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人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系学案设计
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系学案设计，共10页。学案主要包含了课程标准，知识要点归纳，经典例题，当堂检测等内容，欢迎下载使用。
1.2集合间的基本关系
【课程标准】
1. 理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集；
2. 能用符号和Venn图表示集合间的关系；
3. 掌握列举有限集的所有子集的方法，掌握规律。
【知识要点归纳】
1．子集
（1）定义：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中 所有 元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作(或)，读作“ A包含于B ”(或“ B包含A ”)。
2.集合相等
定义：如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，
此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作 A=B
3.真子集
（1）定义：如果A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作(或)．
4.空集
5.venn图
4.子集与真子集个数与元素关系（举例说明）
总结
【经典例题】
例1 (1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；
⑥0＝{0}．
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
跟踪训练：若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是( )
A．M T B．M⊆T C．M＝T D．M ∈T
用 Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．
例2 (1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为( )
A．－2 B．4 C．0 D．以上答案都不是
[跟踪训练]
(1)已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)若集合A {1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．
例12 已知集合A＝{x|a
[跟踪训练] 设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝eq \f(1,5)，试判定集合A与B的关系；
(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．
例4 已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}且A＝B，求x，y的值．
注意：集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解．
[跟踪训练] 含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2，a＋b,0}，求a.，b.
【当堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．已知集合M的非空子集的个数是7，则集合M中的元素的个数是（ ）
A．3B．4C．2D．5
2．已知集合A＝{x|a≤x＜3}，B＝[1，+∞），若A是B的子集，则实数a取值范围为（ ）
A．[0，3）B．[1，3）C．[0，+∞）D．[1，+∞）
3．下列关系正确的是（ ）
A．{0}∈{0，1，2}B．{0，1}≠{1，0}C．{0，1}⊆{（0，1）}D．∅⊆{0，1}
4．集合M＝{y|y＝，x∈N，y∈N}的非空子集个数是（ ）
A．3B．7C．15D．31
二．填空题（共2小题）
5．已知集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为 ．
6．已知A＝{x||2x﹣3|＜a}，B＝{x||x|≤10}，且A⫋B，则实数a的取值范围是 ．
三．解答题（共1小题）
7．已知y＝x2﹣2mx+1，m为常数．
（1）若y≤0的解集为空集，求m的取值范围．
（2）若A＝{x|1≤x≤2}是B＝{x|x2﹣2mx+1≤0}的子集，求m的取值范围．
当堂检测答案
一．选择题（共4小题）
1．已知集合M的非空子集的个数是7，则集合M中的元素的个数是（ ）
A．3B．4C．2D．5
【分析】若集合M中有n个元素，则集合M的非空子集的个数是2n﹣1．
【解答】解：设集合M中有n个元素，
∵集合M的非空子集的个数是7，
∴2n﹣1＝7，解得n＝3，
∴集合M中元素的个数是3．
故选：A．
【点评】本题考查集合元素个数的求法，考查子集、真子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．已知集合A＝{x|a≤x＜3}，B＝[1，+∞），若A是B的子集，则实数a取值范围为（ ）
A．[0，3）B．[1，3）C．[0，+∞）D．[1，+∞）
【分析】根据条件讨论A是否为空集：A＝∅时，a≥3；A≠∅时，，解出a的范围即可．
【解答】解：∵A＝{x|a≤x＜3}，B＝[1，+∞），且A⊆B，
∴①A＝∅时，a≥3；
②A≠∅时，，解得1≤a＜3，
∴综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了子集的定义，描述法、区间的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．
3．下列关系正确的是（ ）
A．{0}∈{0，1，2}B．{0，1}≠{1，0}C．{0，1}⊆{（0，1）}D．∅⊆{0，1}
【分析】根据集合元素与集合属于关系的定义，可判断A，根据集合元素的无序性及集合相等的定义可判断B，根据集合与集合的关系可判断C，根据空集的定义，可判断D．
【解答】解：A，“∈”用于表示集合与元素的关系，故：{0}∈{0，1，2}错误；
B，根据集合元素的无序性，可得{0，1}＝{1，0}，故B错误；
C，集合{（0，1）}中只有一个元素（0，1），集合{0，1}中有两个元素0，1，故C错误；
D，空集是任一集合的子集，故∅⊆{0，1}正确．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系，空集的性质及集合相等的概念，熟练掌握集合的基本概念及性质是解答本题的关键．
4．集合M＝{y|y＝，x∈N，y∈N}的非空子集个数是（ ）
A．3B．7C．15D．31
【分析】分别找出适合条件的变量y，求出相应的x值，则集合的元素可求，从而求出集合的非空子集．
【解答】解：∵M＝{y|y＝，x∈N，y∈N}，
∴y＝1，2，4，8，
对应的x＝7，3，1，0，
即满足条件的y有4种情况，
故M＝{1，2，4，8}．
∴M的非空子集个数是：24﹣1＝15，
故选：C．
【点评】本题考查了子集，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个，此题是基础题．
二．填空题（共2小题）
5．已知集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为 {0，1，﹣1} ．
【分析】由集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，说明集合中元素只有一个，同理讨论二次项系数与0的关系，结合根与系数得到关系求m．
【解答】解：由题意，①当m＝0时，方程为﹣2x＝0，解得x＝0，满足A＝{0}仅有两个子集；
②当m≠0时，方程有两个相等实根，所以△＝4﹣4m2＝0，解得m＝±1；
所以实数m的取值构成的集合为：{0，1，﹣1}．
故答案为：{0，1，﹣1}．
【点评】本题考查集合的求法，考查子集与真子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．已知A＝{x||2x﹣3|＜a}，B＝{x||x|≤10}，且A⫋B，则实数a的取值范围是 （﹣∞，17] ．
【分析】根据题意，可得B，分两种情况讨论A包含于B时a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，易得B＝{x|﹣10≤x≤10}，
若A是B的真子集，分两种情况讨论：
当a≤0时，A＝∅，此时A包含于B；
当a＞0时，|2x﹣3|＜a⇒＜x＜，
若A包含于B，则有⇒a≤17，
a的取值范围为（0，17]；
故答案为：（﹣∞，17]．
【点评】本题考查集合间的相互包含关系及运算，应特别注意不能忽略对空集这一情况的讨论，属于基础题．
三．解答题（共1小题）
7．已知y＝x2﹣2mx+1，m为常数．
（1）若y≤0的解集为空集，求m的取值范围．
（2）若A＝{x|1≤x≤2}是B＝{x|x2﹣2mx+1≤0}的子集，求m的取值范围．
【分析】（1）利用△＜0即可求出m的取值范围；
（2）函数f（x）＝x2﹣2mx+1，利用二次函数根的分布列出不等式组，解出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵y≤0的解集为空集，
∴△＝（﹣2m）2﹣4＜0，
解得：﹣1＜m＜1，
所以m的取值范围为：（﹣1，1）．
（2）设函数f（x）＝x2﹣2mx+1，
∵A＝{x|1≤x≤2}是B＝{x|x2﹣2mx+1≤0}的子集，
∴，解得：，
所以m的取值范围为：[，+∞）．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式，考查了集合间的基本关系，以及二次函数根的分布问题，是中档题．
定义
符号
符号
数轴
Venn图
子集
集合相等
真子集
1.2集合间的基本关系
【课程标准】
1. 理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集；
2. 能用符号和Venn图表示集合间的关系；
3. 掌握列举有限集的所有子集的方法，掌握规律。
【知识要点归纳】
1．子集
（1）定义：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中 所有 元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作(或)，读作“ A包含于B ”(或“ B包含A ”)。
2.集合相等
定义：如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，
此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作 A=B
3.真子集
（1）定义：如果A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作(或)．
4.空集
5.venn图
4.子集与真子集个数与元素关系（举例说明）
总结
【经典例题】
例1 (1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；
⑥0＝{0}．
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
跟踪训练：若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是( )
A．M T B．M⊆T C．M＝T D．M ∈T
用 Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．
例2 (1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为( )
A．－2 B．4 C．0 D．以上答案都不是
[跟踪训练]
(1)已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)若集合A {1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．
例12 已知集合A＝{x|a
[跟踪训练] 设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝eq \f(1,5)，试判定集合A与B的关系；
(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．
例4 已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}且A＝B，求x，y的值．
注意：集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解．
[跟踪训练] 含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2，a＋b,0}，求a.，b.
【当堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．已知集合M的非空子集的个数是7，则集合M中的元素的个数是（ ）
A．3B．4C．2D．5
2．已知集合A＝{x|a≤x＜3}，B＝[1，+∞），若A是B的子集，则实数a取值范围为（ ）
A．[0，3）B．[1，3）C．[0，+∞）D．[1，+∞）
3．下列关系正确的是（ ）
A．{0}∈{0，1，2}B．{0，1}≠{1，0}C．{0，1}⊆{（0，1）}D．∅⊆{0，1}
4．集合M＝{y|y＝，x∈N，y∈N}的非空子集个数是（ ）
A．3B．7C．15D．31
二．填空题（共2小题）
5．已知集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为 ．
6．已知A＝{x||2x﹣3|＜a}，B＝{x||x|≤10}，且A⫋B，则实数a的取值范围是 ．
三．解答题（共1小题）
7．已知y＝x2﹣2mx+1，m为常数．
（1）若y≤0的解集为空集，求m的取值范围．
（2）若A＝{x|1≤x≤2}是B＝{x|x2﹣2mx+1≤0}的子集，求m的取值范围．
当堂检测答案
一．选择题（共4小题）
1．已知集合M的非空子集的个数是7，则集合M中的元素的个数是（ ）
A．3B．4C．2D．5
【分析】若集合M中有n个元素，则集合M的非空子集的个数是2n﹣1．
【解答】解：设集合M中有n个元素，
∵集合M的非空子集的个数是7，
∴2n﹣1＝7，解得n＝3，
∴集合M中元素的个数是3．
故选：A．
【点评】本题考查集合元素个数的求法，考查子集、真子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．已知集合A＝{x|a≤x＜3}，B＝[1，+∞），若A是B的子集，则实数a取值范围为（ ）
A．[0，3）B．[1，3）C．[0，+∞）D．[1，+∞）
【分析】根据条件讨论A是否为空集：A＝∅时，a≥3；A≠∅时，，解出a的范围即可．
【解答】解：∵A＝{x|a≤x＜3}，B＝[1，+∞），且A⊆B，
∴①A＝∅时，a≥3；
②A≠∅时，，解得1≤a＜3，
∴综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了子集的定义，描述法、区间的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．
3．下列关系正确的是（ ）
A．{0}∈{0，1，2}B．{0，1}≠{1，0}C．{0，1}⊆{（0，1）}D．∅⊆{0，1}
【分析】根据集合元素与集合属于关系的定义，可判断A，根据集合元素的无序性及集合相等的定义可判断B，根据集合与集合的关系可判断C，根据空集的定义，可判断D．
【解答】解：A，“∈”用于表示集合与元素的关系，故：{0}∈{0，1，2}错误；
B，根据集合元素的无序性，可得{0，1}＝{1，0}，故B错误；
C，集合{（0，1）}中只有一个元素（0，1），集合{0，1}中有两个元素0，1，故C错误；
D，空集是任一集合的子集，故∅⊆{0，1}正确．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系，空集的性质及集合相等的概念，熟练掌握集合的基本概念及性质是解答本题的关键．
4．集合M＝{y|y＝，x∈N，y∈N}的非空子集个数是（ ）
A．3B．7C．15D．31
【分析】分别找出适合条件的变量y，求出相应的x值，则集合的元素可求，从而求出集合的非空子集．
【解答】解：∵M＝{y|y＝，x∈N，y∈N}，
∴y＝1，2，4，8，
对应的x＝7，3，1，0，
即满足条件的y有4种情况，
故M＝{1，2，4，8}．
∴M的非空子集个数是：24﹣1＝15，
故选：C．
【点评】本题考查了子集，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个，此题是基础题．
二．填空题（共2小题）
5．已知集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为 {0，1，﹣1} ．
【分析】由集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，说明集合中元素只有一个，同理讨论二次项系数与0的关系，结合根与系数得到关系求m．
【解答】解：由题意，①当m＝0时，方程为﹣2x＝0，解得x＝0，满足A＝{0}仅有两个子集；
②当m≠0时，方程有两个相等实根，所以△＝4﹣4m2＝0，解得m＝±1；
所以实数m的取值构成的集合为：{0，1，﹣1}．
故答案为：{0，1，﹣1}．
【点评】本题考查集合的求法，考查子集与真子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．已知A＝{x||2x﹣3|＜a}，B＝{x||x|≤10}，且A⫋B，则实数a的取值范围是 （﹣∞，17] ．
【分析】根据题意，可得B，分两种情况讨论A包含于B时a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，易得B＝{x|﹣10≤x≤10}，
若A是B的真子集，分两种情况讨论：
当a≤0时，A＝∅，此时A包含于B；
当a＞0时，|2x﹣3|＜a⇒＜x＜，
若A包含于B，则有⇒a≤17，
a的取值范围为（0，17]；
故答案为：（﹣∞，17]．
【点评】本题考查集合间的相互包含关系及运算，应特别注意不能忽略对空集这一情况的讨论，属于基础题．
三．解答题（共1小题）
7．已知y＝x2﹣2mx+1，m为常数．
（1）若y≤0的解集为空集，求m的取值范围．
（2）若A＝{x|1≤x≤2}是B＝{x|x2﹣2mx+1≤0}的子集，求m的取值范围．
【分析】（1）利用△＜0即可求出m的取值范围；
（2）函数f（x）＝x2﹣2mx+1，利用二次函数根的分布列出不等式组，解出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵y≤0的解集为空集，
∴△＝（﹣2m）2﹣4＜0，
解得：﹣1＜m＜1，
所以m的取值范围为：（﹣1，1）．
（2）设函数f（x）＝x2﹣2mx+1，
∵A＝{x|1≤x≤2}是B＝{x|x2﹣2mx+1≤0}的子集，
∴，解得：，
所以m的取值范围为：[，+∞）．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式，考查了集合间的基本关系，以及二次函数根的分布问题，是中档题．
定义
符号
符号
数轴
Venn图
子集
集合相等
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