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2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第2章第3讲 函数的奇偶性与周期性
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第3讲 函数的奇偶性与周期性
[考纲解读] 1.了解函数奇偶性的含义．
2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点)
3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(重点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点．预测2021年高考会侧重以下三点：①函数奇偶性的判断及应用；②函数周期性的判断及应用；③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
2．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．概念辨析
(1)“a＋b＝0”是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．( )
(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.( )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．( )
(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．( )
(5)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．( )
(6)若T为y＝f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z)也是函数f(x)的周期．( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)×
2．小题热身
(1)下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝x2sinx B．y＝x2cosx
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
答案 A
解析 A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数．
(2)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.
答案 －1
解析 因为f(x)是R上周期为2的函数，
所以f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，
所以f(3)－f(4)＝1－2＝－1.
(3)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
答案 －5
解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，
所以f(－2)＋f(0)＝－5.
(4)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.
答案 3
解析 因为函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，
因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以f(1)＝f(3)＝3.综上可知，f(－1)＝3.
(5)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．
答案 (－2,0)∪(2,5]
解析 因为函数f(x)是奇函数，所以其图象关于原点中心对称，作出其图如右，
观察图象可知，不等式f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
题型 一 函数的奇偶性
角度1 判断函数的奇偶性
1．(2020·成都市高三阶段考试)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
答案 D
解析 因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，由f(|－x|)＝f(|x|)，知①是偶函数；由f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，知②是奇函数；由y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝x是定义在R上的奇函数，奇×奇＝偶，知③是偶函数；由f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，知④是奇函数．
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(1－x) ；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解 (1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
∴f(x)＝＋＝0.
∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由≥0得－1≤x<1，
所以f(x)的定义域为[－1,1)，
所以函数f(x)是非奇非偶函数．
(3)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
又f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，
总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．
角度2 奇函数、偶函数性质的应用
3．(2019·衡水模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若x＞0时，f(x)＝xln x，则x＜0时，f(x)＝( )
A．xln x B．xln (－x)
C．－xln x D．－xln (－x)
答案 B
解析 设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－xln (－x)．又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝xln (－x)．
4．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2020的值为( )
A．1 B．2
C．22020 D．32020
答案 A
解析 由已知x∈R，f(x)＝＝＝＋1.令g(x)＝，易知g(x)为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值和为0，所以M＋N＝f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，所以(M＋N－1)2020＝1.
5．若f(x)＝ln (e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
答案 －
解析 解法一：因为f(x)＝ln (e3x＋1)＋ax是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(－x)＝ln (e－3x＋1)－ax＝ln －ax＝ln －ax＝ln (1＋e3x)－3x－ax＝ln (e3x＋1)＋ax，所以－3－a＝a，解得a＝－.
解法二：函数f(x)＝ln (e3x＋1)＋ax为偶函数，故f(－x)＝f(x)，
即ln (e－3x＋1)－ax＝ln (e3x＋1)＋ax，
化简得ln ＝2ax＝ln e2ax，即＝e2ax，
整理得e2ax＋3x＝1.
所以2ax＋3x＝0，解得a＝－.
1．判断函数奇偶性的三种方法
(1)定义法(如举例说明2)
(2)图象法
(3)性质法(如举例说明1(③)，4)
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数奇偶性的应用
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．如举例说明3.
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值．如举例说明5.
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．如举例说明4.
注意：对于定义域为I的奇函数f(x)，若0∈I，则f(0)＝0.
1．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)等于( )
A．－3 B．－
C. D．3
答案 A
解析 由已知得，f(0)＝20＋m＝0.
解得m＝－1.
当x≥0时，f(x)＝2x－1，
所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.
2．(2019·辽宁名校联考)函数y＝x2lg 的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于y轴对称
答案 B
解析 记f(x)＝x2lg ，定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．∵f(－x)＝(－x)2lg ＝x2lg ＝－x2lg ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，即函数y＝x2lg 的图象关于原点对称．
3．(2020·武汉十校联考)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )
A．ex－e－x B.(ex＋e－x)
C.(e－x－ex) D.(ex－e－x)
答案 D
解析 ∵f(x)＋g(x)＝ex，①
∴f(－x)＋g(－x)＝e－x，
又f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
∴f(x)－g(x)＝e－x，②
由①②解得g(x)＝.故选D.
题型 二 函数的周期性
1．(2019·温州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的最小正周期等于T，则下列函数的最小正周期一定等于的是( )
A．f(2x) B．f
C．2f(x) D．f(x2)
答案 A
解析 由已知得f(x＋T)＝f(x)，所以f(2x＋T)＝f(2x)，即f＝f(2x)，所以函数f(2x)的周期是；f＝f，即f＝f，所以函数f的周期是2T；2f(x＋T)＝2f(x)，所以函数2f(x)的周期是T.函数f(x2)不一定是周期函数．
2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝，当x∈[0，2)时，f(x)＝x＋ex，则f(2020)＝________.
答案 1
解析 因为定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝，
所以f(x＋4)＝＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为4.
当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋ex，
所以f(2020)＝f(505×4＋0)＝f(0)＝0＋e0＝1.
1．求函数周期的方法
方法
解读
适合题型
定义
法
具体步骤为：对于函数y＝f(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函数y＝f(x)的周期
非零常数T容易确定的函数，如举例说明1
递推
法
采用递推的思路进行，再结合定义确定周期．如：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期
含有f(x＋a)与f(x)的关系式，如举例说明2
换元
法
通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，则x＝t＋a，则f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期
f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式
2．函数周期性的应用
根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．如举例说明2.
1．(2019·绵阳模拟)函数f(x)＝则f(9)＝________.
答案 1
解析 f(9)＝f(9－4)＝f(5)＝f(5－4)＝f(1)＝2×1－1＝1.
2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．
答案 7
解析 因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，
∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个．
题型 三 函数性质的综合应用
角度1 单调性与奇偶性结合
1．(2019·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)单调递减，若f(2a)＞f(1－a)，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(2a)＞f(1－a)⇔f(|2a|)＞f(|1－a|)，又当x≥0时，f(x)单调递减，所以|2a|＜|1－a|，所以(2a)2＜(1－a)2，即3a2＋2a－1＜0，解得－1＜a＜.
角度2 周期性与奇偶性结合
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
答案 C
解析 因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且满足f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1＋x)＝－f(x－1)，f(x＋4)＝f[1－(x＋3)]＝f(－x－2)＝－f(x＋2)＝－f[1－(x＋1)]＝－f(－x)＝f(x)．所以f(x)是周期为4的函数．因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，因为f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，因为f(2)＝f(2－4)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2，故选C.
角度3 单调性、奇偶性和周期性结合
3．(2019·青岛二中模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋2)＝f(x)；②f(x－2)为奇函数；③当x∈[0，1)时，＞0(x1≠x2)恒成立，则f，f(4)，f的大小关系正确的是( )
A．f＞f(4)＞f
B．f(4)＞f＞f
C．f＞f(4)＞f
D．f＞f＞f(4)
答案 C
解析 由f(x＋2)＝f(x)可知函数f(x)的周期为2，所以f(x)＝f(x－2)，
又f(x－2)为奇函数，所以f(x)为奇函数，
所以f＝f＝f，
f(4)＝f(4－2×2)＝f(0)＝0.
f＝f＝f，
又x∈[0,1)时，f(x)单调递增．
故奇函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
所以f＞f(0)＞f，
即f＞f(4)＞f.
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性的综合．解此类问题常利用以下两个性质：①如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．如举例说明1.
(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．如举例说明2.
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所在的区间，然后利用单调性求解．如举例说明3.
1．已知函数f(x)＝(mx＋n)(x－1)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，则f(2－x)＞0的解集为( )
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 f(x)＝(x－1)(mx＋n)＝mx2＋(n－m)x－n.
∵函数f(x)＝(mx＋n)(x－1)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
即mx2＋(n－m)x－n＝mx2－(n－m)x－n，
得－(n－m)＝(n－m)，即n－m＝0，则m＝n，
则f(x)＝mx2－m，
∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴m＜0，
由f(2－x)＞0，得m(2－x)2－m＞0，
即(2－x)2－1＜0，得x2－4x＋3＜0，
得1＜x＜3，即不等式的解集为(1,3)．
2．(2019·广东珠海模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，f(x)＝－f(－x)，且在[0,1]上有f(x)＝x2，则f＝( )
A. B.
C．－ D．－
答案 D
解析 因为f(x)＝－f(－x)，所以f(x)是奇函数，
因为f(x)＝f(2－x)，
所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
所以f(4＋x)＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝f(x)，
所以函数f(x)是以4为周期的函数，
所以f＝f＝f
＝－f，
因为在[0,1]上有f(x)＝x2，
所以f＝2＝，
所以f＝－f＝－.
3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)
解析 因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝8，所以f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)，又因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)
组 基础关
1．(2019·武威模拟)下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝ex－e－x B．f(x)＝tanx
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝|x|
答案 A
解析 f(x)＝|x|是偶函数，排除D；f(x)＝x＋在(0，＋∞)上先减后增，排除C；f(x)＝tanx在(0，＋∞)上不是单调函数，排除B；f(x)＝ex－e－x符合题意．
2．函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能为( )
答案 A
解析 因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以y＝f(x)·g(x)为奇函数，排除B；由两函数的图象可知当x∈时，y＝f(x)·g(x)<0；当x∈时，y＝f(x)·g(x)>0，所以只有选项A符合题意，故选A.
3．(2020·烟台适应性练习)已知定义在R上的函数f(x)的周期为2，且满足f(x)＝若f＝f，则f(5a)等于( )
A. B．－
C. D.
答案 B
解析 由于函数f(x)的周期为2，所以f＝f＝－＋a，f＝f＝＝，所以－＋a＝，所以a＝，因此f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋＝－.故选B.
4．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 D
解析 ∵y＝f(x)＋x是偶函数，∴f(－x)＋(－x)＝f(x)＋x，∴f(－x)＝f(x)＋2x，令x＝2，则f(－2)＝f(2)＋4＝5，故选D.
5．(2019·成都模拟)若函数f(x)＝1－的图象关于原点对称，则实数a等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案 A
解析 由已知得，函数f(x)为奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即1－＋1－＝0,1－a＋1＋2a＝0，解得a＝－2.
6．(2019·合肥模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a，b，“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为f(x)是偶函数，所以f(|b|)＝f(b)．因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，a＞|b|≥0.所以f(a)＞f(|b|)＝f(b)．若f(a)＞f(b)．举反例f(－3)＝f(3)＞f(1)，而－3＜|1|.故由f(a)＞f(b)无法得到a＞|b|.所以“a＞|b|”是“f(a)＞f(b)”的充分不必要条件．
7．(2020·沈阳市高三质检)已知函数f(x)＝，实数a，b满足不等式f(2a＋b)＋f(4－3b)＞0，则下列不等关系恒成立的是( )
A．b－a＜2 B．a＋2b＞2
C．b－a＞2 D．a＋2b＜2
答案 C
解析 由题意知f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，又f(x)＝＝＝－1，所以f(x)在R上为减函数，由f(2a＋b)＋f(4－3b)＞0，得f(2a＋b)＞－f(4－3b)＝f(3b－4)，故2a＋b＜3b－4，即b－a＞2.故选C.
8．已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝lg x，则f的值为________．
答案 －lg 2
解析 由已知得f＝lg ＝－2.f(－2)＝－f(2)＝－lg 2，所以f＝－lg 2.
9．已知奇函数f(x)(x∈R)满足f(x＋4)＝f(x－2)，且当x∈[－3,0)时，f(x)＝＋3sinx，则f(2021)＝________.
答案 －4
解析 因为函数f(x)(x∈R)为奇函数满足f(x＋4)＝f(x－2)，所以f(x＋6)＝f(x)，
即函数f(x)是以6为周期的周期函数，
因为当x∈[－3,0)时，f(x)＝＋3sinx，
所以f(2021)＝f(337×6－1)＝f(－1)
＝＋3sin＝－4.
10．(2020·甘肃天水摸底)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[1,2]上的解析式是________．
答案 f(x)＝log2(3－x)
解析 因为f(x)是定义在R上以2为周期的函数，
当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)．
所以设x∈[1,2]，则x－2∈[－1,0]，2－x∈[0,1]．
所以f(2－x)＝log2[(2－x)＋1]＝log2(3－x)，
又f(x)为偶函数，
所以f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝log2(3－x)．
组 能力关
1．已知p：a＝±1，q：函数f(x)＝ln (x＋)为奇函数，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若函数f(x)＝ln (x＋)为奇函数，则f(－x)＋f(x)＝ln (－x＋)＋ln (x＋)＝ln a2＝0，解得a＝±1.所以p是q成立的充分必要条件．
2．已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a＞0)上的奇函数，若g(x)＝f(x)＋2019，则g(x)的最大值与最小值之和为( )
A．0 B．1
C．2019 D．4038
答案 D
解析 因为函数f(x)是定义在区间[－a，a]上的奇函数，所以f(x)max＋f(x)min＝0，所以g(x)max＋g(x)min＝[f(x)max＋2019]＋[f(x)min＋2019]＝f(x)max＋f(x)min＋4038＝4038.
3．(2019·南阳模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
答案 C
解析 若x∈[－2,0]，则－x∈[0,2]，∵当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，∴f(－x)＝－x－1，∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝－x－1＝f(x)，即当x∈[－2,0]时，f(x)＝－x－1，即在一个周期[－2,2]内，f(x)＝若x∈[2,4]，则x－4∈[－2,0]，即f(x)＝f(x－4)＝－(x－4)－1＝－x＋3，x∈[2,4]，作出函数f(x)在[－2,4]上的图象如图：
则当x∈[－1,3]时，不等式xf(x)>0等价为或即10在[－1,3]上的解集为(－1,0)∪(1,3)．
4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＜0，记a＝，b＝，c＝，则( )
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．c＜b＜a D．b＜c＜a
答案 A
解析 设00，得＞，所以函数g(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，
因此a＝＝g(4.10.2)＜g(1)，b＝＝g(0.42.1)>g(0.42)>g(0.5)，c＝＝g(log0.24.1)＝g(log4.1)＝g(－log54.1)＝g(log54.1)∈(g(1)，g(0.5))，即a
答案 1或－1
解析 令u(x)＝1－，根据函数f(x)＝x为偶函数，可知u(x)＝1－为奇函数，利用u(0)＝1－＝0，可得a2＝1，所以a＝1或a＝－1.
6．(2019·河北重点中学联考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2,0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：
①f(x)的图象关于点P(1,0)对称；②f(0)是函数f(x)的最大值；③f(x)在[2,3]上是减函数；④f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z.
其中正确的是________(正确的序号都填上)．
答案 ①②④
解析 因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点P(1,0)对称，所以①正确；由f(x＋2)＝－f(x)知，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(x0)＝f(4k＋x0)(k∈Z)，所以④正确；因为f(x)是以4为周期的函数，且在[－2,0]上是增函数，所以f(x)在[2,4]上也是增函数，因此③不正确；因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上的最大值是f(0)，又f(x)是以4为周期的函数，所以②正确．所以正确的判断是①②④.
第3讲 函数的奇偶性与周期性
[考纲解读] 1.了解函数奇偶性的含义．
2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点)
3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(重点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点．预测2021年高考会侧重以下三点：①函数奇偶性的判断及应用；②函数周期性的判断及应用；③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
2．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．概念辨析
(1)“a＋b＝0”是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．( )
(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.( )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．( )
(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．( )
(5)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．( )
(6)若T为y＝f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z)也是函数f(x)的周期．( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)×
2．小题热身
(1)下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝x2sinx B．y＝x2cosx
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
答案 A
解析 A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数．
(2)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.
答案 －1
解析 因为f(x)是R上周期为2的函数，
所以f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，
所以f(3)－f(4)＝1－2＝－1.
(3)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
答案 －5
解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，
所以f(－2)＋f(0)＝－5.
(4)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.
答案 3
解析 因为函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，
因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以f(1)＝f(3)＝3.综上可知，f(－1)＝3.
(5)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．
答案 (－2,0)∪(2,5]
解析 因为函数f(x)是奇函数，所以其图象关于原点中心对称，作出其图如右，
观察图象可知，不等式f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
题型 一 函数的奇偶性
角度1 判断函数的奇偶性
1．(2020·成都市高三阶段考试)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
答案 D
解析 因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，由f(|－x|)＝f(|x|)，知①是偶函数；由f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，知②是奇函数；由y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝x是定义在R上的奇函数，奇×奇＝偶，知③是偶函数；由f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，知④是奇函数．
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(1－x) ；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解 (1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
∴f(x)＝＋＝0.
∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由≥0得－1≤x<1，
所以f(x)的定义域为[－1,1)，
所以函数f(x)是非奇非偶函数．
(3)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
又f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，
总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．
角度2 奇函数、偶函数性质的应用
3．(2019·衡水模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若x＞0时，f(x)＝xln x，则x＜0时，f(x)＝( )
A．xln x B．xln (－x)
C．－xln x D．－xln (－x)
答案 B
解析 设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－xln (－x)．又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝xln (－x)．
4．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2020的值为( )
A．1 B．2
C．22020 D．32020
答案 A
解析 由已知x∈R，f(x)＝＝＝＋1.令g(x)＝，易知g(x)为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值和为0，所以M＋N＝f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，所以(M＋N－1)2020＝1.
5．若f(x)＝ln (e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
答案 －
解析 解法一：因为f(x)＝ln (e3x＋1)＋ax是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(－x)＝ln (e－3x＋1)－ax＝ln －ax＝ln －ax＝ln (1＋e3x)－3x－ax＝ln (e3x＋1)＋ax，所以－3－a＝a，解得a＝－.
解法二：函数f(x)＝ln (e3x＋1)＋ax为偶函数，故f(－x)＝f(x)，
即ln (e－3x＋1)－ax＝ln (e3x＋1)＋ax，
化简得ln ＝2ax＝ln e2ax，即＝e2ax，
整理得e2ax＋3x＝1.
所以2ax＋3x＝0，解得a＝－.
1．判断函数奇偶性的三种方法
(1)定义法(如举例说明2)
(2)图象法
(3)性质法(如举例说明1(③)，4)
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数奇偶性的应用
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．如举例说明3.
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值．如举例说明5.
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．如举例说明4.
注意：对于定义域为I的奇函数f(x)，若0∈I，则f(0)＝0.
1．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)等于( )
A．－3 B．－
C. D．3
答案 A
解析 由已知得，f(0)＝20＋m＝0.
解得m＝－1.
当x≥0时，f(x)＝2x－1，
所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.
2．(2019·辽宁名校联考)函数y＝x2lg 的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于y轴对称
答案 B
解析 记f(x)＝x2lg ，定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．∵f(－x)＝(－x)2lg ＝x2lg ＝－x2lg ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，即函数y＝x2lg 的图象关于原点对称．
3．(2020·武汉十校联考)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )
A．ex－e－x B.(ex＋e－x)
C.(e－x－ex) D.(ex－e－x)
答案 D
解析 ∵f(x)＋g(x)＝ex，①
∴f(－x)＋g(－x)＝e－x，
又f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
∴f(x)－g(x)＝e－x，②
由①②解得g(x)＝.故选D.
题型 二 函数的周期性
1．(2019·温州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的最小正周期等于T，则下列函数的最小正周期一定等于的是( )
A．f(2x) B．f
C．2f(x) D．f(x2)
答案 A
解析 由已知得f(x＋T)＝f(x)，所以f(2x＋T)＝f(2x)，即f＝f(2x)，所以函数f(2x)的周期是；f＝f，即f＝f，所以函数f的周期是2T；2f(x＋T)＝2f(x)，所以函数2f(x)的周期是T.函数f(x2)不一定是周期函数．
2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝，当x∈[0，2)时，f(x)＝x＋ex，则f(2020)＝________.
答案 1
解析 因为定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝，
所以f(x＋4)＝＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为4.
当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋ex，
所以f(2020)＝f(505×4＋0)＝f(0)＝0＋e0＝1.
1．求函数周期的方法
方法
解读
适合题型
定义
法
具体步骤为：对于函数y＝f(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函数y＝f(x)的周期
非零常数T容易确定的函数，如举例说明1
递推
法
采用递推的思路进行，再结合定义确定周期．如：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期
含有f(x＋a)与f(x)的关系式，如举例说明2
换元
法
通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，则x＝t＋a，则f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期
f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式
2．函数周期性的应用
根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．如举例说明2.
1．(2019·绵阳模拟)函数f(x)＝则f(9)＝________.
答案 1
解析 f(9)＝f(9－4)＝f(5)＝f(5－4)＝f(1)＝2×1－1＝1.
2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．
答案 7
解析 因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，
∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个．
题型 三 函数性质的综合应用
角度1 单调性与奇偶性结合
1．(2019·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)单调递减，若f(2a)＞f(1－a)，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(2a)＞f(1－a)⇔f(|2a|)＞f(|1－a|)，又当x≥0时，f(x)单调递减，所以|2a|＜|1－a|，所以(2a)2＜(1－a)2，即3a2＋2a－1＜0，解得－1＜a＜.
角度2 周期性与奇偶性结合
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
答案 C
解析 因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且满足f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1＋x)＝－f(x－1)，f(x＋4)＝f[1－(x＋3)]＝f(－x－2)＝－f(x＋2)＝－f[1－(x＋1)]＝－f(－x)＝f(x)．所以f(x)是周期为4的函数．因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，因为f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，因为f(2)＝f(2－4)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2，故选C.
角度3 单调性、奇偶性和周期性结合
3．(2019·青岛二中模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋2)＝f(x)；②f(x－2)为奇函数；③当x∈[0，1)时，＞0(x1≠x2)恒成立，则f，f(4)，f的大小关系正确的是( )
A．f＞f(4)＞f
B．f(4)＞f＞f
C．f＞f(4)＞f
D．f＞f＞f(4)
答案 C
解析 由f(x＋2)＝f(x)可知函数f(x)的周期为2，所以f(x)＝f(x－2)，
又f(x－2)为奇函数，所以f(x)为奇函数，
所以f＝f＝f，
f(4)＝f(4－2×2)＝f(0)＝0.
f＝f＝f，
又x∈[0,1)时，f(x)单调递增．
故奇函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
所以f＞f(0)＞f，
即f＞f(4)＞f.
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性的综合．解此类问题常利用以下两个性质：①如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．如举例说明1.
(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．如举例说明2.
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所在的区间，然后利用单调性求解．如举例说明3.
1．已知函数f(x)＝(mx＋n)(x－1)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，则f(2－x)＞0的解集为( )
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 f(x)＝(x－1)(mx＋n)＝mx2＋(n－m)x－n.
∵函数f(x)＝(mx＋n)(x－1)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
即mx2＋(n－m)x－n＝mx2－(n－m)x－n，
得－(n－m)＝(n－m)，即n－m＝0，则m＝n，
则f(x)＝mx2－m，
∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴m＜0，
由f(2－x)＞0，得m(2－x)2－m＞0，
即(2－x)2－1＜0，得x2－4x＋3＜0，
得1＜x＜3，即不等式的解集为(1,3)．
2．(2019·广东珠海模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，f(x)＝－f(－x)，且在[0,1]上有f(x)＝x2，则f＝( )
A. B.
C．－ D．－
答案 D
解析 因为f(x)＝－f(－x)，所以f(x)是奇函数，
因为f(x)＝f(2－x)，
所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
所以f(4＋x)＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝f(x)，
所以函数f(x)是以4为周期的函数，
所以f＝f＝f
＝－f，
因为在[0,1]上有f(x)＝x2，
所以f＝2＝，
所以f＝－f＝－.
3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)
解析 因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝8，所以f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)，又因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)
组 基础关
1．(2019·武威模拟)下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝ex－e－x B．f(x)＝tanx
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝|x|
答案 A
解析 f(x)＝|x|是偶函数，排除D；f(x)＝x＋在(0，＋∞)上先减后增，排除C；f(x)＝tanx在(0，＋∞)上不是单调函数，排除B；f(x)＝ex－e－x符合题意．
2．函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能为( )
答案 A
解析 因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以y＝f(x)·g(x)为奇函数，排除B；由两函数的图象可知当x∈时，y＝f(x)·g(x)<0；当x∈时，y＝f(x)·g(x)>0，所以只有选项A符合题意，故选A.
3．(2020·烟台适应性练习)已知定义在R上的函数f(x)的周期为2，且满足f(x)＝若f＝f，则f(5a)等于( )
A. B．－
C. D.
答案 B
解析 由于函数f(x)的周期为2，所以f＝f＝－＋a，f＝f＝＝，所以－＋a＝，所以a＝，因此f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋＝－.故选B.
4．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 D
解析 ∵y＝f(x)＋x是偶函数，∴f(－x)＋(－x)＝f(x)＋x，∴f(－x)＝f(x)＋2x，令x＝2，则f(－2)＝f(2)＋4＝5，故选D.
5．(2019·成都模拟)若函数f(x)＝1－的图象关于原点对称，则实数a等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案 A
解析 由已知得，函数f(x)为奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即1－＋1－＝0,1－a＋1＋2a＝0，解得a＝－2.
6．(2019·合肥模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a，b，“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为f(x)是偶函数，所以f(|b|)＝f(b)．因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，a＞|b|≥0.所以f(a)＞f(|b|)＝f(b)．若f(a)＞f(b)．举反例f(－3)＝f(3)＞f(1)，而－3＜|1|.故由f(a)＞f(b)无法得到a＞|b|.所以“a＞|b|”是“f(a)＞f(b)”的充分不必要条件．
7．(2020·沈阳市高三质检)已知函数f(x)＝，实数a，b满足不等式f(2a＋b)＋f(4－3b)＞0，则下列不等关系恒成立的是( )
A．b－a＜2 B．a＋2b＞2
C．b－a＞2 D．a＋2b＜2
答案 C
解析 由题意知f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，又f(x)＝＝＝－1，所以f(x)在R上为减函数，由f(2a＋b)＋f(4－3b)＞0，得f(2a＋b)＞－f(4－3b)＝f(3b－4)，故2a＋b＜3b－4，即b－a＞2.故选C.
8．已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝lg x，则f的值为________．
答案 －lg 2
解析 由已知得f＝lg ＝－2.f(－2)＝－f(2)＝－lg 2，所以f＝－lg 2.
9．已知奇函数f(x)(x∈R)满足f(x＋4)＝f(x－2)，且当x∈[－3,0)时，f(x)＝＋3sinx，则f(2021)＝________.
答案 －4
解析 因为函数f(x)(x∈R)为奇函数满足f(x＋4)＝f(x－2)，所以f(x＋6)＝f(x)，
即函数f(x)是以6为周期的周期函数，
因为当x∈[－3,0)时，f(x)＝＋3sinx，
所以f(2021)＝f(337×6－1)＝f(－1)
＝＋3sin＝－4.
10．(2020·甘肃天水摸底)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[1,2]上的解析式是________．
答案 f(x)＝log2(3－x)
解析 因为f(x)是定义在R上以2为周期的函数，
当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)．
所以设x∈[1,2]，则x－2∈[－1,0]，2－x∈[0,1]．
所以f(2－x)＝log2[(2－x)＋1]＝log2(3－x)，
又f(x)为偶函数，
所以f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝log2(3－x)．
组 能力关
1．已知p：a＝±1，q：函数f(x)＝ln (x＋)为奇函数，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若函数f(x)＝ln (x＋)为奇函数，则f(－x)＋f(x)＝ln (－x＋)＋ln (x＋)＝ln a2＝0，解得a＝±1.所以p是q成立的充分必要条件．
2．已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a＞0)上的奇函数，若g(x)＝f(x)＋2019，则g(x)的最大值与最小值之和为( )
A．0 B．1
C．2019 D．4038
答案 D
解析 因为函数f(x)是定义在区间[－a，a]上的奇函数，所以f(x)max＋f(x)min＝0，所以g(x)max＋g(x)min＝[f(x)max＋2019]＋[f(x)min＋2019]＝f(x)max＋f(x)min＋4038＝4038.
3．(2019·南阳模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
答案 C
解析 若x∈[－2,0]，则－x∈[0,2]，∵当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，∴f(－x)＝－x－1，∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝－x－1＝f(x)，即当x∈[－2,0]时，f(x)＝－x－1，即在一个周期[－2,2]内，f(x)＝若x∈[2,4]，则x－4∈[－2,0]，即f(x)＝f(x－4)＝－(x－4)－1＝－x＋3，x∈[2,4]，作出函数f(x)在[－2,4]上的图象如图：
则当x∈[－1,3]时，不等式xf(x)>0等价为或即1
4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＜0，记a＝，b＝，c＝，则( )
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．c＜b＜a D．b＜c＜a
答案 A
解析 设0
因此a＝＝g(4.10.2)＜g(1)，b＝＝g(0.42.1)>g(0.42)>g(0.5)，c＝＝g(log0.24.1)＝g(log4.1)＝g(－log54.1)＝g(log54.1)∈(g(1)，g(0.5))，即a
答案 1或－1
解析 令u(x)＝1－，根据函数f(x)＝x为偶函数，可知u(x)＝1－为奇函数，利用u(0)＝1－＝0，可得a2＝1，所以a＝1或a＝－1.
6．(2019·河北重点中学联考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2,0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：
①f(x)的图象关于点P(1,0)对称；②f(0)是函数f(x)的最大值；③f(x)在[2,3]上是减函数；④f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z.
其中正确的是________(正确的序号都填上)．
答案 ①②④
解析 因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点P(1,0)对称，所以①正确；由f(x＋2)＝－f(x)知，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(x0)＝f(4k＋x0)(k∈Z)，所以④正确；因为f(x)是以4为周期的函数，且在[－2,0]上是增函数，所以f(x)在[2,4]上也是增函数，因此③不正确；因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上的最大值是f(0)，又f(x)是以4为周期的函数，所以②正确．所以正确的判断是①②④.
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