2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第八章第三节空间点、直线、平面之间的位置关系

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系

一、基础知识批注——理解深一点

1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，

有且只有一个平面.

 (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

2．空间中两直线的位置关系

(1)空间中两直线的位置关系

 (2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，

经过空间任一点O作直线

a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的

锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成

的角(或夹角)．

②范围：.

(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.

(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

二、常用结论汇总——规律多一点

1．公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．

2．异面直线判定的一个定理

过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．

3．唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

三、基础小题强化——功底牢一点

　(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)

(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　)

(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　)

(4)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

 (二)选一选

1．在空间中，可以确定一个平面的条件是(　　)

A．两两相交的三条直线

B．三条直线，其中的一条与另外两条分别相交

C．三个点

D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点

答案：D

2．下列说法正确的是(　　)

A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线

B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面

C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面

D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面

答案：D

3．以下四个命题中，正确命题的个数是(　　)

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

A．0　　　　　　　　　　 B．1

C．2   D．3

解析：选B　①显然是正确的，可用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图，显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故正确的个数为1.

 (三)填一填

4．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________(填序号)．

①P∈a，P∈α⇒a⊂α；

②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；

③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；

④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.

答案：③④

5.如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则

(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；

(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．

解析：(1)若四边形EFGH为菱形，

则EF＝EH，∵EF綊AC，EH綊BD，∴AC＝BD.

(2)若四边形EFGH为正方形，

则EF＝EH且EF⊥EH，

∵EF綊AC，EH綊BD，

∴AC＝BD且AC⊥BD.

答案：(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD

 [典例]　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点．

[证明]　(1)如图，连接EF，CD1，A1B.

∵E，F分别是AB，AA1的中点，

∴EF∥A1B.

又A1B∥D1C，

∴EF∥CD1，

∴E，C，D1，F四点共面．

(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，

∴CE与D1F必相交，

设交点为P，如图所示．

则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

∴P∈DA，

∴CE，D1F，DA三线共点．

 [变透练清]

1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　)

解析：选D　A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．

2.若本例中平面BB1D1D与A1C交于点M，求证：B，M，D1共线．

证明：连接BD1(图略)，因为BD1与A1C均为正方体ABCD­A1B1C1D1的对角线，故BD1与A1C相交，

则令BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1共线，因为BD1⊂平面BB1D1D，

故A1C与平面BB1D1D的交点为O，与M重合，故B，M，D1共线．

[解题技法]

1．证明点共线问题的常用方法

2．证明线共点问题的常用方法

先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．

3．证明点、直线共面问题的常用方法

[典例]　(1)(2019·郑州模拟)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)

A．相交或平行　　　　　　 B．相交或异面

C．平行或异面   D．相交、平行或异面

(2)G，N，M，H分别是下图中正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是________．(填序号)

[解析]　(1)如图，取平面ABCD为α，平面ABFE为β.若直线CH为a，则a在α，β内的射影分别为CD，BE，此时CD，BE异面，即b，c异面，排除A；若直线GH为a，则a在α，β内的射影分别为CD，EF，此时CD，EF平行，即b，c平行，排除B；若直线BH为a，则a在α，β内的射影分别为BD，BE，此时BD，BE相交，即b，c相交，排除C.综上所述选D.

(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．

[答案]　(1)D　(2)②④

[解题技法]

[题组训练]

1．下列结论中正确的是(　　)

①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；

②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内；

③一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交；

④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.

A．①②③　　　　　　　　　 B．②④

C．③④   D．②③

解析：选B　①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②显然正确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确．故选B.

2.如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确结论的序号为________．

解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．

答案：③④

1．(2019·衡阳模拟)若直线l与平面α相交，则(　　)

A．平面α内存在直线与l异面

B．平面α内存在唯一一条直线与l平行

C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直

D．平面α内的直线与l都相交

解析：选A　当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C错误，平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A.

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)

A．相交　　　　　　　　　　 B．异面

C．平行   D．垂直

解析：选A　由BC綊AD，AD綊A1D1，知BC綊A1D1，

从而四边形A1BCD1是平行四边形，

所以A1B∥CD1，

又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，

故A1B与EF相交．

3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)

A．必要不充分条件   B．充分不必要条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选B　直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则由“直线a和直线b相交”可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选B.

4.设四棱锥P­ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α(　　)

A．不存在

B．只有1个

C．恰有4个

D．有无数多个

解析：选D　设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相交，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．

5．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么(　　)

A．点P必在直线AC上   B．点P必在直线BD上

C．点P必在平面DBC内   D．点P必在平面ABC外

解析：选A　如图，因为EF⊂平面ABC，而GH⊂平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．

6.如图，在平行六面体ABCD  ­A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．

解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．

答案：5

7．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面PAD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD的交线是________．

解析：由题易知EF∥BC，BC∥AD，所以EF∥AD，故EF∥平面PAD，因为EF∥AD，所以E，F，A，D四点共面，所以AD为平面AEF与平面ABCD的交线．

答案：平行　AD

8.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，有以下四个结论．

①EF与GH平行；

②EF与GH异面；

③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；

④EF与GH的交点M一定在直线AC上．

其中正确结论的序号为________．

解析：如图所示．连接EH，FG，

依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，

故EH∥FG，所以E，F，G，H共面．

因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，

所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，

故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，

所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，

又AC是这两个平面的交线，

所以点M一定在直线AC上．

答案：④

9.如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．

(1)AM和CN是否共面？说明理由；

(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．

解：(1)AM和CN共面，理由如下：

连接MN，A1C1，AC.

∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点，

∴MN∥A1C1.

又∵A1A綊C1C，

∴四边形A1ACC1为平行四边形，

∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，

∴AM和CN在同一平面内．

(2)D1B和CC1是异面直线．

理由如下：

假设D1B与CC1不是异面直线，

则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，

∴D1，B，C，C1∈α，与ABCD­A1B1C1D1是正方体矛盾，

∴假设不成立，∴D1B与CC1是异面直线．

10.如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C，D，F，E四点是否共面？说明理由．

解：(1)证明：因为FG＝GA，FH＝HD，所以GH綊AD，

又因为BC綊AD，所以GH綊BC，

所以四边形BCHG是平行四边形．

(2)C，D，F，E四点共面，理由如下：

法一：由BE綊AF，G为FA中点知BE綊GF，

所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG.

由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，

所以EF与CH共面．

又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面．

法二：延长FE，DC分别与AB交于点M，M′(图略)．

因为BE綊AF，所以B为MA的中点．

因为BC綊AD，所以B为M′A的中点．

所以M与M′重合，即FE与DC交于点M(M′)，

所以C，D，F，E四点共面．