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    人教版九年级上册数学讲义 第15讲 圆之垂径定理
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    初中数学24.1.2 垂直于弦的直径教案

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    这是一份初中数学24.1.2 垂直于弦的直径教案,共7页。

    知识要点梳理:


    (1)圆的定义: 在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”.


    圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形.


    (2)圆的弦与弧的定义


    ①连接圆上任意两点的线段叫做弦,如图线段AC,AB;


    ②经过圆心的弦叫做直径,如图线段AB;


    ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,“以A、C为端点的弧记作”,


    读作“圆弧”或“弧AC”.大于半圆的弧(如图所示叫做优弧,


    小于半圆的弧(如图所示)或叫做劣弧.


    ④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.


    (3)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线,也是中心对称图形,对称中心为圆心。


    (4)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.


    (5)垂径定理推论:


    推论1、①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。


    ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.


    ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.


    推论2、圆的两条平行弦所夹的弧相等。


    垂径定理及推论1中的三条可概括为四点:(1)经过圆心 (2)垂直弦 (3)平分弦(4)平分弧


    以上四点已知其中的任意两点,都可以推得其他两点.





    经典例题:


    例1.设AB=3 cm,作图说明满足下列要求的图形.


    (1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形.


    (2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形.
































    例2.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中,点O是的圆心,其中弦CD=600m,E为上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.


























    例3、如图所示,AB为的直径,弦CD与AB相交,AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E、F,


    求证:CE=DF












































    例4、如图,已知在中,,AB=3cm,AC=4cm,以点A为圆心,AC长为半径画圆弧交CB的延长线于点D,求CD的长。












































    例5、如图所示,的直径AB=15cm,有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动(点C与点A,点D与B不重合),且CE⊥CD交AB于E,DF⊥CD交AB于F。


    (1)求证:AE=BF


    (2)在动弦CD滑动的过程中,四边形CDFE的面积是否为定值?若是定值,请给证明,并求出这个定值,若不是,请说明理由。






































    经典练习:


    1、已知⊙O的半径r=2cm, 当OP 时,点P在⊙O上;当OA=1cm时,点A在 ;当OB=4cm时,点B在





    2.圆弧形拱桥的跨度是12米,拱高是4米,则拱桥圆弧所在圆的直径是 。13





    3.已知的半径为2㎝,弦AB长,则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )


    A.1㎝ B、2cm C、 D、


    4.已知一条弦把圆周分成3:1的两部分,若半径为R,那么弦长为( )


    A、R B、2R C、 D、


    5.如图1 ,的半径为6cm,AB、CD为两弦,且AB⊥CD,垂足为E,


    若CE=3cm,DE=7cm,则AB的长为( )


    A、10cm B、8cm C、 D、














    6.有下列判断:①直径是圆的对称轴;②圆的对称轴是一条直径;③直径平分弦与弦所对的弧;④圆的对称轴有无数条。其中正确的判断有( )


    A、0个 B、1个 C、2个 D、3个














    7.如图2,同心圆中,大圆的弦AD交小圆于B、C若AD=4,BC=2,圆心O到AB的距离等于1,


    那么两个同心圆的半径之比为( )


    A、3:2 B、 C、 D、5:4





    8.等腰三角形腰长为4cm,底角为,则外接圆直径为( )


    A、2cm B、4cm C、6cm D、8cm





    9.如图4,AB为⊙O直径,E是中点,OE交BC于点D,BD=3,AB=10,


    则AC=_________.


    图5


    图4























    10.P为⊙O内一点,OP=3cm,⊙O半径为5cm,则经过P点的最短弦长为________; 最长弦长为_______.


    11.如图5,OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距,如果OE=OF,那么_______________(只需写一个正确的结论)


    12.如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长.











    13.有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图24-5所示,正常水位下水面宽AB=60m,水面到拱顶距离CD=18m,拱顶距水面不得小于3.5米,当洪水泛滥时,水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施?请说明理由.


























    14.如图,已知⊙O1和⊙O2是等圆,直线CF顺次交这两个圆于C、D、E、F,且CF交O1O2于点M,CD=EF,O1M和O2M相等吗?为什么?






































    课后练习:


    1.如图1,如果AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,那么下列结论中,错误的是( ).


    A.CE=DE B. C.∠BAC=∠BAD D.AC>CD





    (1) (2) (3)


    2.如图2,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是( )


    A.4 B.6 C.7 D.8


    3.如图3,在⊙O中,P是弦AB的中点,CD是过点P的直径,则下列结论中不正确的是( )


    A.AB⊥CD B.∠AOB=4∠ACD C. D.PO=PD





    4、已知P为内一点,且OP=d,如果的半径是r,那么过P点的最短的弦等于( )


    A、 B、


    C、 D、





    5、一个点到圆的最小距离为4cm,最大距离为9cm,则该圆的半径是( )


    A、2.5㎝或6.5㎝ B、2.5㎝ C、6.5㎝ D、5或13㎝











    6、如图,半圆的直径AB=4,O为圆心,半径,F为的中点,弦过且,则弦的长为多少?
































    7、如图所示,已知的半径为10cm,P是直径AB上一点,弦CD过点P,CD=16cm,过点A和B分别向CD引垂线AE和BF,求AE-BF的值。(延长FO)






































    8.⊙O的直径为50cm,弦AB∥CD,且AB=40cm,CD=48cm,求弦AB和CD之间的距离.






































    备用题


    1.在圆O中,弦AB=8,P为AB上一点,AP=2,则经过点P的最短弦长为





























    2.如图所示,在圆O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC=





























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