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2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第2章第4讲 二次函数与幂函数
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第4讲 二次函数与幂函数
[考纲解读] 1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质，能利用二次函数、二次方程与二次不等式之间的关系解决简单问题．(重点、难点)
2．掌握幂函数的图象和性质，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．(重点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2021年高考对二次函数可能会直接考查，也可能会与其他知识相结合进行考查，考查三个二次之间的关系、函数最值的求解、图象的判断等．在解答题中也可能会涉及二次函数．幂函数的考查常与其他知识结合，比较大小、图象及性质的应用为重点命题方向.
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
R
R
值域
单调性
在x∈上单调递减；
在x∈
上单调递增
在x∈上单调递增；
在x∈上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝－对称
2．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)常见的五种幂函数的性质
特征 函数
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R，
且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，
且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在(－∞，0]
上减，在[0，
＋∞)上增
增
增
在(－∞，0)
上减，在(0，
＋∞)上减
定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
1．概念辨析
(1)函数y＝2x是幂函数．( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( )
(4)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．小题热身
(1)若a<0，则0.5a,5a,0.2a的大小关系是( )
A．0.2a<5a<0.5a B．5a<0.5a<0.2a
C．0.5a<0.2a<5a D．5a<0.2a<0.5a
答案 B
解析 因为a<0，所以函数y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，又0.2<0.5<5，所以0.2a>0.5a>5a，即5a<0.5a<0.2a.
(2)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则函数的解析式为________．
答案 f(x)＝x
解析 设f(x)＝xα，因为函数f(x)的图象过点(2，)，所以＝2α，即2＝2α，所以α＝，所以f(x)＝x.
(3)若二次函数y＝－2x2－4x＋t的图象的顶点在x轴上，则t的值是________．
答案 －2
解析 y＝－2x2－4x＋t＝－2(x2＋2x)＋t＝－2[(x＋1)2－1]＋t＝－2(x＋1)2＋2＋t.
因为此函数的图象的顶点(－1,2＋t)在x轴上，所以2＋t＝0，所以t＝－2.
(4)函数f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤3)的值域是________．
答案 [－3,1]
解析 因为f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以f(x)在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，又f(0)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－3，所以函数f(x)的值域为[－3，1]．
题型 一 求二次函数的解析式
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解 解法一：(利用二次函数的一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
故所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法二：(利用二次函数的顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝.
∴m＝，又根据题意函数f(x)有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三：(利用两根式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数f(x)有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
条件探究1 将本例中的“f(2)＝－1，f(－1)＝－1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)”，其他条件不变，试确定f(x)的解析式．
解 设f(x)＝ax(x＋2)．
因为函数f(x)的最大值为8，
所以a<0，且f(x)max＝f(－1)＝－a＝8，所以a＝－8，
所以f(x)＝－8x(x＋2)＝－8x2－16x.
条件探究2 将本例中条件变为：二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，在x轴上截得的线段长为2，且∀x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，试确定f(x)的解析式．
解 因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
所以f(x)的对称轴为直线x＝2.
又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，
所以f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又f(x)的图象过点(4,3)，所以3a＝3，所以a＝1.
所以f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
用待定系数法求二次函数的解析式
(1)关键：恰当选取二次函数解析式的形式
(2)选法
已知条件
解析式的形式
三点坐标
一般式
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
顶点坐标
顶点式
y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
对称轴
最大(小)值
与x轴两交点的坐标
两根式
y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足条件：①f(3－x)＝f(x)；②f(1)＝0；③对任意实数x，f(x)≥－恒成立，则其解析式为f(x)＝________.
答案 x2－3x＋2
解析 由①得，对称轴方程为x＝－＝.
由②得，a＋b＋c＝0.
由③得，f(x)min＝≥－，且a>0.
解得a＝1，b＝－3，c＝2.所以f(x)＝x2－3x＋2.
2．如图是二次函数y＝f(x)的图象，若|OC|＝|OB|＝3|OA|，且△ABC的面积S＝6，求这个二次函数的解析式．
解 设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为|OB|＝|OC|＝3|OA|，
所以|AB|＝|OA|＋|OB|＝4|OA|，
且4|OA|×3|OA|×＝6，得|OA|＝1，
所以A(－1,0)，B(3,0)，C(0,3)．
将三点坐标代入方程，得
解得a＝－1，b＝2，c＝3.
所以二次函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.
题型 二 二次函数的图象与性质
角度1 二次函数的图象
1．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
答案 B
解析 ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点，∴b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为直线x＝－1知，b＝2a，又函数的图象开口向下，∴a<0，∴5a<2a，即5a
2．(2020·河南中原名校联考)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 因为函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，
当a≠0时，a须满足解得0
综上可知，a的取值范围是.
角度3 二次函数的最值
3．已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]内的最大值为－5，则a的值为( )
A. B．1或
C．－1或 D．－5或
答案 D
解析 f(x)＝－42－4a，对称轴为直线x＝.
①当≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上递增，
∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2.
令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．
②当0<<1，即0
③当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上递减，
∴f(x)max＝f(0)＝－4a－a2.
令－4a－a2＝－5，
解得a＝－5或a＝1(舍去)．
综上所述，a＝或－5.故选D.
角度4 与二次函数有关的恒成立问题
4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－)
B．(－，0)
C．(－∞，0)∪(，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
答案 A
解析 当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x3，∴f(x)＝x3(x∈R)，易知f(x)在R上是增函数，结合f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立，即mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立，故有解得m∈(－∞，－)．
5．当x∈(1,3)时，若不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
答案 (－∞，－5]
解析 设f(x)＝x2＋mx＋4.
因为x∈(1,3)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，
所以即
解得m≤－5，
所以m的取值范围是(－∞，－5]．
1．识别二次函数图象应学会“三看”
2．研究二次函数单调性的思路
(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．
(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆，即区间A一定在函数图象对称轴的左侧(右侧)．如举例说明2.
3．二次函数最值问题的解法
抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．如举例说明3.
4．与二次函数有关的不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是如举例说明4.
(3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
(4)f(x)＝ax2＋bx＋c<0(a>0)在(m，n)上恒成立⇔如举例说明5.
(5)f(x)＝ax2＋bx＋c>0(a<0)在[m，n]上恒成立⇔
1．(2019·重庆五中模拟)一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
答案 C
解析 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，故排除B，选C.
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f(1)，则f()，f，f()的大小关系是( )
A．f()＜f＜f()
B．f＜f()＜f()
C．f()＜f()＜f
D．f()＜f()＜f
答案 D
解析 因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f(1)，所以函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，因为＞|－1|＞|－1|，所以f()＜f()＜f.
3．(2019·陕西西安模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,2]
C．[－1,2] D．[2,5]
答案 C
解析 ∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴当x＝2时，f(2)＝4，由f(x)＝－x2＋4x＝－5，解得x＝5或x＝－1，∴要使函数在[m,5]上的值域是[－5,4]，则－1≤m≤2.
4．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．
答案
解析 2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．
当x＝0时，－3<0，成立；
当x≠0时，a<2－，
因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
当x＝1时，右边取最小值，∴a<.
综上，实数a的取值范围是.
题型 三 幂函数的图象与性质
1．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
答案 B
解析 观察图象联想y＝x2，y＝x，y＝x－1在第一象限内的图象，可知c<0，d<0,0
综上知a>b>c>d.
2．若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C．(－1,2) D.
答案 D
解析 因为函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数，
且(2m＋1)>(m2＋m－1)，
所以解得≤m<2.
3．已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数
答案 A
解析 设幂函数f(x)＝xα，∵f(x)的图象经过点，∴α＝，∴α＝－1.∴f(x)＝x－1，f(－x)＝(－x)－1＝－x－1＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
1．求幂函数的解析式
幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．如举例说明3.
2．幂函数的指数与图象特征的关系
当α≠0,1时，幂函数y＝xα在第一象限内的图象特征：
α取值
α>1
0<α<1
α<0
图象
特殊点
过点(0,0)，(1,1)
过点(0,0)，(1,1)
过点(1,1)
凹凸性
下凸
上凸
下凸
单调性
递增
递增
递减
举例
举例说明1中，
y＝xa
举例说明
1中，y＝xb
举例说明1
中，y＝xc，
y＝xd
3．幂函数单调性的应用
(1)依据
当α＞0时，幂函数f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增；
当α＜0时，幂函数f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
(2)两类应用
①比较大小；
②解不等式，如举例说明2.
1．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
答案 B
解析 由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.
2．若幂函数f(x)＝x(m，n∈N*，m，n互质)的图象如图，则 ( )
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且＜1
D．m是奇数，n是偶数，且>1
答案 C
解析 由图象可知，函数f(x)为偶函数，所以m是偶数，n是奇数．函数图象在第一象限部分上凸，所以＜1.
3．已知a＝2，b＝3，c＝25，则( )
A．b
解析 因为a＝2＝4，c＝25＝5，而函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以3<4<5，即b
组 基础关
1．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，
∴解得a>.
2．幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值可以为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 由图象知，m2－4m<0且m2－4m为偶数，结合四个选项可知，m＝2.
3．已知α∈，若f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则实数α的值是( )
A．－1,3 B.，3
C．－1，，3 D.，，3
答案 B
解析 因为f(x)＝xα为奇函数，所以α∈.又f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增，所以α∈.
4．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
答案 D
解析 由A中图象知，a<0，c<0，－<0，所以b<0，与abc>0矛盾；由B中图象知，a<0，c>0，－>0，所以b>0，与abc>0矛盾；由C中图象知，a>0，c<0，－<0，所以b>0，与abc>0矛盾；由D中图象知，a>0，c<0，－>0，所以b<0，abc>0成立．
5．(2019·吉林省实验中学模拟)已知点(2,8)在幂函数f(x)＝xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
答案 A
解析 由点(2,8)在幂函数f(x)＝xn的图象上，可得2n＝8，解得n＝3，所以f(x)＝x3.所以f(x)在R上是增函数．因为0＜＜＜1＜ln π，所以f＜f＜f(ln π)，即a＜c＜b.
6．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(1)＝f(3)＞f(4)，则( )
A．a＞0,4a＋b＝0 B．a＜0,4a＋b＝0
C．a＞0,2a＋b＝0 D．a＜0,2a＋b＝0
答案 B
解析 因为f(1)＝f(3)，则直线x＝2为对称轴，故－＝2，则4a＋b＝0，又f(3)＞f(4)，所以f(x)在(2，＋∞)上为减函数，所以函数f(x)的图象开口向下，所以a＜0.
7．(2020·百色市摸底)已知函数f(x)＝x2＋x＋c，若f(0)>0，f(p)<0，则必有( )
A．f(p＋1)＞0
B．f(p＋1)＜0
C．f(p＋1)＝0
D．f(p＋1)的符号不能确定
答案 A
解析 该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x＝－.f(0)＝c＞0，即抛物线在y轴上的截距大于0.因为图象关于直线x＝－对称，所以f(－1)＝f(0)＞0.设f(x)＝0的两根为x1，x2，令x1＜x2，则－1＜x1＜x2＜0，根据图象知，x1＜p＜x2，故p＋1＞0，f(p＋1)＞0.
8．(2019·潍坊质检)已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a等于________．
答案
解析 设f(x)＝xα，则4α＝，所以α＝－.
因此f(x)＝x－，从而a－＝4(a＋3)－，解得a＝.
9．已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)＝4f(2)＝16，则函数f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝x2
解析 由题意可设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则f(4)＝16a＋c＝16,4f(2)＝4(4a＋c)＝16a＋4c＝16，所以a＝1，c＝0，故f(x)＝x2.
10．(2019·南阳模拟)设二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a的值为________．
答案 －3或
解析 此函数图象的对称轴为直线x＝－1，
当a>0时，图象开口向上，
所以当x＝2时取得最大值，即f(2)＝4a＋4a＋1＝4，
解得a＝；
当a<0时，图象开口向下，所以当x＝－1时取得最大值，即f(－1)＝a－2a＋1＝4，
解得a＝－3.故实数a的值为－3或.
组 能力关
1．函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值( )
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
答案 A
解析 ∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＞0，∴幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴解得m＝2，则f(x)＝x2015.
∵函数f(x)＝x2015在R上是奇函数，且为增函数，由a＋b>0，得a>－b，∴f(a)>f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)＋f(b)>0.故选A.
2．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，若对任意实数x1，x2都有f≥，则f(x)的图象可能是( )
答案 C
解析 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，则b＝0，图象关于y轴对称，所以排除A，D；对任意实数x1，x2都有f≥，所以函数f(x)为上凸函数，结合二次函数的性质可得实数a＜0，即排除B.故选C.
3．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k＝________.
答案
解析 设g(x)＝x2＋(2－k)x＋1.
设不等式g(x)≤0的解集为a≤x≤b.
则Δ＝(2－k)2－4≥0，解得k≥4或k≤0，
又因为函数f(x)＝x2＋2x＋1，且f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]恒成立；
所以(1，m]⊆[a，b]，所以a≤1，b≥m，所以g(1)＝4－k<0，解得k>4，m的最大值为b，所以有b＝5.
即x＝5是方程g(x)＝0的一个根，代入x＝5，
解得k＝.
4．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．
解 (1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，
故⇒⇒
当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，
故⇒⇒
故当a>0时，a＝1，b＝0，当a<0时，a＝－1，b＝3.
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.
g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，
∵g(x)在[2,4]上单调，∴≤2或≥4.
∴m≤2或m≥6.
故m的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．
第4讲 二次函数与幂函数
[考纲解读] 1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质，能利用二次函数、二次方程与二次不等式之间的关系解决简单问题．(重点、难点)
2．掌握幂函数的图象和性质，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．(重点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2021年高考对二次函数可能会直接考查，也可能会与其他知识相结合进行考查，考查三个二次之间的关系、函数最值的求解、图象的判断等．在解答题中也可能会涉及二次函数．幂函数的考查常与其他知识结合，比较大小、图象及性质的应用为重点命题方向.
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
R
R
值域
单调性
在x∈上单调递减；
在x∈
上单调递增
在x∈上单调递增；
在x∈上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝－对称
2．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)常见的五种幂函数的性质
特征 函数
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R，
且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，
且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在(－∞，0]
上减，在[0，
＋∞)上增
增
增
在(－∞，0)
上减，在(0，
＋∞)上减
定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
1．概念辨析
(1)函数y＝2x是幂函数．( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( )
(4)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．小题热身
(1)若a<0，则0.5a,5a,0.2a的大小关系是( )
A．0.2a<5a<0.5a B．5a<0.5a<0.2a
C．0.5a<0.2a<5a D．5a<0.2a<0.5a
答案 B
解析 因为a<0，所以函数y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，又0.2<0.5<5，所以0.2a>0.5a>5a，即5a<0.5a<0.2a.
(2)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则函数的解析式为________．
答案 f(x)＝x
解析 设f(x)＝xα，因为函数f(x)的图象过点(2，)，所以＝2α，即2＝2α，所以α＝，所以f(x)＝x.
(3)若二次函数y＝－2x2－4x＋t的图象的顶点在x轴上，则t的值是________．
答案 －2
解析 y＝－2x2－4x＋t＝－2(x2＋2x)＋t＝－2[(x＋1)2－1]＋t＝－2(x＋1)2＋2＋t.
因为此函数的图象的顶点(－1,2＋t)在x轴上，所以2＋t＝0，所以t＝－2.
(4)函数f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤3)的值域是________．
答案 [－3,1]
解析 因为f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以f(x)在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，又f(0)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－3，所以函数f(x)的值域为[－3，1]．
题型 一 求二次函数的解析式
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解 解法一：(利用二次函数的一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
故所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法二：(利用二次函数的顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝.
∴m＝，又根据题意函数f(x)有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三：(利用两根式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数f(x)有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
条件探究1 将本例中的“f(2)＝－1，f(－1)＝－1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)”，其他条件不变，试确定f(x)的解析式．
解 设f(x)＝ax(x＋2)．
因为函数f(x)的最大值为8，
所以a<0，且f(x)max＝f(－1)＝－a＝8，所以a＝－8，
所以f(x)＝－8x(x＋2)＝－8x2－16x.
条件探究2 将本例中条件变为：二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，在x轴上截得的线段长为2，且∀x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，试确定f(x)的解析式．
解 因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
所以f(x)的对称轴为直线x＝2.
又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，
所以f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又f(x)的图象过点(4,3)，所以3a＝3，所以a＝1.
所以f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
用待定系数法求二次函数的解析式
(1)关键：恰当选取二次函数解析式的形式
(2)选法
已知条件
解析式的形式
三点坐标
一般式
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
顶点坐标
顶点式
y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
对称轴
最大(小)值
与x轴两交点的坐标
两根式
y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足条件：①f(3－x)＝f(x)；②f(1)＝0；③对任意实数x，f(x)≥－恒成立，则其解析式为f(x)＝________.
答案 x2－3x＋2
解析 由①得，对称轴方程为x＝－＝.
由②得，a＋b＋c＝0.
由③得，f(x)min＝≥－，且a>0.
解得a＝1，b＝－3，c＝2.所以f(x)＝x2－3x＋2.
2．如图是二次函数y＝f(x)的图象，若|OC|＝|OB|＝3|OA|，且△ABC的面积S＝6，求这个二次函数的解析式．
解 设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为|OB|＝|OC|＝3|OA|，
所以|AB|＝|OA|＋|OB|＝4|OA|，
且4|OA|×3|OA|×＝6，得|OA|＝1，
所以A(－1,0)，B(3,0)，C(0,3)．
将三点坐标代入方程，得
解得a＝－1，b＝2，c＝3.
所以二次函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.
题型 二 二次函数的图象与性质
角度1 二次函数的图象
1．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
答案 B
解析 ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点，∴b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为直线x＝－1知，b＝2a，又函数的图象开口向下，∴a<0，∴5a<2a，即5a
2．(2020·河南中原名校联考)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 因为函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，
当a≠0时，a须满足解得0
综上可知，a的取值范围是.
角度3 二次函数的最值
3．已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]内的最大值为－5，则a的值为( )
A. B．1或
C．－1或 D．－5或
答案 D
解析 f(x)＝－42－4a，对称轴为直线x＝.
①当≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上递增，
∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2.
令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．
②当0<<1，即0
③当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上递减，
∴f(x)max＝f(0)＝－4a－a2.
令－4a－a2＝－5，
解得a＝－5或a＝1(舍去)．
综上所述，a＝或－5.故选D.
角度4 与二次函数有关的恒成立问题
4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－)
B．(－，0)
C．(－∞，0)∪(，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
答案 A
解析 当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x3，∴f(x)＝x3(x∈R)，易知f(x)在R上是增函数，结合f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立，即mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立，故有解得m∈(－∞，－)．
5．当x∈(1,3)时，若不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
答案 (－∞，－5]
解析 设f(x)＝x2＋mx＋4.
因为x∈(1,3)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，
所以即
解得m≤－5，
所以m的取值范围是(－∞，－5]．
1．识别二次函数图象应学会“三看”
2．研究二次函数单调性的思路
(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．
(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆，即区间A一定在函数图象对称轴的左侧(右侧)．如举例说明2.
3．二次函数最值问题的解法
抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．如举例说明3.
4．与二次函数有关的不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是如举例说明4.
(3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
(4)f(x)＝ax2＋bx＋c<0(a>0)在(m，n)上恒成立⇔如举例说明5.
(5)f(x)＝ax2＋bx＋c>0(a<0)在[m，n]上恒成立⇔
1．(2019·重庆五中模拟)一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
答案 C
解析 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，故排除B，选C.
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f(1)，则f()，f，f()的大小关系是( )
A．f()＜f＜f()
B．f＜f()＜f()
C．f()＜f()＜f
D．f()＜f()＜f
答案 D
解析 因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f(1)，所以函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，因为＞|－1|＞|－1|，所以f()＜f()＜f.
3．(2019·陕西西安模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,2]
C．[－1,2] D．[2,5]
答案 C
解析 ∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴当x＝2时，f(2)＝4，由f(x)＝－x2＋4x＝－5，解得x＝5或x＝－1，∴要使函数在[m,5]上的值域是[－5,4]，则－1≤m≤2.
4．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．
答案
解析 2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．
当x＝0时，－3<0，成立；
当x≠0时，a<2－，
因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
当x＝1时，右边取最小值，∴a<.
综上，实数a的取值范围是.
题型 三 幂函数的图象与性质
1．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
答案 B
解析 观察图象联想y＝x2，y＝x，y＝x－1在第一象限内的图象，可知c<0，d<0,0
综上知a>b>c>d.
2．若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C．(－1,2) D.
答案 D
解析 因为函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数，
且(2m＋1)>(m2＋m－1)，
所以解得≤m<2.
3．已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数
答案 A
解析 设幂函数f(x)＝xα，∵f(x)的图象经过点，∴α＝，∴α＝－1.∴f(x)＝x－1，f(－x)＝(－x)－1＝－x－1＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
1．求幂函数的解析式
幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．如举例说明3.
2．幂函数的指数与图象特征的关系
当α≠0,1时，幂函数y＝xα在第一象限内的图象特征：
α取值
α>1
0<α<1
α<0
图象
特殊点
过点(0,0)，(1,1)
过点(0,0)，(1,1)
过点(1,1)
凹凸性
下凸
上凸
下凸
单调性
递增
递增
递减
举例
举例说明1中，
y＝xa
举例说明
1中，y＝xb
举例说明1
中，y＝xc，
y＝xd
3．幂函数单调性的应用
(1)依据
当α＞0时，幂函数f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增；
当α＜0时，幂函数f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
(2)两类应用
①比较大小；
②解不等式，如举例说明2.
1．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
答案 B
解析 由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.
2．若幂函数f(x)＝x(m，n∈N*，m，n互质)的图象如图，则 ( )
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且＜1
D．m是奇数，n是偶数，且>1
答案 C
解析 由图象可知，函数f(x)为偶函数，所以m是偶数，n是奇数．函数图象在第一象限部分上凸，所以＜1.
3．已知a＝2，b＝3，c＝25，则( )
A．b
解析 因为a＝2＝4，c＝25＝5，而函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以3<4<5，即b
组 基础关
1．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，
∴解得a>.
2．幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值可以为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 由图象知，m2－4m<0且m2－4m为偶数，结合四个选项可知，m＝2.
3．已知α∈，若f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则实数α的值是( )
A．－1,3 B.，3
C．－1，，3 D.，，3
答案 B
解析 因为f(x)＝xα为奇函数，所以α∈.又f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增，所以α∈.
4．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
答案 D
解析 由A中图象知，a<0，c<0，－<0，所以b<0，与abc>0矛盾；由B中图象知，a<0，c>0，－>0，所以b>0，与abc>0矛盾；由C中图象知，a>0，c<0，－<0，所以b>0，与abc>0矛盾；由D中图象知，a>0，c<0，－>0，所以b<0，abc>0成立．
5．(2019·吉林省实验中学模拟)已知点(2,8)在幂函数f(x)＝xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
答案 A
解析 由点(2,8)在幂函数f(x)＝xn的图象上，可得2n＝8，解得n＝3，所以f(x)＝x3.所以f(x)在R上是增函数．因为0＜＜＜1＜ln π，所以f＜f＜f(ln π)，即a＜c＜b.
6．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(1)＝f(3)＞f(4)，则( )
A．a＞0,4a＋b＝0 B．a＜0,4a＋b＝0
C．a＞0,2a＋b＝0 D．a＜0,2a＋b＝0
答案 B
解析 因为f(1)＝f(3)，则直线x＝2为对称轴，故－＝2，则4a＋b＝0，又f(3)＞f(4)，所以f(x)在(2，＋∞)上为减函数，所以函数f(x)的图象开口向下，所以a＜0.
7．(2020·百色市摸底)已知函数f(x)＝x2＋x＋c，若f(0)>0，f(p)<0，则必有( )
A．f(p＋1)＞0
B．f(p＋1)＜0
C．f(p＋1)＝0
D．f(p＋1)的符号不能确定
答案 A
解析 该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x＝－.f(0)＝c＞0，即抛物线在y轴上的截距大于0.因为图象关于直线x＝－对称，所以f(－1)＝f(0)＞0.设f(x)＝0的两根为x1，x2，令x1＜x2，则－1＜x1＜x2＜0，根据图象知，x1＜p＜x2，故p＋1＞0，f(p＋1)＞0.
8．(2019·潍坊质检)已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a等于________．
答案
解析 设f(x)＝xα，则4α＝，所以α＝－.
因此f(x)＝x－，从而a－＝4(a＋3)－，解得a＝.
9．已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)＝4f(2)＝16，则函数f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝x2
解析 由题意可设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则f(4)＝16a＋c＝16,4f(2)＝4(4a＋c)＝16a＋4c＝16，所以a＝1，c＝0，故f(x)＝x2.
10．(2019·南阳模拟)设二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a的值为________．
答案 －3或
解析 此函数图象的对称轴为直线x＝－1，
当a>0时，图象开口向上，
所以当x＝2时取得最大值，即f(2)＝4a＋4a＋1＝4，
解得a＝；
当a<0时，图象开口向下，所以当x＝－1时取得最大值，即f(－1)＝a－2a＋1＝4，
解得a＝－3.故实数a的值为－3或.
组 能力关
1．函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值( )
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
答案 A
解析 ∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＞0，∴幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴解得m＝2，则f(x)＝x2015.
∵函数f(x)＝x2015在R上是奇函数，且为增函数，由a＋b>0，得a>－b，∴f(a)>f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)＋f(b)>0.故选A.
2．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，若对任意实数x1，x2都有f≥，则f(x)的图象可能是( )
答案 C
解析 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，则b＝0，图象关于y轴对称，所以排除A，D；对任意实数x1，x2都有f≥，所以函数f(x)为上凸函数，结合二次函数的性质可得实数a＜0，即排除B.故选C.
3．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k＝________.
答案
解析 设g(x)＝x2＋(2－k)x＋1.
设不等式g(x)≤0的解集为a≤x≤b.
则Δ＝(2－k)2－4≥0，解得k≥4或k≤0，
又因为函数f(x)＝x2＋2x＋1，且f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]恒成立；
所以(1，m]⊆[a，b]，所以a≤1，b≥m，所以g(1)＝4－k<0，解得k>4，m的最大值为b，所以有b＝5.
即x＝5是方程g(x)＝0的一个根，代入x＝5，
解得k＝.
4．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．
解 (1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，
故⇒⇒
当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，
故⇒⇒
故当a>0时，a＝1，b＝0，当a<0时，a＝－1，b＝3.
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.
g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，
∵g(x)在[2,4]上单调，∴≤2或≥4.
∴m≤2或m≥6.
故m的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．
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