2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第2章第1讲　函数及其表示



第二章　函数、导数及其应用
第1讲　函数及其表示
[考纲解读]　1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(重点)
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(重点)
3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(难点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2021年会考查函数的解析式与分段函数的应用，可能涉及函数的求值、函数图象的判断及最值的求解.


1.函数与映射

函数
映射
两个集合
A，B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
函数记法
函数y＝f(x)，x∈A
映射：f：A→B

2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
(1)定义：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
(2)分段函数的相关结论
①分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．

1．概念辨析
(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.(　　)
(2)A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}．
f：x→x的平方根是A到B的映射．(　　)
(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．(　　)
(4)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2．小题热身
(1)函数y＝＋的定义域为(　　)
A. B．(－∞，3)∪(3，＋∞)
C.∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)
答案　C
解析　由解得x≥且x≠3，所以已知函数的定义域为∪(3，＋∞)．
(2)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)
A．y＝()2 B．y＝＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
答案　B
解析　对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．
(3)若函数f(x)＝则f[f(1)]的值为(　　)
A．－10 B．10
C．－2 D．2
答案　C
解析　f(1)＝21－4＝－2，f[f(1)]＝f(－2)＝2×(－2)＋2＝－2.

(4)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________，值域是________，其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．(图中，曲线l与直线m无限接近，但永不相交)
答案　[－3,0]∪[1,4)　[1，＋∞)　[1,2)∪(5，＋∞)
解析　观察函数y＝f(x)的图象可知，f(x)的定义域为[－3,0]∪[1,4)，值域是[1，＋∞)，当y∈[1,2)∪(5，＋∞)时，只有唯一的x值与之对应．
(5)已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________.
答案　(x≠0)
解析　令t＝，则t≠0，x＝，f(t)＝2＋5·＝.所以f(x)＝(x≠0)．


题型 一　函数的定义域
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1．函数y＝＋(x－1)0的定义域是(　　)
A．{x|－3＜x＜1} B．{x|－3＜x＜2且x≠1}
C．{x|0＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}
答案　B
解析　要使函数解析式有意义，须有解得所以－3＜x＜2且x≠1.故已知函数的定义域为{x|－3＜x＜2且x≠1}．
2．函数f(x)的定义域是[2，＋∞)，则函数y＝的定义域是(　　)
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[1,2)∪(2，＋∞) D．[2，＋∞)
答案　C
解析　依题意得解得x≥1且x≠2，所以函数y＝的定义域是[1,2)∪(2，＋∞)．
3．(2020·安阳三校联考)若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是(　　)
A．[0,4) B．(0,4)
C．[4，＋∞) D．[0,4]
答案　D
解析　由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．
当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则解得0 综上可得，0≤m≤4.



1．函数y＝f(x)的定义域

2.抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b求出．如举例说明2中f(x)的定义域是[2，＋∞)，f(2x)中x应满足2x≥2.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
3．已知函数的定义域求参数问题的解题步骤
(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题．如举例说明3.
(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1．函数f(x)＝－的定义域为(　　)
A．[1,10] B．[1,2)∪(2,10]
C．(1,10] D．(1,2)∪(2,10]
答案　D
解析　要使原函数有意义，则解得1＜x≤10且x≠2，所以函数f(x)＝－的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选D.
2．(2020·东北师大附中摸底)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f＋f的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意得解得≤x≤，所以函数g(x)的定义域是.
3．已知函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围是________．
答案　[0,3)
解析　当k＝0时，y＝，满足条件；当k≠0时，由得0＜k＜3.综上，0≤k＜3.
题型 二　求函数的解析式
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1．已知f＝lg x，则f(x)＝________.
答案　lg (x>－1)
解析　令t＝－1，则由x>0知－1>－1，x＝，所以由f＝lg x，得f(t)＝lg (t>－1)，所以f(x)＝lg (x>－1)．
2．已知f＝x2＋x－2，则f(x)＝________.
答案　x2－2(x≥2或x≤－2)
解析　因为f＝x2＋x－2＝2－2，
且当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2，
所以f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．
3．已知f(x)是二次函数且f(0)＝5，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.
答案　x2－x＋5
解析　因为f(x)是二次函数且f(0)＝5，
所以设f(x)＝ax2＋bx＋5(a≠0)．
又因为f(x＋1)－f(x)＝x－1，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋5－(ax2＋bx＋5)＝x－1，
整理得(2a－1)x＋a＋b＋1＝0，所以
解得a＝，b＝－，所以f(x)＝x2－x＋5.
4．已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.
答案　2x－(x≠0)
解析　因为2f(x)＋f＝3x，①
所以将x用替换，得2f＋f(x)＝，②
由①②解得f(x)＝2x－(x≠0)，
即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)．



求函数解析式的四种方法
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1．若函数f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则函数f(x)的解析式为________．
答案　f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3
解析　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f[f(x)]＝af(x)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，
∴解得或
∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
2．已知f(＋1)＝x＋2，则函数f(x)的解析式为________．
答案　f(x)＝x2－1(x≥1)
解析　解法一：∵f(＋1)＝x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，且＋1≥1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
解法二：设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1(x≥1)．

题型 三　分段函数　
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


角度1　求分段函数的函数值
1．已知函数f(x)＝则f等于(　　)
A．4 B.
C．－4 D．－
答案　B
解析　f＝log5＝－2，
f＝f(－2)＝.
角度2　分段函数与方程、不等式的综合问题
2．设函数f(x)＝若f＝4，则实数a＝(　　)
A．－ B．－
C．－或－ D．－2或－
答案　A
解析　因为<1，所以f＝4×＋a＝a＋.
若a＋≥1，即a≥－时，2a＋＝4，
即a＋＝2⇒a＝－>－(成立)；
若a＋<1，即a<－时，则4a＋＋a＝4，
即a＝－>－(舍去)，综上a＝－.
3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
答案　D

解析　将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知解得x<0，所以满足f(x＋1)


1．求分段函数的函数值
(1)基本步骤
①确定要求值的自变量属于哪一区间．
②代入该区间对应的解析式求值．
(2)两种特殊情况
①当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值．如举例说明1.
②当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．如举例说明2，求f后再求f要分类讨论．
2．解分段函数与方程或不等式问题的策略
求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围．如举例说明3.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1．设函数f(x)＝则f[f(－4)]＝________.
答案　－1
解析　f[f(－4)]＝f(16－4－2)＝f(10)＝－1.
2．函数f(x)＝若f(a)≤a，则实数a的取值范围是________．
答案　[－1，＋∞)
解析　当a≥0时，由f(a)＝a－1≤a，解得a≥－2，所以a≥0；当a<0时，由f(a)＝≤a，解得－1≤a≤1且a≠0，所以－1≤a<0.综上所述，实数a的取值范围是[－1，＋∞)．
3．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
答案　－
解析　当a>0时，1－a<1,1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－，不符合题意．当a<0时，1－a>1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－，符合题意．

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


　组　基础关
1．下列各组函数中不表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg |x|
B．f(x)＝x，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝·
D．f(x)＝|x＋1|，g(x)＝
答案　C
解析　A中，g(x)＝2lg |x|＝lg x2，则f(x)与g(x)是同一函数；B中，g(x)＝＝x，则f(x)与g(x)是同一函数；C中，函数f(x)＝的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，函数g(x)＝·的定义域为[2，＋∞)，则f(x)与g(x)不是同一函数；D中，f(x)＝|x＋1|＝则f(x)与g(x)是同一函数．故选C.
2．若f＝，则当x≠0，且x≠1时，f(x)等于(　　)
A. B.
C. D.－1
答案　B
解析　当x≠0，且x≠1时，f＝＝，所以f(x)＝.
3．已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则函数的定义域为(　　)
A．{x|x∈R} B．{x|x＞0}
C．{x|0＜x＜5} D．{x
答案　D
解析　由题意知即＜x＜5.
4．设f(x)＝则f[f(－2)]等于(　　)
A．－1 B.
C. D.
答案　C
解析　由已知得，f(－2)＝2－2＝，f[f(－2)]＝f＝1－＝1－＝.
5．已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
答案　A
解析　当a≤1时，不符合题意，所以a>1，即－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－.
6．已知A＝{x|x＝n2，n∈N}，给出下列关系式：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x4；⑤f(x)＝x2＋1，其中能够表示函数f：A→A的个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　C
解析　∵A＝{x|x＝n2，n∈N}，①中f(x)＝x，若x∈A，则x＝n2，n∈N，则f(x)＝n2，n∈N，满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故正确；②中f(x)＝x2，若x∈A，则x＝n2，n∈N，则f(x)＝(n2)2，n2∈N，满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故正确；③中f(x)＝x3，若x∈A，则x＝n2，n∈N，则f(x)＝(n3)2，n3∈N，满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故正确；④中f(x)＝x4，若x∈A，则x＝n2，n∈N，则f(x)＝(n4)2，n4∈N，满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故正确；⑤中f(x)＝x2＋1，若x＝1，则f(x)＝2∉A，不满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故错误；故能够表示函数f：A→A的个数是4.
7．(2020·马鞍山质量检测)已知函数f(x)＝则f(1)＋f()＋f()＋…＋f()＝(　　)
A．44 B．45
C．1009 D．2018
答案　A
解析　因为442＝1936,452＝2025，所以44＜＜45，所以1，，，…，中有44个有理数，所以f(1)＋f()＋f()＋…＋f()＝44.
8．若函数f(x)＝＋ln (b－x)的定义域为[2,4)，则a＋b＝________.
答案　5
解析　要使函数有意义，则解不等式组得∵函数f(x)＝＋ln (b－x)的定义域为[2,4)，∴∴∴a＋b＝1＋4＝5.
9．若函数f(x)在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．

答案　f(x)＝
解析　由题意，当－1≤x＜0时，直线的斜率为1，方程为y＝x＋1；当0≤x≤2时，直线的斜率为－，方程为y ＝－x.所以函数的解析式为
f(x)＝
10．已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．
答案　[－4,2]
解析　解法一：由题意知
或
解得－4≤x≤0或0 故x的取值范围为[－4,2]．
解法二：在同一平面直角坐标系中分别作出函数
y＝f(x)＝与y＝－1的图象．
如图所示，其交点分别为(－4，－1)，(2，－1)．

由图象知满足f(x)≥－1的x的取值范围是[－4,2]．
　组　能力关
1．(2019·大同模拟)具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：
①y＝x－；②y＝ln ；③y＝
其中满足“倒负”变换的函数是(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①
答案　B
解析　对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f(x)＝ln ，则f＝ln ≠－f(x)，不满足；对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足题意．
2．(2020·惠州调研)若函数y＝f(2x)的定义域为，则y＝f(log2x)的定义域为________．
答案　[2 ，16]
解析　由已知得，x∈时，2x∈[，4]，函数y＝f(x)的定义域为[，4]．
由≤log2x≤4，得2 ≤x≤16，所以y＝f(log2x)的定义域为[2 ，16]．
3．设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为________．
答案　
解析　当x≤0时，f(x)＝2x＝，则x＝－1.
当x>0时，f(x)＝|log2x|＝.
当0 当x＝1时，显然不符合题意．
当x>1时，log2x＝，x＝.
所以使f(x)＝的x的集合为.
4．设函数f(x)＝已知f(a)＞1，则a的取值范围是________．
答案　(－∞，－2)∪
解析　解法一：(数形结合)画出f(x)的图象，如图所示，作出直线y＝1，由图可见，符合f(a)＞1的a的取值范围为(－∞，－2)∪.


解法二：(分类讨论)
①当a≤－1时，由(a＋1)2>1，得a＋1>1或a＋1<－1，得a>0或a<－2，
又a≤－1，∴a<－2；
②当－11，得a＞－，
又－1 ③当a≥1时，由－1>1，得0 又a≥1，∴此时a不存在．
综上可知，a的取值范围为(－∞，－2)∪.
5．已知函数f(x)＝则f(2＋log32)的值为________．
答案　
解析　∵2＋log31<2＋log32<2＋log33，即2<2＋log32<3，
∴f(2＋log32)＝f(2＋log32＋1)＝f(3＋log32)．
又3<3＋log32<4，
∴f(3＋log32)＝3＋log32＝3×log32＝×(3－1)log32＝×3－log32＝×3log3＝×＝，∴f(2＋log32)＝.
6．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0,1]上有表达式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－1,1]上的表达式．
解　(1)由题意知
f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－.
(2)当x∈[0,1]时，f(x)＝x2；
因为∀x∈R，都有f(x)＝－2f(x＋1)，
所以当x∈[－1,0)时，x＋1∈[0,1)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；
所以f(x)＝