2020版高考数学一轮复习课后限时集训33《基本不等式》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(三十三)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．(2018·武汉模拟)下列命题中正确的是(　　)

A．函数y=x＋的最小值为2

B．函数y=的最小值为2

C．函数y=2－3x－(x＞0)的最小值为2－4

D．函数y=2－3x－(x＞0)的最大值为2－4

D　[由x＞0知3x＋≥4，当且仅当3x=，即x=时等号成立，则2－3x－≤2－4，因此函数y=2－3x－(x＞0)的最大值为2－4，故选D.]

2．已知a＞0，b＞0，a＋b=2，则y=＋的最小值是(　　)

A．　　　B．4　　　C．　　　D．5

C　[由a＞0，b＞0，a＋b=2知＋==≥，当且仅当=，即b=2a=时等号成立，故选C．]

3．(2018·太原模拟)已知x，y为正实数，则＋的最小值为(　　)

A． B．

C． D．3

D　[＋=＋－1≥3，

当且仅当=，即x=3y时，等号成立．故选D.]

4．若a>b>1，P=，Q=(lg a＋lg b)，R=lg，则(　　)

A．R<P<Q B．Q<P<R

C．P<Q<R D．P<R<Q

C　[∵a>b>1，∴lg a>lg b>0，

(lg a＋lg b)>，

即Q>P.∵>，∴lg>lg=(lg a＋lg b)=Q，即R>Q，∴P<Q<R.]

5．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)

A．80元 B．120元

C．160元 D．240元

C　[设容器底面矩形的长和宽分别为a和b，容器的总造价为y元，则ab=4，y=4×20＋10×2(a＋b)=20(a＋b)＋80，∵a＋b≥2=4(当且仅当a=b=2时等号成立)，∴y≥160，故选C．]

二、填空题

6．(2017·山东高考)若直线＋=1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．

8　[∵直线＋=1(a>0，b>0)过点(1,2)，

∴＋=1，

∴2a＋b=(2a＋b)=4＋＋≥4＋2=8，

当且仅当=，即a=2，b=4时，等号成立．

故2a＋b的最小值为8.]

7．(2019·徐州模拟)已知正数a，b满足2a2＋b2=3，则a的最大值为________．

　[a=×a≤×(2a2＋b2＋1)=×(3＋1)=，

当且仅当a=，且2a2＋b2=3，

即a2=1，b2=1时，等号成立．

故a的最大值为.]

8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=__________吨．

20　[每次都购买x吨，则需要购买次．

∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，

∴一年的总运费与总存储费用之和为4×＋4x万元．

∵4×＋4x≥160，当且仅当4x=时取等号，

∴x=20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]

三、解答题

9．(1)当x<时，求函数y=x＋的最大值；

(2)设0<x<2，求函数y=的最大值．

[解]　(1)y=(2x－3)＋＋

=－＋.

当x<时，有3－2x>0，

∴＋≥2=4，

当且仅当=，即x=－时取等号．

于是y≤－4＋=－，故函数的最大值为－.

(2)∵0<x<2，∴2－x>0，

∴y==·≤·=，当且仅当x=2－x，即x=1时取等号，

∴当x=1时，函数y=的最大值为.

10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy=0，求：

(1)xy的最小值；

(2)x＋y的最小值．

[解]　(1)由2x＋8y－xy=0，得＋=1，

又x>0，y>0，

则1=＋≥2 =，得xy≥64，

当且仅当x=16，y=4时，等号成立．

所以xy的最小值为64.

(2)由2x＋8y－xy=0，得＋=1，

则x＋y=·(x＋y)=10＋＋

≥10＋2 =18.

当且仅当x=12且y=6时等号成立，

所以x＋y的最小值为18.

B组　能力提升

1．已知x，y均为正实数，且＋=，则x＋y的最小值为(　　)

A．24 B．32

C．20 D．28

C　[∵x，y均为正实数，且＋=，

则x＋y=(x＋2＋y＋2)－4=6(x＋2＋y＋2)－4=6－4≥6×2＋2－4=20，当且仅当x=y=10时取等号．

∴x＋y的最小值为20.]

2．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．

4　[∵a，b∈R，ab>0，

∴≥=4ab＋≥2=4，

当且仅当即时取得等号．

故的最小值为4.]

3．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/千克、b元/千克，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3千克鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠)________．(在横线上填甲或乙即可)

乙　[甲购买产品的平均单价为=，乙购买产品的平均单价为=.

∵－=≥0，且两次购买的单价不同，

∴a≠b，∴－＞0，

∴乙的购买方式的平均单价较小．故答案为乙．]

4．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，C(x)=x2＋10x(单位：万元)．当年产量不少于80千件时，C(x)=51x＋－1 450(单位：万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：千件)的函数解析式；

(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

[解]　(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得，当0＜x＜80时，L(x)=(0.05×1 000x)－x2－10x－250=－x2＋40x－250；

当x≥80时，L(x)=(0.05×1 000x)－51x－＋1 450－250=1 200－，

则L(x)=

(2)当0＜x＜80时，L(x)=－(x－60)2＋950，

此时，当x=60时，L(x)取得最大值L(60)=950.

当x≥80时，L(x)=1 200－≤1 200－2=1 200－200=1 000，当且仅当x=时，即x=100时，L(x)取得最大值1 000.

因为950＜1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为1 000万元．