2019届高考数学二轮复习查漏补缺练习：第32讲《数列的综合问题》(含解析)

课时作业(三十二)　第32讲　数列的综合问题

时间 / 45分钟　分值 / 100分

基础热身

1.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a3= (　　)

A.-10 B.-6       C.-8 D.-4

2.已知数列是公差为1的等差数列,Sn为的前n项和,若S8=4S4,则a10= (　　)

A.          B.            C.10      D.12

3.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,点M(2,log2a2),N(5,log2a5)都在直线y=x-1上,则数列{an}的前n项和为              (　　)

A.2n-2       B.2n+1-2         C.2n-1        D.2n+1-1

4.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为:现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现在一月(按30天计算)共织390尺布.则该女子第30天织布              (　　)

A.20尺       B.21尺        C.22尺          D.23尺

5.在等比数列{an}中,若3a1,a5,2a3成等差数列,则=　　　　. 

能力提升

6.在公比为q的正项等比数列{an}中,a4=4,则当2a2+a6取得最小值时,log2q=(　　)

A.           B.-             C.           D.-

7.已知等比数列{an}的前n项和是Sn,则下列说法一定正确的是 (　　)

A.若a3>0,则a2017<0         B.若a4>0,则a2018<0

C.若a3>0,则S2017>0           D.若a4>0,则S2018>0

8.设实数b,c,d成等差数列,且它们的和为9,如果实数a,b,c成公比不为-1的等比数列,则a+b+c的取值范围为              (　　)

A.               B.

C.∪(3,+∞)         D.(-∞,-3)∪

9.记数列的前n项和为Sn,若对任意正整数n,都有2Sn=an+1成立,则a2018= (　　)

A.1      B.-1             C.2          D.-2

10.在数列{an}中,an=2n-1,若一个7行8列的数表中,第i行第j列的元素为cij=ai·aj+ai+aj(i=1,2,…,7,j=1,2,…,8),则该数表中所有不相等的元素之和为              (　　)

A.216-10      B.216+10           C.216-18       D.216+13

11.已知{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足b1=2,b2=5,且an(bn+1-bn)=an+1,则数列{bn}的前n项和为　　　　. 

12.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3,S9,S6成等差数列,a2+a5=4,则a8=　　　　. 

13.在等差数列{an}中,a3=7,a9=19,Sn为数列{an}的前n项和,则的最小值为　　　　. 

14.(12分)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a3=7,an=2an-1+a2-2(n≥2).

(1)证明:{an+1}为等比数列;

(2)求{an}的通项公式,并判断n,an,Sn是否成等差数列.

15.(13分)已知数列{an}满足an+1=2an+2n+1,且a1=2.

(1)证明:数列是等差数列;

(2)设数列cn=-log2,求数列{cn}的前n项和Sn.

难点突破

16.(5分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且满足anan+1=2Sn,数列{bn}满足b1=15,bn+1-bn=2n,则数列中第　　　　项最小. 

17.(5分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,且数列是首项为3,公差为2的等差数列,若bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,则使得Sn+Tn≥268成立的n的最小值为　　　　. 

课时作业(三十二)

1.D　[解析] 根据题意知a1=a3-4,a4=a3+2,因为a1,a3,a4成等比数列,所以=a4·a1,即=(a3+2)·(a3-4),所以a3=-4,故选D.

2.B　[解析] 设数列{an}的公差为d,由S8=4S4得8a1+28d=4(4a1+6d),又d=1,所以a1=,所以a10=a1+9d=.

3.C　[解析] 设数列{an}的公比为q,因为点M(2,log2a2),N(5,log2a5)都在直线y=x-1上,所以log2a2=2-1=1,即a2=2,log2a5=5-1=4,即a5=16,则=q3=8,则,故Sn==2n-1,故选C.

4.B　[解析] 由题意,该女子每天织的布的长度成等差数列,且a1=5,设公差为d,则由前30项的和S30=30×5+d=390,解得d=,所以a30=5+29×=21,故选B.

5.3　[解析] 若3a1,a5,2a3成等差数列,则a5=3a1+2a3.又{an}为等比数列,设公比为q,则q4=3+2q2,可得(q2+1)(q2-3)=0,解得q2=3(负值舍去),所以==q2=3.

6.A　[解析] 2a2+a6≥2=2=8,当且仅当q4=2即q=(负值舍去)时取等号,所以log2q=log2=,故选A.

7.C　[解析] 设数列{an}的公比为q,当a3=a1q2>0时,a1>0,若q≠1,则S2017=.当q<0时,1-q>0,1-q2017>0,∴>0,即S2017>0;当0<q<1时,1-q>0,1-q2017>0,∴>0,即S2017>0;当q>1时,1-q<0,1-q2017<0,∴>0,即S2017>0.若q=1,则S2017=2017a1>0.综上可得,当a3>0时,S2017>0,故选C.

8.C　[解析] ∵实数b,c,d成等差数列,且它们的和为9,∴b+d=2c,则3c=9,即c=3,又实数a,b,c成等比数列,则b2=3a,且a≠-b≠0,∴a+b+c=+b+3,由二次函数的性质可知,当b=-时,+b+3取得最小值,∵a≠-b≠0,∴a+b+c≠3,故a+b+c的取值范围为,3∪(3,+∞),故选C.

9.B　[解析] 因为2Sn=an+1,所以2Sn-1=an-1+1(n≥2),所以2an=2Sn-2Sn-1=an+1-(an-1+1)=an-an-1,即an=-an-1(n≥2),又由2Sn=an+1得a1=1,所以是等比数列,其首项为1,公比为-1,所以a2018=1×(-1)2017=-1.故选B.

10.C　[解析] 该数表中第i行第j列的元素cij=ai·aj+ai+aj=(2i-1)(2j-1)+2i-1+2j-1=2i+j-1 (i=1,2,…,7,j=1,2,…,8),

数表如下所示.

由表可知,该数表中所有不相等的元素之和为22-1+23-1+…+215-1=-14=216-18.

11.　[解析] 设数列{an}的公比为q,由题得bn+1-bn=,∴当n=1时,3=,∴a2=3,∴q==3,∴bn+1-bn=3=d,∴数列{bn}是等差数列.故数列{bn}的前n项和为n×2+×3=.

12.2　[解析] 因为S3,S9,S6成等差数列,所以公比q≠1,且2×=+,整理得2q6=1+q3,所以q3=-或q3=1(舍去),所以a2+a5=a2+a2·q3=a21-=4,解得a2=8,故a8=a2·q6=8×=2.

13.3　[解析] ∵a3=7,a9=19,∴公差d===2,∴an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1,∴Sn==n(n+2),因此==(n+1)+≥×2=3,当且仅当n=2时取等号.

14.解:(1)证明:∵a3=7,a3=3a2-2,∴a2=3,∴an=2an-1+1,∴a1=1,又==2(n≥2),∴{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.

(2)由(1)知,an+1=2n,∴an=2n-1.

∴Sn=-n=2n+1-n-2,

∵n+Sn-2an=n+2n+1-n-2-2(2n-1)=0,∴n+Sn=2an,即n,an,Sn成等差数列.

15.解:(1)证明:∵-=-=+-=1,且=1,∴是以1为首项,1为公差的等差数列.

(2)由(1)得=1+(n-1)×1=n,故an=n·2n,∴cn=2n-n.

∴Sn=c1+c2+c3+…+cn=(21-1)+(22-2)+(23-3)+…+(2n-n)=(21+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n)=-=2n+1--2.

故数列{cn}的前n项和为Sn=2n+1--2(n∈N*).

16.4　[解析] 当n≥2时,2an=2Sn-2Sn-1=anan+1-an-1an,∵an≠0,∴an+1-an-1=2;当n=1时,a1a2=2a1,解得a2=2.∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差都为2,且a1=1,a2=2,进而得到数列{an}为等差数列,其首项为1,公差为1,∴an=1+n-1=n.∵数列{bn}满足b1=15,bn+1-bn=2n,∴当n≥2时,bn=2[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+15=2×+15=n(n-1)+15,当n=1时,上式也成立,∴bn=n(n-1)+15,∴=n-1+≥2-1(当且仅当n=时取等号),又n∈N*,且=3+,=7,则数列中第4项最小.

17.5　[解析] 因为数列是首项为3,公差为2的等差数列,所以=3+(n-1)×2,化简得Sn=2n2+n,则当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2+(n-1),所以an=Sn-Sn-1=(2n2+n)-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1,当n=1时,S1=a1=3,满足上式,所以an=4n-1.因为bn=,所以b1=a2,b2=a4,b3=a8,b4=a16,b5=a32,b6=a64,…,所以Tn=a2+a4+a8+a16+…++=(23-1)+(24-1)+(25-1)+…+(2n+1-1)+(2n+2-1)=23+24+25+…+2n+1+2n+2-n=2n+3-n-8,所以S1+T1=(2×12+1)+(24-1-8)=10,S2+T2=(2×22+2)+(25-2-8)=32,S3+T3=(2×32+3)+(26-3-8)=74,S4+T4=(2×42+4)+(27-4-8)=152,S5+T5=(2×52+5)+(28-5-8)=298,所以使得Sn+Tn≥268成立的n的最小值为5.