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初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试教案
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这是一份初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试教案，文件包含2021-2022学年度九上数学培优讲义八二次函数综合题学生版docx、2021-2022学年度九上数学培优讲义八二次函数综合题教师版docx等2份教案配套教学资源，其中教案共36页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年度九上数学培优讲义（八）二次函数综合题（一）
【例题精讲】
1．如图1，抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，P为x轴下方抛物线上一点，若OC＝2OA＝4．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，若∠ABP＝∠ACO，求点P的坐标；
（3）如图3，点P的横坐标为1，过点P作PE⊥PF，分别交抛物线于点E，F．求点A到直线EF距离的最大值．
【解答】解：（1）∵CO＝4，故c＝﹣4，则抛物线的表达式为y＝ax2﹣4，
∵OC＝2OA＝4，故点A（﹣2，0），则0＝4a﹣4，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4；
（2）过点A作x轴的垂线交BP的延长线于点Q，
在△BAQ和△COA中，
AB=OC=4∠QAB=∠BOC=90°∠ABP=∠ACO，
∴△BAQ≌△COA（AAS），
∴AQ＝OA＝2，
∴Q（﹣2，﹣2），
由点B、Q的坐标得，直线BQ解析式为y=12x﹣1，
联立y=12x−1y=x2−4，
解得x1＝2（舍去），x2=−32，
∴P（−32，−74）；
（3）设E（x1，x12﹣4），F（x2，x22﹣4），P（1，﹣3），
由点P、E的坐标得，yPE＝（x1+1）x﹣4﹣x1，
同理可得yPF＝（x2+1）x﹣4﹣x2，
又∵PE⊥PF，
∴（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+x1+x2+1＝﹣1，
x1x2＝﹣2﹣（x1+x2）（这里可以构造三垂模型如图3，利用相似三角形的性质得到）．
同理可得EF的解析式为：yEF＝（x1+x2）x﹣4﹣x1x2，
∴yEF＝（x1+x2）x﹣4+2+（x1+x2）＝（x1+x2）（x+1）﹣2，
∴直线EF恒过定点（﹣1，﹣2），设该点为R，
连接点AR，则AR为点A到直线EF距离的最大值，
∴AR=(−2+1)2+22=5．
【课后巩固】1．抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C．
（1）如图1，当m＝3时．
①直接写出点A，B，C的坐标；
②若抛物线上有一点P，使∠ACP＝∠BAC，求点P的坐标；
（2）如图2，平移直线CB交抛物线于M，N两点，直线MC与直线NB交于点G，若点G在定直线x＝1上运动，求m的值．
【解答】解：（1）①当m＝3时，y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，则点C（0，3），
当y＝0时，0＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
②如图1，延长CP交x轴于点E，作DE⊥AC，
∵点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴OA＝1，OC＝3，
∴AC=OA2+OC2=1+9=10，
∵∠ACP＝∠BAC，
∴AE＝CE，且DE⊥AC，
∴AD＝CD=102，
∵∠CAO＝∠CAO，∠AOC＝∠ADE＝90°，
∴△ACO∽△AED，
∴AOAD=ACAE，
∴AE＝5，且点A（﹣1，0）
∴点E（4，0），且点C（0，3）
∴直线CE解析式为：y=−34x+3，
∴﹣x2+2x+3=−34x+3，
∴x1＝0，x2=114，
∴点P坐标（114，1516）
（2）如图，过点C，点M，点N，分别作CE⊥GD，MF⊥GD，NH⊥GD，
∵y＝﹣x2+（m﹣1）x+m交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C，
∴点C（0，m），点A（﹣1，0），点B（m，0），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+m，（m＞0）
∵平移直线CB交抛物线于M，N两点，
∴BC∥MN，
∴设直线MN的解析式为：y＝﹣x+m+a，
∴﹣x+m+a＝﹣x2+（m﹣1）x+m
∴x=m±m2+4a2，
∴点M的横坐标为m−m2+4a2，点N的横坐标为m+m2+4a2，
∵CE⊥GD，MF⊥GD，NH⊥GD，BD⊥GD，
∴CE∥MF∥BD∥HN，
∴CEMF=CGGM，BDHN=GBGN，
∵BC∥MN，∴CGMG=GBGN，∴CEMF=BDNH，
∴11−m−m2+4a2=1m+m2+4a2−1
∴（m﹣2）（m+m2+4a）＝0，且m＞0，m+m2+4a＞0，
∴m﹣2＝0，
∴m＝2，
【例题精讲】2．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图2，已知点P是第四象限抛物线上的一点，且∠PAB＝2∠ACO，求点P的横坐标；
（3）如图3，点D为抛物线的顶点，直线y＝kx﹣k+2交抛物线于点E，F，过点E作y轴的平行线交FD的延长线于点P，求CP的最小值．
【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得0=4a+4a+bb=4，解得a=−12b=4，
故抛物线的表达式为y=−12x2+x+4①；
（2）在OB上取OR＝OA＝2，
则∠ACR＝2∠ACO＝∠PAB，
过点A作AK⊥CR于点K，设直线AP交y轴于点H，
则S△ACR=12×AR×CO=12×CR×AK，即12×4×4=12×22+42×AK，
解得AK=1620，则sin∠ACK=AKAC=162020=45，则tan∠ACK=43=tan∠BAP，
在Rt△AOH中，OH＝AO×tan∠BAP＝2×43=83，
由点A、H的坐标得，直线AP的表达式为y=−43x−83②；
联立①②并解得x=203，
故点P的横坐标为203；
（3）设点E、F的坐标分别为（m，−12m2+m+4）、（n，−12n2+n+4），
联立①与y＝kx﹣k+2并整理得：x2+（2k﹣2）x﹣（4+2k）＝0，
则m+n＝2﹣2k，mn＝﹣4﹣2k，
由抛物线的表达式知，点D（1，92），
由点D、F的坐标得，直线FD的表达式为y=−12（n﹣1）x+12n+4，
当x＝m时，y=−12（n﹣1）m+12n+4=−12mn+12（m+n）+4=−12（﹣4﹣2k）+12（2﹣2k）+4＝7，
故点P的坐标为（m，7），
则PC=m2+(7−4)2=m2+9≥3，
故PC的最小值为3．
【课后巩固】2．如图，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−12x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB上方抛物线上的点D，使得∠DBA＝2∠BAC，求D点的坐标；
（3）M是平面内一点，将△BOC绕点M逆时针旋转90°后，得到△B1O1C1，若△B1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点B1的坐标．
【解答】解：（1）y=12x+2，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，2），
把A、B的坐标代入y=−12x2+bx+c，得c=2−12×(−4)2−4b+c=0，
解得b=−32c=2，
∴抛物线的解析式为：y=−12x2−32x+2；
（2）取点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′，过点B作BD∥AB′交抛物线于点D，
∵B、B′关于x轴对称，
∴AB＝AB′，∠BAB′＝2∠BAC，
设AB′：y＝kx﹣2，
代入A（﹣4，0）得﹣4k﹣2＝0，解得k=−12，
则BD：y=−12x+2，
解y=−12x+2y=−12x2−32x+2得x1=0y1=2，x2=−2y2=3，
∴D（﹣2，3）．
（3）∵△BOC绕点M逆时针旋转90°，
∴B1O1∥x轴，O1C1∥y轴，
当B1、O1在抛物线上时，设B1的横坐标为x，则O1的横坐标为x+2，
∴−12x2−32x+2=−12（x+2）2−32（x+2）+2，
解得x=−52，
则B1（−52，218）；
当B1、C1在抛物线上时，设B1的横坐标为x，则C1的横坐标为x+2，
C1的纵坐标比B1的纵坐标大1，
∴−12x2−32x+2=−12（x+2）2−32（x+2）+2﹣1，解得x＝﹣3，
则B1（﹣3，2），
∴B1的坐标为（−52，218）或（﹣3，2）．
【例题精讲】3．如图1，抛物线G：y=−14x2+bx+c经过点B（6，0），顶点为A，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线G的解析式；
（2）若点C为直线AB上方的抛物线上的动点，当△ABC面积最大时，求C点的坐标；
（3）如图2，将抛物线G向左平移至顶点在y轴上，平移后的抛物线G'与x轴交于点E、F，平行于x轴的直线l经过点（0，8），若点P为x轴上方的抛物线G'上的动点，分别连接EP、FP，并延长交直线l于M、N两点，若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．
【解答】解：（1）由题意得：x=−b2×(−14)=20=−14×36+6b+c，解得b=1c=3，
故抛物线的表达式为y=−14x2+x+3；
（2）连接AC、BC，过点C作y轴的平行线交AB于点H，
设直线AB的表达式为y＝kx+t，则2k+t=46k+t=0，解得k=−1b=6，
故直线AB的表达式为y＝﹣x+6，
设C的坐标为（x，−14x2+x+3），则点H（x，﹣x+6），
设△ABC面积为S，则S＝S△CHA+S△CHB=12CH×OB=12×6×（−14x2+x+3+x﹣6）=−12（x﹣4）2+2，
故当x＝4时，△ABC面积最大，则点C（4，3）；
（3）当x＝2时，y=−14x2+x+3＝4，即抛物线G的顶点为（4，4），
则将抛物线G向左平移至顶点在y轴上，抛物线G′的表达式为y=−14x2+4，
令y=−14x2+4＝0，解得x＝±4，故点E、F的坐标分别为（﹣4，0）、（4，0），
设点P的坐标为（p，−14p2+4），
由点P、E的坐标得，直线PE的表达式为y=−14（p﹣4）（x+4），
当y＝8时，即y=−14（p﹣4）（x+4）＝8，解得x=−4(p+4)p−4=m，
同理可得：n=4(p−4)p+4，
故mn＝﹣16．
【课后巩固】3．已知抛物线y＝ax2经过点A（2，1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线l经过点A且与抛物线对称轴右侧交于点B，若△ABO的面积为6，求直线l的解析式；
（3）如图2，直线CD与抛物线交于C、D两点，与y轴交于点（0，m），直线PC、PD与抛物线均只有一个公共点，点P的纵坐标为n，求m与n的数量关系．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2经过点A（2，1）．
∴1＝4a，
解得a=14，
∴抛物线解析式为y=14x2；
（2）∵点A（2，1）．
∴直线OA为y=12x，
如图1，过B作BE∥OA交y轴于E，连接AE，则S△AOB＝S△AOE＝6，
∴12OE×2＝6，
∴OE＝6，
∴点E（0，6），
设直线BE为y=12x+6，
解y=12x+6y=14x2得x=6y=9或x=−4y=4，
∴B（6，9），
设直线l的解析式为y＝kx+b，
∴2k+b=16k+b=9，解得k=2b=−3，
∴直线l的解析式为y＝2x﹣3；
（3）设直线CD的解析式为y＝kx+m，
由y=kx+my=14x2去掉y整理得14x2﹣kx﹣m＝0．
设C、D的坐标分别为（xC，yC），（xD，yD），
∴xC•xD＝﹣4m，
设直线CP的解析式为y＝ax+c，
由y=ax+cy=14x2整理得，14x2﹣ax﹣c＝0．
∵CP与抛物线只有一个公共点，
∴△＝a2+c＝0，
∴c＝﹣a2，
∴14x2﹣ax+a2＝0，解得xC＝2a，
同理：设直线DP的解析式为y＝bx+d，可得xD＝2b，
∴2a•2b＝﹣4m，
∴ab＝﹣m，
联立y=ax+cy=bx+d，即y=ax−a2y=bx−b2，
解得x=a+by=ab，
∴P（a+b，ab），
∵点P的纵坐标为n，
∴n＝ab＝﹣m．
【例题精讲】4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）若A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
①求抛物线的解析式；
②若点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐标；
（2）若直线y＝bx+t（t＞c）与抛物线交于点M、点N（点M在对称轴左侧）．直线AM交y轴于点E，直线AN交y轴于点D．试说明点C是线段DE的中点．
【解答】解：（1）①将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得a−b+c=09a+3b+c=0c=−3，解得a=1b=−2c=−3，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
②当点P在CQ的右边时，设点P（m，0），如图，过点Q作QS⊥x轴于点S，
∵∠QPS+∠CPO＝90°，∠SQP+∠QPS＝90°，∴∠SQP＝∠CPO，
∵∠QSP＝∠POC＝90°，PQ＝PC，∴△PQS≌△CPO（AAS），
∴SQ＝OP＝m，SP＝OC＝3，∴SO＝3﹣m，则点Q（m﹣3，m），
将点Q的坐标代入抛物线表达式得：m＝（m﹣3）2﹣2（m﹣3）﹣3，解得m=9±332，
故点P的坐标为（9+332，0）或（9−332，0）．
当点P在CQ的左侧时，同法可得Q（m+3，﹣m），
将点Q的坐标代入抛物线表达式得：﹣m＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3，解得m＝0或﹣5，
∴P（0，0）或（﹣5，0）．
综上满足条件的点P的坐标为（9+332，0）或（9−332，0）或（0，0）或（﹣5，0）．
（2）设点A、M、N的坐标分别为（p，0）、（m，am2+bm+c）、（n，an2+bn+c），
由点A的坐标得：当x＝p时，y＝ax2+bx+c＝ap2+bp+c＝0，即c＝﹣ap2﹣bp，
联立y＝ax2+bx+c和y＝bx+t并整理得：ax2+c﹣t＝0，则m+n＝0，
设直线MN的表达式为y＝sx+q，则am2+bm+c=sm+qan2+bn+c=sn+q，解得s=am+an+bq=q，
即直线MN表达式中的k值为am+an+b，
同理直线AM表达式中的k值为am+ap+b，
则直线AM的表达式为y＝（am+ap+b）（x﹣p），令x＝0，则yE＝﹣p（am+ap+b），
同理可得AN表达式为y＝（an+ap+b）（x﹣p），令x＝0，则yD＝﹣p（an+ap+b），
则12（yD+yE）=−12p（am+an+2ap+2b）=−12p（0+2ap+2b）＝﹣ap2﹣bp＝c＝yC，
故点C是线段DE的中点．
【课后巩固】4．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2−2ax+32与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，D为线段AC的中点．
（1）如图1，求抛物线的顶点坐标和解析式；
（2）如图2，点P为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，设点P的横坐标为t，点Q的横坐标为m，求m与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接AP，过点C作CE⊥AP于点E，连接BE、CE分别交PQ于F、G两点，当点F是PG中点时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+32，
∴抛物线对称轴为x=−−2a2a=1，
∵抛物线的顶点为C，
∴点C的横坐标为1，
设点A（n，0）
∵直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．
∴12（1+n）＝0，
∴n＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵点A在抛物线y＝ax2﹣2ax+32上，
∴a+2a+32=0，
∴a=−12，
∴抛物线解析式为y=−12x2+x+32=12（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标C（1，2）；
（2）由（1）有，抛物线解析式为y=−12x2+x+32，
∵点x轴上的点B在抛物线上，
∴B（3，0），
∵直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．且A（﹣1，0），C（1，2），
∴D（0，1），
∵A（﹣1，0），C（1，2），
∴直线AC解析式为y＝x+1，
∵PQ⊥AC，
∴设直线PQ解析式为y＝﹣x+b，
∵设点P（t，−12t2+t+32），
∴直线PQ解析式为y＝﹣x−12t2+2t+32，
∵点Q在直线AC上，且点Q的横坐标为m，则y=m+1y=−m−12t2+2t+32，
∴m=−14t2+t+14；
（3）如图，连接DE，BD，BC，
∵CE⊥AP，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∵PQ⊥AC，
∴∠APQ+∠CAE＝90°，
∴∠ACE＝∠APQ，
∵∠CAE＝∠CAE
∴△ACE∽△APQ，
∴∠APQ＝∠ACE，
∵∠AEC＝90°，
∴DE＝AD＝CD，
∴∠ACE＝∠DEC，
∵∠CEP＝90°，
∴EF＝QF＝PF，
∴∠APQ＝∠PEF，
∴∠PEF＝∠APQ＝∠ACE＝∠CED，
∴∠CED+∠BEC＝∠PEF+∠BEC＝∠PEC＝90°，
∵点A（﹣1，0），D（0，1），
∴OA＝OD，
∴∠BAC＝45°
∵点A，B是抛物线与x轴的交点，点C是抛物线的顶点，
∴AC＝BC，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝90°
在Rt△BCD和Rt△BED中，
ED=DCBD=BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴∠BDC＝∠BDE，
∵DE＝DC，∴BD⊥CE，
∵AP⊥CE，∴AP∥BD，
∵B（3，0），D（0，1），∴直线BD解析式为y=−13x+1，
∵A（﹣1，0），∴直线AP解析式为y=−13x−13，
联立抛物线和直线AP解析式得，y=−13x−13y=−12x2+x+32，
解得x=113y=−149或x=−1y=0(舍去)，∴P（113，−149）．
【例题精讲】5．已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点为（0，0）．
（1）求b，c的值；
（2）如图1，若a＝1，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线PN⊥x轴交x轴于点N，交直线：y=12x+2于M点，设P点的横坐标为m，当2PM＝PN时，求m的值；
（3）如图2，点P（0，y0）为y轴正半轴上一定点，点A，B均为y轴右侧抛物线C上两动点，若∠APO＝∠BPy，求证：直线AB经过一个定点．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k＝ax2①，
故b＝0，c＝0；
（2）a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2，
设点P的坐标为P（m，m2），则点M（m，12m+2），
∵2PM＝PN，则|12m+2﹣m2|=12m2，
解得m=−17+12（舍去）或17+12或 43或﹣1（舍去），
故m=17+12或 43；
（3）作点A关于y轴的对称轴M，
∵抛物线关于y轴对称，故点M在抛物线上，连接MP，
∵∠MPO＝∠OPA＝∠BPy，故M、P、B三点共线，
设点A（p，ap2），则点M（﹣p，ap2），
设直线PM的表达式为y＝kx+b，则ap2=−pk+by0=b，解得k=y0−ap2pb=y0，
故直线PM的表达式为y=y0−ap2p+y0②，
联立①②并整理得：ax2+ap2−y0px﹣y0＝0，
则xB+xM=−ap2−y0ap，
即xB﹣p=−ap2−y0ap，则xB=y0ap，
将xB的值代入y＝ax2得，y=y02ap2，故点B的坐标为（y0ap，y02ap2），
由点B、A的坐标得，直线AB的表达式为y=y0+ap2px﹣y0，
当x＝0时，y＝﹣y0，
故直线AB恒过点（0，﹣y0）．
【课后巩固】5．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B两点，点C（6，4）在抛物线上．
（1）直接写出B点坐标： （4，0） ，抛物线解析式为 y=14x2−12x﹣2 （一般式）；
（2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标；
（3）如图2，直线y＝mx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OM•ON＝3，求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标．
【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得0=4a+4a+c4=36a−12a+c，解得a=14c=−2，
故抛物线的表达式为y=14x2−12x−2，
令y=14x2−12x−2=0，解得x＝4或﹣2，故点B的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0），y=14x2−12x−2；
（2）延长DC交x轴于点M，
∵∠DCA＝2∠CAB，
∴∠CAB＝∠CMA，
∴CA＝CM，
过点C作CQ⊥AM于点Q，
则QM＝AQ＝8，
∴点M坐标为（14，0），
由点C、M的坐标得，直线DM的解析式为：y=−12x+7，
由y=−12x+7y=14x2−12x−2得x1=−6y1=10或x2=6y2=4（舍去）
∴点D坐标为（﹣6，10）；
（3）设直线CE的表达式为y＝kx+b，将点C的坐标代入上式并解得b＝4﹣6k，
故直线CE解析式为：y＝kx﹣6k+4，
则点M（0，﹣6k+4），
由y=14x2−12x−2y=kx−6k+4得14x2−(12+k)x+6k−6=0，
∴xC+xE＝2+4k，
∴xE＝4k﹣4 ①，
同理设直线CF的解析式为：y＝tx﹣6t+4 则点N（0，﹣6t+4）即xF＝4t﹣4 ②，
由y=14x2−12x−2y=mx+n得14x2−(m+12)x−2−n=0，
∴xE+xF＝4m+2③，
xE•xF＝﹣8﹣4n④，
将①②代入③④得k+t=m+52kt=m−14n+1，
又OM•ON＝3，
∴（﹣6k+4）（6t﹣4）＝﹣36kt+24（k+t）﹣16＝3，
∴n=43m−59，
∴y=mx+n=mx+43m−59=m(x+43)−59，
当x=−43时，y=−59，
∴直线EF经过定点且定点坐标为(−43，−59)．
【例题精讲】6．如图，抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣1，0）、B（−13，−118）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若抛物线上第二象限内一点P满足S△PAO＝2S△PAB，求点P的坐标；
（3）如图2，直线y＝t（t＞0）交y轴于T，直线y＝kx﹣2+k交抛物线C、D两点，直线CO，DO分别交直线y＝t于M，N两点，若TM•TN＝8，求t的值．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得a−b=0a9−13b=−118，解得a=14b=14，
故抛物线的表达式为y=14x2+14x①；
（2）过点B作AP的平行线交OA于点C，连接PC，
∵BC∥PA，则S△CAP＝S△BPA，
而S△PAO＝2S△PAB，故点C是OA的中点，则点C（−12，0），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y=−13x−16，
则设直线AP的表达式为y=−13x+b，
将点A的坐标代入上式并解得b=−13，
故直线AP的表达式为y=−13x−13②，
联立①②并解得x=−43y=19（不合题意的值已舍去），
故点P的坐标为（−43，19）；
（3）设点C（m，14m2+14m），点D（n，14n2+14n），
由点C、O的坐标得，直线CO的表达式为y=14（m+1）x，
同理可得，DO的表达式为y=14（n+1）x，
由y＝t得，点M、N的坐标分别为（4tm+1，t）、（4tn+1，t），
联立①与y＝kx﹣2+k并整理得：14x2+（14−k）x+2﹣k＝0，
则m+n＝4k﹣1，mn＝8﹣4k，
则TM•TN＝（−4tm+1）（−4tn+1）=16t2mn+m+n+1=16t28−4k+4k−1+1+1=2t2＝8，
解得t＝﹣2（舍去）或2，
故t＝2．
【课后巩固】6．如图1，已知直线y＝a与抛物线y=14x2交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．
（1）若AB＝4，求a的值；
（2）若抛物线上存在点D（不与A、B重合），使CD=12AB，求a的取值范围；
（3）如图2，直线y＝kx+2与抛物线交于点E、F，点P是抛物线上的动点，延长PE、PF分别交直线y＝﹣2于M、N两点，MN交y轴于Q点，求QM•QN的值．
【解答】解：（1）在y=14x2中，
当AB＝4时，由抛物线的对称性可知，xA＝﹣2，xB＝2，
∴yA＝yB＝1，
∴a＝1；
（2）当y＝a时，14x2=a，
∴x＝±2a，
∴AB＝4a，
∴CD=12AB＝2a，
可设点D的坐标为（2m，m），
如图1，过点D作DH⊥y轴于H，
则在Rt△CDH中，CH2+DH2＝CD2，
∴（a﹣m）2+（2m）2＝（2a）2，
整理，得（m﹣a）（m﹣a+4）＝0，
∵m≠a，
∴m﹣a+4＝0，
即m＝a﹣4，
又∵m≥0，
∴a﹣4≥0，
∴a≥4；
（3）设E（x1，14x12），F（x2，14x22），P（n，14n2），
设直线PE的解析式为y＝mx+b，
则将P（n，14n2），E（x1，14x12）代入，
得nm+b=14n2x1m+b=14x12，
解得，m=14（n+x1），b=−14nx1，
∴yPE=14（n+x1）x−14nx1，
当y＝﹣2时，xM=nx1−8n+x1，
同理可求，yPF=14（n+x2）x−14nx2，xN=nx2−8n+x2，
联立y=14x2y=kx+2，
得，14x2﹣kx﹣2＝0，
∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8，
∴QM•QN＝﹣xM•xN=−nx1−8n+x1•nx2−8n+x2=−n2x1x2−8n(x1+x2)+64n2+n(x1+x2)+x1x2=8n2+8n×4k−64n2+4nk−8=8．
2021-2022学年度九上数学培优讲义（八）二次函数综合题（一）
【例题精讲】
1．如图1，抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，P为x轴下方抛物线上一点，若OC＝2OA＝4．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，若∠ABP＝∠ACO，求点P的坐标；
（3）如图3，点P的横坐标为1，过点P作PE⊥PF，分别交抛物线于点E，F．求点A到直线EF距离的最大值．
【解答】解：（1）∵CO＝4，故c＝﹣4，则抛物线的表达式为y＝ax2﹣4，
∵OC＝2OA＝4，故点A（﹣2，0），则0＝4a﹣4，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4；
（2）过点A作x轴的垂线交BP的延长线于点Q，
在△BAQ和△COA中，
AB=OC=4∠QAB=∠BOC=90°∠ABP=∠ACO，
∴△BAQ≌△COA（AAS），
∴AQ＝OA＝2，
∴Q（﹣2，﹣2），
由点B、Q的坐标得，直线BQ解析式为y=12x﹣1，
联立y=12x−1y=x2−4，
解得x1＝2（舍去），x2=−32，
∴P（−32，−74）；
（3）设E（x1，x12﹣4），F（x2，x22﹣4），P（1，﹣3），
由点P、E的坐标得，yPE＝（x1+1）x﹣4﹣x1，
同理可得yPF＝（x2+1）x﹣4﹣x2，
又∵PE⊥PF，
∴（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+x1+x2+1＝﹣1，
x1x2＝﹣2﹣（x1+x2）（这里可以构造三垂模型如图3，利用相似三角形的性质得到）．
同理可得EF的解析式为：yEF＝（x1+x2）x﹣4﹣x1x2，
∴yEF＝（x1+x2）x﹣4+2+（x1+x2）＝（x1+x2）（x+1）﹣2，
∴直线EF恒过定点（﹣1，﹣2），设该点为R，
连接点AR，则AR为点A到直线EF距离的最大值，
∴AR=(−2+1)2+22=5．
【课后巩固】1．抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C．
（1）如图1，当m＝3时．
①直接写出点A，B，C的坐标；
②若抛物线上有一点P，使∠ACP＝∠BAC，求点P的坐标；
（2）如图2，平移直线CB交抛物线于M，N两点，直线MC与直线NB交于点G，若点G在定直线x＝1上运动，求m的值．
【解答】解：（1）①当m＝3时，y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，则点C（0，3），
当y＝0时，0＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
②如图1，延长CP交x轴于点E，作DE⊥AC，
∵点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴OA＝1，OC＝3，
∴AC=OA2+OC2=1+9=10，
∵∠ACP＝∠BAC，
∴AE＝CE，且DE⊥AC，
∴AD＝CD=102，
∵∠CAO＝∠CAO，∠AOC＝∠ADE＝90°，
∴△ACO∽△AED，
∴AOAD=ACAE，
∴AE＝5，且点A（﹣1，0）
∴点E（4，0），且点C（0，3）
∴直线CE解析式为：y=−34x+3，
∴﹣x2+2x+3=−34x+3，
∴x1＝0，x2=114，
∴点P坐标（114，1516）
（2）如图，过点C，点M，点N，分别作CE⊥GD，MF⊥GD，NH⊥GD，
∵y＝﹣x2+（m﹣1）x+m交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C，
∴点C（0，m），点A（﹣1，0），点B（m，0），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+m，（m＞0）
∵平移直线CB交抛物线于M，N两点，
∴BC∥MN，
∴设直线MN的解析式为：y＝﹣x+m+a，
∴﹣x+m+a＝﹣x2+（m﹣1）x+m
∴x=m±m2+4a2，
∴点M的横坐标为m−m2+4a2，点N的横坐标为m+m2+4a2，
∵CE⊥GD，MF⊥GD，NH⊥GD，BD⊥GD，
∴CE∥MF∥BD∥HN，
∴CEMF=CGGM，BDHN=GBGN，
∵BC∥MN，∴CGMG=GBGN，∴CEMF=BDNH，
∴11−m−m2+4a2=1m+m2+4a2−1
∴（m﹣2）（m+m2+4a）＝0，且m＞0，m+m2+4a＞0，
∴m﹣2＝0，
∴m＝2，
【例题精讲】2．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图2，已知点P是第四象限抛物线上的一点，且∠PAB＝2∠ACO，求点P的横坐标；
（3）如图3，点D为抛物线的顶点，直线y＝kx﹣k+2交抛物线于点E，F，过点E作y轴的平行线交FD的延长线于点P，求CP的最小值．
【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得0=4a+4a+bb=4，解得a=−12b=4，
故抛物线的表达式为y=−12x2+x+4①；
（2）在OB上取OR＝OA＝2，
则∠ACR＝2∠ACO＝∠PAB，
过点A作AK⊥CR于点K，设直线AP交y轴于点H，
则S△ACR=12×AR×CO=12×CR×AK，即12×4×4=12×22+42×AK，
解得AK=1620，则sin∠ACK=AKAC=162020=45，则tan∠ACK=43=tan∠BAP，
在Rt△AOH中，OH＝AO×tan∠BAP＝2×43=83，
由点A、H的坐标得，直线AP的表达式为y=−43x−83②；
联立①②并解得x=203，
故点P的横坐标为203；
（3）设点E、F的坐标分别为（m，−12m2+m+4）、（n，−12n2+n+4），
联立①与y＝kx﹣k+2并整理得：x2+（2k﹣2）x﹣（4+2k）＝0，
则m+n＝2﹣2k，mn＝﹣4﹣2k，
由抛物线的表达式知，点D（1，92），
由点D、F的坐标得，直线FD的表达式为y=−12（n﹣1）x+12n+4，
当x＝m时，y=−12（n﹣1）m+12n+4=−12mn+12（m+n）+4=−12（﹣4﹣2k）+12（2﹣2k）+4＝7，
故点P的坐标为（m，7），
则PC=m2+(7−4)2=m2+9≥3，
故PC的最小值为3．
【课后巩固】2．如图，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−12x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB上方抛物线上的点D，使得∠DBA＝2∠BAC，求D点的坐标；
（3）M是平面内一点，将△BOC绕点M逆时针旋转90°后，得到△B1O1C1，若△B1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点B1的坐标．
【解答】解：（1）y=12x+2，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，2），
把A、B的坐标代入y=−12x2+bx+c，得c=2−12×(−4)2−4b+c=0，
解得b=−32c=2，
∴抛物线的解析式为：y=−12x2−32x+2；
（2）取点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′，过点B作BD∥AB′交抛物线于点D，
∵B、B′关于x轴对称，
∴AB＝AB′，∠BAB′＝2∠BAC，
设AB′：y＝kx﹣2，
代入A（﹣4，0）得﹣4k﹣2＝0，解得k=−12，
则BD：y=−12x+2，
解y=−12x+2y=−12x2−32x+2得x1=0y1=2，x2=−2y2=3，
∴D（﹣2，3）．
（3）∵△BOC绕点M逆时针旋转90°，
∴B1O1∥x轴，O1C1∥y轴，
当B1、O1在抛物线上时，设B1的横坐标为x，则O1的横坐标为x+2，
∴−12x2−32x+2=−12（x+2）2−32（x+2）+2，
解得x=−52，
则B1（−52，218）；
当B1、C1在抛物线上时，设B1的横坐标为x，则C1的横坐标为x+2，
C1的纵坐标比B1的纵坐标大1，
∴−12x2−32x+2=−12（x+2）2−32（x+2）+2﹣1，解得x＝﹣3，
则B1（﹣3，2），
∴B1的坐标为（−52，218）或（﹣3，2）．
【例题精讲】3．如图1，抛物线G：y=−14x2+bx+c经过点B（6，0），顶点为A，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线G的解析式；
（2）若点C为直线AB上方的抛物线上的动点，当△ABC面积最大时，求C点的坐标；
（3）如图2，将抛物线G向左平移至顶点在y轴上，平移后的抛物线G'与x轴交于点E、F，平行于x轴的直线l经过点（0，8），若点P为x轴上方的抛物线G'上的动点，分别连接EP、FP，并延长交直线l于M、N两点，若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．
【解答】解：（1）由题意得：x=−b2×(−14)=20=−14×36+6b+c，解得b=1c=3，
故抛物线的表达式为y=−14x2+x+3；
（2）连接AC、BC，过点C作y轴的平行线交AB于点H，
设直线AB的表达式为y＝kx+t，则2k+t=46k+t=0，解得k=−1b=6，
故直线AB的表达式为y＝﹣x+6，
设C的坐标为（x，−14x2+x+3），则点H（x，﹣x+6），
设△ABC面积为S，则S＝S△CHA+S△CHB=12CH×OB=12×6×（−14x2+x+3+x﹣6）=−12（x﹣4）2+2，
故当x＝4时，△ABC面积最大，则点C（4，3）；
（3）当x＝2时，y=−14x2+x+3＝4，即抛物线G的顶点为（4，4），
则将抛物线G向左平移至顶点在y轴上，抛物线G′的表达式为y=−14x2+4，
令y=−14x2+4＝0，解得x＝±4，故点E、F的坐标分别为（﹣4，0）、（4，0），
设点P的坐标为（p，−14p2+4），
由点P、E的坐标得，直线PE的表达式为y=−14（p﹣4）（x+4），
当y＝8时，即y=−14（p﹣4）（x+4）＝8，解得x=−4(p+4)p−4=m，
同理可得：n=4(p−4)p+4，
故mn＝﹣16．
【课后巩固】3．已知抛物线y＝ax2经过点A（2，1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线l经过点A且与抛物线对称轴右侧交于点B，若△ABO的面积为6，求直线l的解析式；
（3）如图2，直线CD与抛物线交于C、D两点，与y轴交于点（0，m），直线PC、PD与抛物线均只有一个公共点，点P的纵坐标为n，求m与n的数量关系．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2经过点A（2，1）．
∴1＝4a，
解得a=14，
∴抛物线解析式为y=14x2；
（2）∵点A（2，1）．
∴直线OA为y=12x，
如图1，过B作BE∥OA交y轴于E，连接AE，则S△AOB＝S△AOE＝6，
∴12OE×2＝6，
∴OE＝6，
∴点E（0，6），
设直线BE为y=12x+6，
解y=12x+6y=14x2得x=6y=9或x=−4y=4，
∴B（6，9），
设直线l的解析式为y＝kx+b，
∴2k+b=16k+b=9，解得k=2b=−3，
∴直线l的解析式为y＝2x﹣3；
（3）设直线CD的解析式为y＝kx+m，
由y=kx+my=14x2去掉y整理得14x2﹣kx﹣m＝0．
设C、D的坐标分别为（xC，yC），（xD，yD），
∴xC•xD＝﹣4m，
设直线CP的解析式为y＝ax+c，
由y=ax+cy=14x2整理得，14x2﹣ax﹣c＝0．
∵CP与抛物线只有一个公共点，
∴△＝a2+c＝0，
∴c＝﹣a2，
∴14x2﹣ax+a2＝0，解得xC＝2a，
同理：设直线DP的解析式为y＝bx+d，可得xD＝2b，
∴2a•2b＝﹣4m，
∴ab＝﹣m，
联立y=ax+cy=bx+d，即y=ax−a2y=bx−b2，
解得x=a+by=ab，
∴P（a+b，ab），
∵点P的纵坐标为n，
∴n＝ab＝﹣m．
【例题精讲】4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）若A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
①求抛物线的解析式；
②若点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐标；
（2）若直线y＝bx+t（t＞c）与抛物线交于点M、点N（点M在对称轴左侧）．直线AM交y轴于点E，直线AN交y轴于点D．试说明点C是线段DE的中点．
【解答】解：（1）①将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得a−b+c=09a+3b+c=0c=−3，解得a=1b=−2c=−3，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
②当点P在CQ的右边时，设点P（m，0），如图，过点Q作QS⊥x轴于点S，
∵∠QPS+∠CPO＝90°，∠SQP+∠QPS＝90°，∴∠SQP＝∠CPO，
∵∠QSP＝∠POC＝90°，PQ＝PC，∴△PQS≌△CPO（AAS），
∴SQ＝OP＝m，SP＝OC＝3，∴SO＝3﹣m，则点Q（m﹣3，m），
将点Q的坐标代入抛物线表达式得：m＝（m﹣3）2﹣2（m﹣3）﹣3，解得m=9±332，
故点P的坐标为（9+332，0）或（9−332，0）．
当点P在CQ的左侧时，同法可得Q（m+3，﹣m），
将点Q的坐标代入抛物线表达式得：﹣m＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3，解得m＝0或﹣5，
∴P（0，0）或（﹣5，0）．
综上满足条件的点P的坐标为（9+332，0）或（9−332，0）或（0，0）或（﹣5，0）．
（2）设点A、M、N的坐标分别为（p，0）、（m，am2+bm+c）、（n，an2+bn+c），
由点A的坐标得：当x＝p时，y＝ax2+bx+c＝ap2+bp+c＝0，即c＝﹣ap2﹣bp，
联立y＝ax2+bx+c和y＝bx+t并整理得：ax2+c﹣t＝0，则m+n＝0，
设直线MN的表达式为y＝sx+q，则am2+bm+c=sm+qan2+bn+c=sn+q，解得s=am+an+bq=q，
即直线MN表达式中的k值为am+an+b，
同理直线AM表达式中的k值为am+ap+b，
则直线AM的表达式为y＝（am+ap+b）（x﹣p），令x＝0，则yE＝﹣p（am+ap+b），
同理可得AN表达式为y＝（an+ap+b）（x﹣p），令x＝0，则yD＝﹣p（an+ap+b），
则12（yD+yE）=−12p（am+an+2ap+2b）=−12p（0+2ap+2b）＝﹣ap2﹣bp＝c＝yC，
故点C是线段DE的中点．
【课后巩固】4．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2−2ax+32与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，D为线段AC的中点．
（1）如图1，求抛物线的顶点坐标和解析式；
（2）如图2，点P为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，设点P的横坐标为t，点Q的横坐标为m，求m与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接AP，过点C作CE⊥AP于点E，连接BE、CE分别交PQ于F、G两点，当点F是PG中点时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+32，
∴抛物线对称轴为x=−−2a2a=1，
∵抛物线的顶点为C，
∴点C的横坐标为1，
设点A（n，0）
∵直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．
∴12（1+n）＝0，
∴n＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵点A在抛物线y＝ax2﹣2ax+32上，
∴a+2a+32=0，
∴a=−12，
∴抛物线解析式为y=−12x2+x+32=12（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标C（1，2）；
（2）由（1）有，抛物线解析式为y=−12x2+x+32，
∵点x轴上的点B在抛物线上，
∴B（3，0），
∵直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．且A（﹣1，0），C（1，2），
∴D（0，1），
∵A（﹣1，0），C（1，2），
∴直线AC解析式为y＝x+1，
∵PQ⊥AC，
∴设直线PQ解析式为y＝﹣x+b，
∵设点P（t，−12t2+t+32），
∴直线PQ解析式为y＝﹣x−12t2+2t+32，
∵点Q在直线AC上，且点Q的横坐标为m，则y=m+1y=−m−12t2+2t+32，
∴m=−14t2+t+14；
（3）如图，连接DE，BD，BC，
∵CE⊥AP，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∵PQ⊥AC，
∴∠APQ+∠CAE＝90°，
∴∠ACE＝∠APQ，
∵∠CAE＝∠CAE
∴△ACE∽△APQ，
∴∠APQ＝∠ACE，
∵∠AEC＝90°，
∴DE＝AD＝CD，
∴∠ACE＝∠DEC，
∵∠CEP＝90°，
∴EF＝QF＝PF，
∴∠APQ＝∠PEF，
∴∠PEF＝∠APQ＝∠ACE＝∠CED，
∴∠CED+∠BEC＝∠PEF+∠BEC＝∠PEC＝90°，
∵点A（﹣1，0），D（0，1），
∴OA＝OD，
∴∠BAC＝45°
∵点A，B是抛物线与x轴的交点，点C是抛物线的顶点，
∴AC＝BC，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝90°
在Rt△BCD和Rt△BED中，
ED=DCBD=BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴∠BDC＝∠BDE，
∵DE＝DC，∴BD⊥CE，
∵AP⊥CE，∴AP∥BD，
∵B（3，0），D（0，1），∴直线BD解析式为y=−13x+1，
∵A（﹣1，0），∴直线AP解析式为y=−13x−13，
联立抛物线和直线AP解析式得，y=−13x−13y=−12x2+x+32，
解得x=113y=−149或x=−1y=0(舍去)，∴P（113，−149）．
【例题精讲】5．已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点为（0，0）．
（1）求b，c的值；
（2）如图1，若a＝1，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线PN⊥x轴交x轴于点N，交直线：y=12x+2于M点，设P点的横坐标为m，当2PM＝PN时，求m的值；
（3）如图2，点P（0，y0）为y轴正半轴上一定点，点A，B均为y轴右侧抛物线C上两动点，若∠APO＝∠BPy，求证：直线AB经过一个定点．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k＝ax2①，
故b＝0，c＝0；
（2）a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2，
设点P的坐标为P（m，m2），则点M（m，12m+2），
∵2PM＝PN，则|12m+2﹣m2|=12m2，
解得m=−17+12（舍去）或17+12或 43或﹣1（舍去），
故m=17+12或 43；
（3）作点A关于y轴的对称轴M，
∵抛物线关于y轴对称，故点M在抛物线上，连接MP，
∵∠MPO＝∠OPA＝∠BPy，故M、P、B三点共线，
设点A（p，ap2），则点M（﹣p，ap2），
设直线PM的表达式为y＝kx+b，则ap2=−pk+by0=b，解得k=y0−ap2pb=y0，
故直线PM的表达式为y=y0−ap2p+y0②，
联立①②并整理得：ax2+ap2−y0px﹣y0＝0，
则xB+xM=−ap2−y0ap，
即xB﹣p=−ap2−y0ap，则xB=y0ap，
将xB的值代入y＝ax2得，y=y02ap2，故点B的坐标为（y0ap，y02ap2），
由点B、A的坐标得，直线AB的表达式为y=y0+ap2px﹣y0，
当x＝0时，y＝﹣y0，
故直线AB恒过点（0，﹣y0）．
【课后巩固】5．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B两点，点C（6，4）在抛物线上．
（1）直接写出B点坐标： （4，0） ，抛物线解析式为 y=14x2−12x﹣2 （一般式）；
（2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标；
（3）如图2，直线y＝mx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OM•ON＝3，求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标．
【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得0=4a+4a+c4=36a−12a+c，解得a=14c=−2，
故抛物线的表达式为y=14x2−12x−2，
令y=14x2−12x−2=0，解得x＝4或﹣2，故点B的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0），y=14x2−12x−2；
（2）延长DC交x轴于点M，
∵∠DCA＝2∠CAB，
∴∠CAB＝∠CMA，
∴CA＝CM，
过点C作CQ⊥AM于点Q，
则QM＝AQ＝8，
∴点M坐标为（14，0），
由点C、M的坐标得，直线DM的解析式为：y=−12x+7，
由y=−12x+7y=14x2−12x−2得x1=−6y1=10或x2=6y2=4（舍去）
∴点D坐标为（﹣6，10）；
（3）设直线CE的表达式为y＝kx+b，将点C的坐标代入上式并解得b＝4﹣6k，
故直线CE解析式为：y＝kx﹣6k+4，
则点M（0，﹣6k+4），
由y=14x2−12x−2y=kx−6k+4得14x2−(12+k)x+6k−6=0，
∴xC+xE＝2+4k，
∴xE＝4k﹣4 ①，
同理设直线CF的解析式为：y＝tx﹣6t+4 则点N（0，﹣6t+4）即xF＝4t﹣4 ②，
由y=14x2−12x−2y=mx+n得14x2−(m+12)x−2−n=0，
∴xE+xF＝4m+2③，
xE•xF＝﹣8﹣4n④，
将①②代入③④得k+t=m+52kt=m−14n+1，
又OM•ON＝3，
∴（﹣6k+4）（6t﹣4）＝﹣36kt+24（k+t）﹣16＝3，
∴n=43m−59，
∴y=mx+n=mx+43m−59=m(x+43)−59，
当x=−43时，y=−59，
∴直线EF经过定点且定点坐标为(−43，−59)．
【例题精讲】6．如图，抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣1，0）、B（−13，−118）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若抛物线上第二象限内一点P满足S△PAO＝2S△PAB，求点P的坐标；
（3）如图2，直线y＝t（t＞0）交y轴于T，直线y＝kx﹣2+k交抛物线C、D两点，直线CO，DO分别交直线y＝t于M，N两点，若TM•TN＝8，求t的值．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得a−b=0a9−13b=−118，解得a=14b=14，
故抛物线的表达式为y=14x2+14x①；
（2）过点B作AP的平行线交OA于点C，连接PC，
∵BC∥PA，则S△CAP＝S△BPA，
而S△PAO＝2S△PAB，故点C是OA的中点，则点C（−12，0），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y=−13x−16，
则设直线AP的表达式为y=−13x+b，
将点A的坐标代入上式并解得b=−13，
故直线AP的表达式为y=−13x−13②，
联立①②并解得x=−43y=19（不合题意的值已舍去），
故点P的坐标为（−43，19）；
（3）设点C（m，14m2+14m），点D（n，14n2+14n），
由点C、O的坐标得，直线CO的表达式为y=14（m+1）x，
同理可得，DO的表达式为y=14（n+1）x，
由y＝t得，点M、N的坐标分别为（4tm+1，t）、（4tn+1，t），
联立①与y＝kx﹣2+k并整理得：14x2+（14−k）x+2﹣k＝0，
则m+n＝4k﹣1，mn＝8﹣4k，
则TM•TN＝（−4tm+1）（−4tn+1）=16t2mn+m+n+1=16t28−4k+4k−1+1+1=2t2＝8，
解得t＝﹣2（舍去）或2，
故t＝2．
【课后巩固】6．如图1，已知直线y＝a与抛物线y=14x2交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．
（1）若AB＝4，求a的值；
（2）若抛物线上存在点D（不与A、B重合），使CD=12AB，求a的取值范围；
（3）如图2，直线y＝kx+2与抛物线交于点E、F，点P是抛物线上的动点，延长PE、PF分别交直线y＝﹣2于M、N两点，MN交y轴于Q点，求QM•QN的值．
【解答】解：（1）在y=14x2中，
当AB＝4时，由抛物线的对称性可知，xA＝﹣2，xB＝2，
∴yA＝yB＝1，
∴a＝1；
（2）当y＝a时，14x2=a，
∴x＝±2a，
∴AB＝4a，
∴CD=12AB＝2a，
可设点D的坐标为（2m，m），
如图1，过点D作DH⊥y轴于H，
则在Rt△CDH中，CH2+DH2＝CD2，
∴（a﹣m）2+（2m）2＝（2a）2，
整理，得（m﹣a）（m﹣a+4）＝0，
∵m≠a，
∴m﹣a+4＝0，
即m＝a﹣4，
又∵m≥0，
∴a﹣4≥0，
∴a≥4；
（3）设E（x1，14x12），F（x2，14x22），P（n，14n2），
设直线PE的解析式为y＝mx+b，
则将P（n，14n2），E（x1，14x12）代入，
得nm+b=14n2x1m+b=14x12，
解得，m=14（n+x1），b=−14nx1，
∴yPE=14（n+x1）x−14nx1，
当y＝﹣2时，xM=nx1−8n+x1，
同理可求，yPF=14（n+x2）x−14nx2，xN=nx2−8n+x2，
联立y=14x2y=kx+2，
得，14x2﹣kx﹣2＝0，
∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8，
∴QM•QN＝﹣xM•xN=−nx1−8n+x1•nx2−8n+x2=−n2x1x2−8n(x1+x2)+64n2+n(x1+x2)+x1x2=8n2+8n×4k−64n2+4nk−8=8．
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