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初中数学人教版九年级上册24.2.1 点和圆的位置关系教学设计
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这是一份初中数学人教版九年级上册24.2.1 点和圆的位置关系教学设计，共9页。教案主要包含了直线与圆的位置关系及判定，切线的判定定理，切线的性质定理，切线长定理，选择题．等内容，欢迎下载使用。
知识要点梳理：
点与圆的位置关系及判定：
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：
①点P在圆外d>r ②点P在圆上d=r ③点P在圆内d
二、不在同一直线上的三个点确定一个圆
也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．
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a
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b
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三、直线与圆的位置关系及判定：
设⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，
①直线L和⊙O相交d
②线L和⊙O相切d=r，如图（b）所示；
③直线L和⊙O相离d>r，如图（c）所示．
四、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
五、切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径
六、切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
切线证明的常用方法：
1、圆的切线的判定方法有三种：
①．定义法：直线l 与圆只有唯一的公共点
②．距离法：圆心O与直线l 的距离d=r
③．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的证明方法：
①．圆与直线的公共点没有标明字母，则过圆心作直线的垂线段为辅助线，再证垂线段的长等于半径的长。简记为：作垂直，证半径。
②．圆与直线的公共点标明字母，则连这个点和圆心得到辅助半径，再证所作半径与这条直线垂直。简记为：连半径，证垂直。
类型一： 有切点，连半径，证垂直
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上．求证：直线AD是⊙O的切线．
变式练习：
例：如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=．求证：BC是⊙O的切线；
类型二：无切点，作垂直，证半径
例：如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．求证：直线PB也与⊙O相切；
经典例题：
例1．如图，PA，PB分别为⊙O的切线，AC为直径，切点分别为A、B，∠P=70°，则∠C=
例2．如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？
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B
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A
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C
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D
例3．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．
（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．
例4.如图：是⊙O的直径，是弦，，延长到点， 使得．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，求的长．
例5.如图，在中，，是上一点，以为圆心，为半径的圆与交于点，与切于点D，AD=2，AE=1，求。(提示：设半径列方程)
例6、如下图，A城气象台测得台风中心在城正西方向320千米的B处，并以每小时40千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域．
(1)A城是否会受到这次台风的影响?为什么?
(2)若A城受到这次台风的影响，试计算A城遭受这次台风
影响的时间有多长?
经典练习：
一、选择题．
1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；
⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
则它的外心与顶点C的距离为（ ）．
A．2.5 B．2.5cm C．3cm D．4cm
3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC=4，AC=3，CD平分∠ACB，则弦AD长为（ ）
A． B． C． D．3
4．如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的直径为8cm，AB=10cm，那么OA的长是（ ）
A． B．
5．下列说法正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线． B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线; D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
6．已知⊙O分别与△ABC的BC边，AB的延长线，AC的延长线相切，则∠BOC等于（ ）
A．（∠B+∠C） B．90°+∠A
C．90°-∠A D．180°-∠A
7.平面直角坐标系中，点A（3，4），以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=－x的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
8．如图，已知PA切⊙O于A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题
1．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD
交于D点，若AB=10，AC=8，则DC长为________．
2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，
弦AB与PO交于C，⊙O半径为1，PO=2，则PA=_______，
PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．
3．如图，设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=________，∠BOC=________．
4．如图，⊙M与x轴相交于点A（2，0），B（8，0），与y轴相切于点C，则圆心M的坐标是_______．
三、解答题．
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连结BD，并延长至E，连结AD，若AB=AC，
∠ADE=65°，试求∠BOC的度数．
2．如图，以的直角边为直径的半圆，与斜边交于，是边上的中点，连结.
（1）与半圆相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若、的长是方程的两个根，求直角边的长。
3．如图，AB是半圆⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长．
4.已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．
四、综合提高题
1.如图23-4，梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，以AD为直径的交AB于E，⊙O的切线EF交BC于F，求证：(1)；（2）。
课后巩固：
1．经过一点P可以作_______个圆；经过两点P、Q可以作________个圆，圆心在_________上；经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆， 圆心是______________________的交点．
2．边长为a的等边三角形外接圆半径为_______，圆心到边的距离为________．
3．直角三角形的外心是______的中点，锐角三角形外心在三角形______，钝角三角形外心在三角形
4．△ABC中，AB=1，AC、BC是关于x的一元二次方程（m+5）x2-（2m-5）x+12=0两个根，外接圆O
的面积为，求m的值．
5．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．
6.（广州）24.如图，⊙是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作线段OD⊥AB于点D，延长DO交⊙于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于点F，连接PF。
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求证：OD=OE； （3）求证：PF是⊙的切线。
备用题
（点与圆的位置）
1.在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，4），B（－3，－3），C（4，）。试判断A、B、C三点与⊙O的位置关系。
2.一个已知点到圆周上的点的最大距离为，最小距离为，则此圆的半径为______．
切线的证明
1.如图，中，，是的中点，以为圆心的圆与相切于点。求证：是⊙O的切线。
2.如图，已知是的直径，为的切线，切点为，平行于弦， 。
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）求的值；
（3）若，求CD的长。
知识要点梳理：
点与圆的位置关系及判定：
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：
①点P在圆外d>r ②点P在圆上d=r ③点P在圆内d
二、不在同一直线上的三个点确定一个圆
也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．
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三、直线与圆的位置关系及判定：
设⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，
①直线L和⊙O相交d
②线L和⊙O相切d=r，如图（b）所示；
③直线L和⊙O相离d>r，如图（c）所示．
四、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
五、切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径
六、切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
切线证明的常用方法：
1、圆的切线的判定方法有三种：
①．定义法：直线l 与圆只有唯一的公共点
②．距离法：圆心O与直线l 的距离d=r
③．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的证明方法：
①．圆与直线的公共点没有标明字母，则过圆心作直线的垂线段为辅助线，再证垂线段的长等于半径的长。简记为：作垂直，证半径。
②．圆与直线的公共点标明字母，则连这个点和圆心得到辅助半径，再证所作半径与这条直线垂直。简记为：连半径，证垂直。
类型一： 有切点，连半径，证垂直
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上．求证：直线AD是⊙O的切线．
变式练习：
例：如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=．求证：BC是⊙O的切线；
类型二：无切点，作垂直，证半径
例：如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．求证：直线PB也与⊙O相切；
经典例题：
例1．如图，PA，PB分别为⊙O的切线，AC为直径，切点分别为A、B，∠P=70°，则∠C=
例2．如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？
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例3．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．
（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．
例4.如图：是⊙O的直径，是弦，，延长到点， 使得．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，求的长．
例5.如图，在中，，是上一点，以为圆心，为半径的圆与交于点，与切于点D，AD=2，AE=1，求。(提示：设半径列方程)
例6、如下图，A城气象台测得台风中心在城正西方向320千米的B处，并以每小时40千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域．
(1)A城是否会受到这次台风的影响?为什么?
(2)若A城受到这次台风的影响，试计算A城遭受这次台风
影响的时间有多长?
经典练习：
一、选择题．
1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；
⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
则它的外心与顶点C的距离为（ ）．
A．2.5 B．2.5cm C．3cm D．4cm
3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC=4，AC=3，CD平分∠ACB，则弦AD长为（ ）
A． B． C． D．3
4．如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的直径为8cm，AB=10cm，那么OA的长是（ ）
A． B．
5．下列说法正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线． B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线; D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
6．已知⊙O分别与△ABC的BC边，AB的延长线，AC的延长线相切，则∠BOC等于（ ）
A．（∠B+∠C） B．90°+∠A
C．90°-∠A D．180°-∠A
7.平面直角坐标系中，点A（3，4），以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=－x的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
8．如图，已知PA切⊙O于A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题
1．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD
交于D点，若AB=10，AC=8，则DC长为________．
2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，
弦AB与PO交于C，⊙O半径为1，PO=2，则PA=_______，
PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．
3．如图，设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=________，∠BOC=________．
4．如图，⊙M与x轴相交于点A（2，0），B（8，0），与y轴相切于点C，则圆心M的坐标是_______．
三、解答题．
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连结BD，并延长至E，连结AD，若AB=AC，
∠ADE=65°，试求∠BOC的度数．
2．如图，以的直角边为直径的半圆，与斜边交于，是边上的中点，连结.
（1）与半圆相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若、的长是方程的两个根，求直角边的长。
3．如图，AB是半圆⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长．
4.已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．
四、综合提高题
1.如图23-4，梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，以AD为直径的交AB于E，⊙O的切线EF交BC于F，求证：(1)；（2）。
课后巩固：
1．经过一点P可以作_______个圆；经过两点P、Q可以作________个圆，圆心在_________上；经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆， 圆心是______________________的交点．
2．边长为a的等边三角形外接圆半径为_______，圆心到边的距离为________．
3．直角三角形的外心是______的中点，锐角三角形外心在三角形______，钝角三角形外心在三角形
4．△ABC中，AB=1，AC、BC是关于x的一元二次方程（m+5）x2-（2m-5）x+12=0两个根，外接圆O
的面积为，求m的值．
5．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．
6.（广州）24.如图，⊙是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作线段OD⊥AB于点D，延长DO交⊙于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于点F，连接PF。
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求证：OD=OE； （3）求证：PF是⊙的切线。
备用题
（点与圆的位置）
1.在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，4），B（－3，－3），C（4，）。试判断A、B、C三点与⊙O的位置关系。
2.一个已知点到圆周上的点的最大距离为，最小距离为，则此圆的半径为______．
切线的证明
1.如图，中，，是的中点，以为圆心的圆与相切于点。求证：是⊙O的切线。
2.如图，已知是的直径，为的切线，切点为，平行于弦， 。
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）求的值；
（3）若，求CD的长。
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