的关键．
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。）
LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=﹣x2+1的图象大致为（ ）
A
LISTNUM OutlineDefault \l 3 抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（ ）
LISTNUM OutlineDefault \l 3 把二次函数y=x2﹣4x+1化成y=a（x+m）2+k的形式是（ ）
A．y=（x﹣2）2+1
B．y=（x﹣2）2﹣1
C．y=（x﹣2）2+3
D．y=（x﹣2）2﹣3
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知关于x的方程ax2+bx+c=5的一个根是2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则这条抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（2，﹣3）B．（2，1）C．（2，5）D．（5，2）
LISTNUM OutlineDefault \l 3 若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（ ）
A．y=（x﹣2）2+3
B．y=（x﹣2）2+5
C．y=x2﹣1
D．y=x2+4
LISTNUM OutlineDefault \l 3 （2016•莆田）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：
①连接AM．作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P；
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线顺次连接起来，得到的曲线是（ ）
A．直线B．抛物线C．双曲线D．双曲线的一支
LISTNUM OutlineDefault \l 3 将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（ ）
A．4B．6C．8D．10
LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①b＜0；②b+2a=0；③方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=﹣2，x2=4；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
LISTNUM OutlineDefault \l 3 在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线的图象如图所示，当y1≠y2时，取y1，y2中的较大值记为N；当y1=y2时，N=y1=y2．则下列说法：①当0＜x＜2时，N=y1；②N随x的增大而增大的取值范围是x＜0；③取y1，y2中的较小值记为M，则使得M大于4的x值不存在；④若N=2，则x=2﹣或x=1．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
LISTNUM OutlineDefault \l 3 抛物线y=，y=x2，y=﹣x2的共同性质是：
①都是开口向上；
②都以点（0，0）为顶点；
③都以y轴为对称轴；
④都关于x轴对称．
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
LISTNUM OutlineDefault \l 3 设函数y=kx2+（3k+2）x+1，对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，则m的最大整数值为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣1D．0
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共34分）
LISTNUM OutlineDefault \l 3 抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标是______．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 二次函数y=x2+2x+m与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为______．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 抛物线y=﹣2x2+x﹣4的对称轴为______．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 将抛物线y=2x2的图象向上平移1个单位后，所得抛物线的解析式为______．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，它与x轴的一个交点为A（3，0），根据图象，可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是______．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的序号是__________．
三、解答题（本大题共8小题，共78分）
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴是直线x=﹣1，且经过点（2，﹣3），求这个二次函数的表达式．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(－2，－5)，求此二次函数的解析式。
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知二次函数y=x2﹣6x+8．
（1）将y=x2﹣6x+8化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）当0≤x≤4时，y的最小值是 ，最大值是 ；
（3）当y＜0时，写出x的取值范围．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知P（﹣5，m）和Q（3，m）是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点．
（1）求b的值；
（2）将二次函数y=2x2+bx+1的图象沿y轴向上平移k（k＞0）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的取值范围．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 某纪念币从2013年11月11日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
（1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系：
①y=ax+b（a≠0）； ②y=a（x﹣h）2+k（ a≠0）； ③y=（a≠0）．
你可选择的函数的序号是 ．
（2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？
LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，一次函数y1=kx+1与二次函数y2=ax2+bx﹣2交于A，B两点，且A（1，0）抛物线的对称轴是x=﹣．
（1）求k和a、b的值；
（2）求不等式kx+1＞ax2+bx﹣2的解集．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；
（2）若t=﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．
LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点与y轴交于点C，动点P在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，请直接写出点P的坐标．
九年级上册第二单元二次函数测试卷（2）答案解析
一、选择题
1.【考点】二次函数的图象．
【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，和y轴的交点可得相关图象．
【解答】解：∵二次项系数a＜0，
∴开口方向向下，
∵一次项系数b=0，
∴对称轴为y轴，
∵常数项c=1，
∴图象与y轴交于（0，1），
故选B．
2.【考点】二次函数的性质
【分析】抛物线y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），直接根据抛物线y=（x+2）2+3写出顶点坐标则可．
【解答】解：由于y=（x+2）2+3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）．
故选：A．
3.【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
故第三个选项错误；
∵c＜0，
∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
故第一个选项错误；
∵a＜0、b＞0，对称轴为x=＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
故第四个选项错误．
故选B．
4.【考点】二次函数的三种形式．
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y=x2﹣4x+1
=x2﹣4x+4﹣3
=（x﹣2）2﹣3，
故选：D．
5.【考点】二次函数的性质；一元二次方程的解．
【分析】由二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，得出顶点横坐标为2，代入函数解析式得出纵坐标ax2+bx+c=5，由此求得顶点坐标即可．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，方程ax2+bx+c=5的一个根是2，
∴当x=2时，y=ax2+bx+c=5，
∴抛物线的顶点坐标是（2，5）．
故选：C．
6.【分析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题．
【解答】解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，
∵y=（x﹣1）2+2，
∴原抛物线图象的解析式应变为y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1，
故答案为C．
【点评】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的，记住左加右减，上加下减的规律，属于中考常考题型．
7.【考点】二次函数图象上点的坐标特征；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．
【分析】按照给定的作图步骤作图，根据图形中曲线的特征即可得出该曲线为抛物线．
【解答】解：根据作图步骤作图，如图所示．
由此即可得出该曲线为抛物线．
故选B/
8.【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．
【分析】抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后的到的新的二次函数的解析式为y=x2﹣9，令x2﹣9=0求其解即可知道抛物线与x轴的交点的横坐标，两点之间的距离随即可求．
【解答】解：将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度，
其解析式变换为：y=x2﹣9
而抛物线y=x2﹣9与x轴的交点的纵坐标为0，
所以有：x2﹣9=0
解得：x1=﹣3，x2=3，
则抛物线y=x2﹣9与x轴的交点为（﹣3，0）、（3，0），
所以，抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6
9.【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】①利用a的符号来判定b的符号；
②利用对称轴来判定；
③观察图形与x轴的交点的横坐标与对称性得出结论；
④找图形中x=﹣1时对应的y的值；
⑤把b=﹣2a代入a﹣b+c＜0中得出结论．
【解答】解：①因为开口向上，a＞0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，所以b＜0，选项①正确；
②对称轴x=﹣=1，则b=﹣2a，2a+b=0，选项②正确；
③根据对称性可知抛物线与x轴另一交点为（4，0），所以方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=﹣2，x2=4，选项③正确；
④由图象得：x=﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0，则a+c＜b，选项④错误；
⑤由a﹣b+c＜0和b=﹣2a得：3a+c＜0，选项⑤正确．
有4个正确的，故选B．
10.【考点】二次函数的性质．
【分析】根据函数图象和题意，可以判断题目中①②③④的正确与否，从而解答本题，得到正确的选项．
【解答】解：由题意和图象可知：x≤0时，N=y2，M=y1；0＜x≤2时，N=y1，M=y2；x＞2时，M=y1，N=y2
故选B．
11.【考点】二次函数的性质．
【分析】利用二次函数的性质，利用开口方向，对称轴，顶点坐标逐一探讨得出答案即可．
【解答】解：抛物线y=，y=x2的开口向上，y=﹣x2的开口向下，①错误；
抛物线y=，y=x2，y=﹣x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴，②③正确；④错误；
故选：B．
12.【考点】二次函数的性质；一次函数的性质．
【分析】先根据函数的解析式，再由对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大可知﹣≥m，故可得出m的取值范围，进而得出m的最大整数值．
【解答】解：∵对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，
∵k为负数，即k＜0，
∴函数y=kx2+（3k+2）x+1表示的是开口向下的二次函数，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∵对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，
∴x=﹣=﹣
∴m≤﹣=．
∵k＜0，
∴﹣＞0
∴，
∵m≤
对一切k＜0均成立，
∴m≤﹣的最小值是，
∴m的最大整数值是m=﹣2．
故答案为：﹣2．
二、填空题
13.【考点】二次函数的性质．
【分析】根据抛物线y=x2﹣4x+3，可以将此函数的解析式化为顶点式，从而可以得到它的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标是（2，﹣1），
故答案是：（2，﹣1）．
14.【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】由于抛物线与x轴的交点不能确定，故应分两种情况进行讨论，即当抛物线经过原点时，此时抛物线与x轴还有一个除原点以外的交点；若抛物线不经过原点，则抛物线必与x轴有一个交点，此时△=0，求出两中情况是m的值即可．
【解答】解：分两种情况：
当抛物线经过原点时，y=m=0，即m=0；
当抛物线不经过原点时，△=22﹣4×1×m=0，
解得：m=1．
故答案为：0或1．
15.【考点】二次函数的性质．
【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴公式为X=﹣，此题中的a=﹣4，b=3，将它们代入其中即可．
【解答】解：x=﹣=﹣=．
故答案为．
16.【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据左加右减，上加下减的规律，直接在函数上加1可得新函数．
【解答】解：∵抛物线y=2x2的图象向上平移1个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为y=2x2+1．
故答案为：y=2x2+1．
17.【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，设另一个交点为（x，0），可得=1，解得x的值，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线与x轴交点的横坐标．
【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（x，0），
∵抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，
∴=1，
解得：x=﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（﹣1，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是3或﹣1．
18.【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】观察函数图象，根据二次函数图象与系数的关系找出“a＜0，c＞0，﹣＞0”，再由顶点的纵坐标在x轴上方得出＞0．①由a＜0，c＞0，﹣＞0即可得知该结论成立；②由顶点纵坐标大于0即可得出该结论不成立；③由OA=OC，可得出xA=﹣c，将点A（﹣c，0）代入二次函数解析式即可得出该结论成立；④结合根与系数的关系即可得出该结论成立．综上即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象，发现：
开口向下⇒a＜0；与y轴交点在y轴正半轴⇒c＞0；对称轴在y轴右侧⇒﹣＞0；顶点在x轴上方⇒＞0．
①∵a＜0，c＞0，﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，①成立；
②∵＞0，
∴＜0，②不成立；
③∵OA=OC，
∴xA=﹣c，
将点A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c中，
得：ac2﹣bc+c=0，即ac﹣b+1=0，③成立；
④∵OA=﹣xA，OB=xB，xA•xB=，
∴OA•OB=﹣，④成立．
综上可知：①③④成立．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及根与系数的关系，解题的关键是观察函数图象逐条验证四条结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，观察函数图形，利用二次函数图象与系数的关系找出各系数的正负是关键．
三、解答题
19.考点： 待定系数法求二次函数解析式．
分析： 由抛物线的一般形式可知：a=﹣1，由对称轴方程x=﹣，可得一个等式﹣①，然后将点（2，﹣3）代入y=﹣x2+bx+c即可得到等式﹣4+2b+c=﹣3②，然后将①②联立方程组解答即可．
解答： 解：根据题意，得：，
解得，
所求函数表达式为y=﹣x2﹣2x+5．
点评： 此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是：熟练掌握待定系数法及对称轴表达式x=﹣．
20.设此二次函数的解析式为。
∵其图象经过点(－2，－5)，
∴，
∴，
∴
21.【考点】二次函数的三种形式；二次函数的最值．
【分析】（1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）根据二次函数的性质结合自变量的取值范围即可求解；
（3）先求出方程x2﹣6x+8=0的两根，再根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）y=x2﹣6x+8=（x2﹣6x+9）﹣9+8=（x﹣3）2﹣1；
（2）∵抛物线y=x2﹣6x+8开口向上，对称轴为x=3，
∴当0≤x≤4时，x=3，y有最小值﹣1；x=0，y有最大值8；
（3）∵y=0时，x2﹣6x+8=0，解得x=2或4，
∴当y＜0时，x的取值范围是2＜x＜4．
故答案为﹣1，8．
【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质及最值的求法，难度适中．把一般式转化为顶点式是解题的关键．
22.考点： 二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．
分析： （1）利用P（﹣3，m）和Q（1，m）是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点，得出图象的对称轴，进而得出b的值；
（2）利用图象与x轴无交点，则b2﹣4ac＜0，即可求出k的取值范围．
解答： 解：（1）∵点P、Q是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点，
∴此抛物线对称轴是直线x=﹣1．
∵二次函数的关系式为y=2x2+bx+1，
∴有﹣=﹣1．
∴b=4．
（2）平移后抛物线的关系式为y=2x2+4x+1+k．
要使平移后图象与x轴无交点，
则有b2﹣4ac=16﹣8（1+k）＜0，
k＞1．
点评： 此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及图象与x轴交点个数确定方法，利用二次函数的对称性得出对称轴是解题关键．
23.考点： 二次函数的应用．
分析： （1）根据市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据，逐一判断出可选择的函数的序号是哪个即可．
（2）根据二次函数最值的求法，求出该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少即可．
解答： 解：（1）①设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=ax+b时，
则，
解得．
∴y=﹣6.5x+116，
∵﹣6.5×36+116=﹣118≠90，
∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y=﹣6.5x+116；
②设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=a（x﹣h）2+k（ a≠0）时，
则
解得
∴y=（x﹣20）2+26，
∴该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．
答：该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．
点评： 此题注意考查了二次函数的应用，要熟练掌握，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
24.【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数的性质．
【分析】（1）首先把A的坐标代入一次函数解析式即可求得k的值，根据对称轴即可得到一个关于a和b的式子，然后把A代入二次函数解析式，解所得到的两个式子组成的方程组即可求得a和b的值；
（2）解一次函数解析式和二次函数解析式组成的方程组，求得B的坐标，然后根据图象求解．
【解答】解：（1）把A（1，0）代入一次函数解析式得：k+1=0，解得：k=﹣1，
根据题意得：，
解得：；
（2）解方程组，
解得：或．
则B的坐标是（﹣6，7）．
根据图象可得不等式kx+1＞ax2+bx﹣2的解集是：x＜﹣6或x＞1．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解二次函数的对称轴的解析式，正确求得B的坐标是关键．
25.【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【分析】（1）由图可以看出A点为抛物线的顶点，且开口向上，所以此点即为此函数的最小值；
（2）点p是抛物线与x轴的一个交点，而此时另一个交点是0，那么P与O是关于抛物线对称轴的两个对称点，知道了对称点的坐标，就很容易求出t的值；
（3）a＞0时，抛物线的开口向上，a＜0时，抛物线的开口向下，求出a的值就知道其开口方向．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴经过点A，
∴A点为抛物线的顶点，
∴y的最小值为﹣3，
∵P点和O点对称，
∴t=﹣6；
（2）分别将（﹣4，0）和（﹣3，﹣3）代入y=ax2+bx，得：，
解得，
∴抛物线开口方向向上；
（3）将A（﹣3，﹣3）和点P（t，0）代入y=ax2+bx，
，
由①得，b=3a+1③，
把③代入②，得at2+t（3a+1）=0，
∵t≠0，∴at+3a+1=0，
∴a=﹣．
∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∴﹣＜0，
∴t+3＞0，
∴t＞﹣3．
故t的值可以是﹣1（答案不唯一）．
（注：写出t＞﹣3且t≠0或其中任意一个数均给分）
【点评】此题主要考查了抛物线的对称性及开口方向的问题，对于二次函数的图象和性质要很熟悉．
26.【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将A．B两点的坐标分别代入y=﹣x2+bx+c，运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（2）可分两种情况（①以C为直角顶点，②以A为直角顶点）讨论，然后根据点P的纵、横坐标之间的关系建立等量关系，就可求出点P的坐标；
（3）连接OD，易得四边形OFDE是矩形，则OD=EF，根据垂线段最短可得当OD⊥AC时，OD（即EF）最短，然后只需求出点D的纵坐标，就可得到点P的纵坐标，就可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，
∴，
解得：，
则抛物线的解析式是y=﹣x2+3x+4；
（2）存在．
①当以C为直角顶点时，
过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1，
过点P1作y轴的垂线，垂足是M，如图1．
∵∠ACP1=90°，
∴∠MCP1+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP1=∠OAC．
∵OA=OC=4，
∴∠MCP1=∠OAC=45°，
∴∠MCP1=∠MP1C，
∴MC=MP1，
设P（m，﹣m2+3m+4），
则m=﹣m2+3m+4﹣4，
解得：m1=0（舍去），m2=2．
∴m=2，
此时﹣m2+3m+4=6，
∴P1的坐标是（2，6）；
②当点A为直角顶点时，
过A作AP2⊥AC交抛物线于点P2，
过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F，如图2，则P2N∥x轴，
∵∠CAO=45°，
（3）当EF最短时，点P的坐标是（，2）或（，2）．
解题过程如下：
连接OD，如图3，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短可得：当OD⊥AC时，OD（即EF）最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4．
根据等腰三角形的性质可得：D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴△AFD∽△AOC，
∴==，
∴DF=OC=2，
∴点D的纵坐标是2，
∴点P的纵坐标也是2，
解﹣x2+3x+4=2，得x1=，x2=，
∴点P的坐标为（，2）或（，2）．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征、等腰三角形的性质、矩形的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，有一定的综合性，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键，根据矩形的性质将EF转化为OD，然后利用垂线段最短是解决第（3）小题的关键．
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