高中数学人教版新课标A必修12.1.2指数函数及其性质教案设计

2.1.2（3）指数函数（教学设计）

内容：复合函数的单调性

教学目标

1. 理解指数函数的单调性的应用

2.理解掌握复合函数的单调性。

教学重点与难点：

重点：复合函数的单调性。

难点：函数值域的求解。

教学过程：

一、复习回顾，新课引入：

问1：对于指数函数，你认为需要注意哪些方面？

答：（1）底数的取值有范围限制：且；

（2）有些函数貌似指数函数，实际上却不是．例如（且，），（且，）．

有些函数看起来不像是指数函数，实际上却是．例如（且）．

形如（且，）的函数是一种指数型函数，上节课我们遇到的（）模型，就是此类型．

（3）指数函数从大的来说按照底数分为两类：和．不要混淆这两类函数的性质．

（4）函数的图象与（且）的图象关于轴对称，这是因为点与点关于轴对称．根据这种对称性就可以通过函数的图象得到的图象．

（5）利用指数函数的概念和性质比较大小，解决的方法主要是：抓底看增减进行比较．对于一般的字母底数要运用分类讨论的思想解决问题．

二、师生互动，新课讲解：

例1（课本P57例8）截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

变式训练1：（课本P59习题2.1 A组NO：6）一种产品的产量原来是a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上一年增加p%，写出产量y随年数x变化的函数解析式。

例2求函数的单调区间，并证明

解：设

  则

  ∵       ∴

  当时， 这时

  即   ∴，函数单调递增

  当时， 这时

  即   ∴，函数单调递减

  ∴函数y在上单调递增，在上单调递减。

解法二、（用复合函数的单调性）：

设：  则：

对任意的，有，又∵是减函数

∴  ∴在是减函数

对任意的，有，又∵是减函数

∴  ∴在是增函数

归纳：复合函数的单调性：（同增异减）

变式训练2：根据复合函数的单调性，求下列函数的单调区间

（1）；（2）；（3）

例3：求下列函数的值域：

（1）；（2）

变式训练3：求函数的定义域与值域。

解：要使函数有意义，必须  即

  ∵     ∴

  又∵     ∴值域为

三、课堂小结，巩固反思：

1、函数模型的建立。

2、复合函数的单调性

四、布置作业：

A组：

1． 函数y＝的值域是  (　　)

A．R       B．(0，＋∞)      C．(2，＋∞)    D.

答案　D解析　∵－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，∴－x2＋2x≥，故选D.

2、(tb0113813)求函数y=()的单调区间。

解：减区间：，增区间：[-2，+

3、  求函数的单调区间。

B组：

1、（课本P59习题2.1 B组 NO：3）

2、求函数f(x)＝3的定义域、值域及其单调区间．

思维启迪：对于和指数函数的图像、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手．

(1)答案　D

解析　由f(x)＝ax－b的图像可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图像是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.

(2)解　依题意x2－5x＋4≥0，解得x≥4或x≤1，

∴f(x)的定义域是(－∞，1]∪[4，＋∞)．

∵≥0，∴f(x)＝3≥30＝1，

∴函数f(x)的值域是[1，＋∞)．

令u＝＝，x∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，

∴当x∈(－∞，1]时，u是减函数，

当x∈[4，＋∞)时，u是增函数．

而3>1，∴由复合函数的单调性，可知f(x)＝3在(－∞，1]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数．