2020版高考数学一轮复习课后限时集训35《归纳与类比》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(三十五)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(　　)

A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数

B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数

C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数

D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数

B　[A中小前提不正确，C，D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以A，C，D都不正确，只有B的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确．]

2．观察下列事实：|x|＋|y|=1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|=2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|=3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|=20的不同整数解(x，y)的个数为(　　)

A．76　　　B．80　　　C．86　　　D．92

B　[观察已知事实可知，|x|＋|y|=20的不同整数解(x，y)的个数为20×4=80，故选B.]

3．(2019·湖南师大附中模拟)已知an=logn＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列算式：

a1·a2=log23·log34=·=2；

a1a2a3a4a5a6=log23·log34…log78=·…=3；

若a1a2…am=2 016(m∈N*)，则m的值为(　　)

A．22 016＋2 B．22 016

C．22 016－2 D．22 016－4

C　[因为a1a2…am=log23log34…logm＋1(m＋2)=·…==2 016，所以有log2(m＋2)=2 016，m=22 016－2，选C．]

4．(2019·新余模拟)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋=x求得x=.类似上述过程，则=(　　)

A．3 B．

C．6 D．2

A　[由题意结合所给的例子类比推理可得，=x(x≥0)，

整理得(x＋1)(x－3)=0，则x=3，

即=3.故选A．]

5．老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：

甲说：“我们四人都没考好”；

乙说：“我们四人中有人考的好”；

丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；

丁说：“我没考好”．

结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是(　　)

A．甲、丙 B．乙、丁

C．丙、丁 D．乙、丙

D　[甲、乙两人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确，故选D.]

二、填空题

6．已知点A(x1，x)，B(x2，x)是函数y=x2的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论＞2成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数y=sin x(x∈(0，π))的图像上任意不同的两点，则类似地有结论________成立．

＜sin 　[函数y=sin x(x∈(0，π))的图像上任意不同的两点A，B，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的下方，类比可知应有＜sin .]

7．(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

①男学生人数多于女学生人数；

②女学生人数多于教师人数；

③教师人数的两倍多于男学生人数．

(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；

(2)该小组人数的最小值为________．

6　12　[(1)若教师人数为4，则男学生人数小于8，最大值为7，女学生人数最大时应比男学生人数少1人，所以女学生人数的最大值为7－1=6.

(2)设男学生人数为x(x∈N*)，要求该小组人数的最小值，则女学生人数为x－1，教师人数为x－2.又2(x－2)>x，解得x>4，即x=5，该小组人数的最小值为5＋4＋3=12.]

8．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．

则n级分形图中共有________条线段．

3×2n－3　[由题图知，

一级分形图有3=3×2－3条线段，

二级分形图有9=3×22－3条线段，

三级分形图有21=3×23－3条线段，

…

按此规律，n级分形图中的线段条数an=3×2n－3(n∈N*)．]

三、解答题

9．设f(x)=，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．

[证明]　f(0)＋f(1)=＋

=＋=＋=，

同理可得：f(－1)＋f(2)=，

f(－2)＋f(3)=，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.

归纳猜想得：当x1＋x2=1时，

均有f(x1)＋f(x2)=.

证明：设x1＋x2=1，

f(x1)＋f(x2)=＋

==

===.

10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin213°＋cos217°－sin13°cos 17°；

②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；

③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；

④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；

⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

[解]　(1)选择②式，计算如下：

sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°=1－sin 30°

=1－=.

(2)法一：三角恒等式为

sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)=.

证明如下：

sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)

=sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)

=sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α

=sin2α＋cos2α=.

法二：三角恒等式为

sin2 α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)=.

证明如下：

sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)

=＋－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)

=－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α

=－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)

=1－cos 2α－＋cos 2α=.

B组　能力提升

1．平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形对角线的条数为(　　)

A．42　　　B．65　　　C．143　　　D．169

B　[可以通过列表归纳分析得到．

∴凸13边形有2＋3＋4＋…＋11==65条对角线．故选B.]

2．(2019·南昌模拟)平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，则斜边长为，直角顶点到斜边的距离为，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为，则三棱锥顶点到底面的距离为(　　)

A． B．

C． D．

C　[设三棱锥两两垂直的三条侧棱长度为a，b，c，三棱锥顶点到底面的距离为d，由题意可得：

××c=××d，据此可得：d=，且ab=2S1，ac=2S2，bc=2S3，故：a2b2c2=8S1S2S3，abc=2，则d==，故选C．]

3．甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换．三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同．”乙说：“我读的第二本书与甲读的第一本书相同．”根据以上说法，推断乙读的最后一本书是________读的第一本书．

丙　[因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书．]

4．对于三次函数f(x)=ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y=f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)=x3－x2＋3x－，请你根据这一发现，

(1)求函数f(x)的对称中心；

(2)计算f＋f＋f＋f＋…＋f.

[解]　(1)f′(x)=x2－x＋3，f″(x)=2x－1，由f″(x)=0，即2x－1=0，解得x=.f=×3－×2＋3×－=1.由题中给出的结论，可知函数f(x)=x3－x2＋3x－的对称中心为.

(2)由(1)知函数f(x)=x3－x2＋3x－的对称中心为，所以f＋f=2，

即f(x)＋f(1－x)=2.

故f＋f=2，

f＋f=2，

f＋f=2，

…

f＋f=2.

所以f＋f＋f＋f＋…＋f=×2×2 018=2 018.