【精品讲义】 人教版 八年级上册数学 第17讲 期末复习二（讲义+练习）教师版

这是一份初中数学本册综合一等奖教学设计，共28页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。




第17讲


讲























期末复习二












































概 述














【教学建议】


1.通过系统化、条理化的复习，回顾各章的基础知识和基本方法，同时加强整个学期知识间的联系，使学生能理清所学，查漏补缺，真正落实掌握所学内容；


2.加强学生的审题、阅读、观察、计算、画图、抽象概括、逻辑推理、动手操作等技能；


3.渗透函数与方程、转化与化归、分类与整合、数形结合等数学思想方法；


4.帮助学生揭示解题规律，归纳解题方法，进一步提高学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力；


5.培养学生自己复习的能力，提高应试能力和综合素质。





【知识导图】














教学过程








一、导入








【教学建议】


导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。


导入的方法很多，仅举两种方法：


情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；


温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。


提供一个教学设计供讲师参考：


复习预习


求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。例如这个表达式中，a是底数，n是指数，又读作a的n次幂


乘方的性质：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是零，例如(-1)2=1,(-1)-1=-1等。


问题：光的速度约为3×105 千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102 秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?


解答：(3×105 )×(5×102 )=(3×5)×()=15×


如果将上式中的数字改为字母，即，我们可以得到





根据上式总结出单项式与单项式相乘的方法


问题：三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品，它们在一个月内的销售量(单位：瓶)，分别是a,b,c。请用不同方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入


一种方法是先求三家连锁店的总销售量，再求总收入，即总收入为m(a+b+c),另一种方法是先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，即总收入为ma+mb+mc,所以：


m(a+b+c)= ma+mb+mc ,根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法


问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米，求扩地以后的面积是多少？ 用两种方法表示扩大后绿地的面积。





方法一：这块花园现在长(a+b)米，宽(m+n)米，因而面积为(a+b)(m+n)平方米．


方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：am米2、an米2、 bm米2、bn米2，故这块绿地的面积为(am+an+bm+bn)米2． (a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一块绿地的面积，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，根据上式总结出多项式与多项式相乘的方法

















二、知识讲解








考点1 幂的乘除运算








【教学建议】通过前面的引导，得到单调函数的定义，建议用三种语言对比的形式来加深理解；得到增函数的定义后，可以让学生来类比写出减函数的定义：


同底数幂的乘法法则：一般地，对于任何底数a与任何正整数m、n，


=


因此我们有am﹒an=am+n（m，n都是正整数）


即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。


注意：（1）三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用。即 (m，n，...,p都是正整数)


（2）不要忽略指数为1的因数


（3）底数不一定只是一个数字或一个字母


注意法则的逆用，即（m，n都是正整数）





幂的乘方的的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘。


幂的乘方法则：一般的，对于任意底数a与任意正整数m，n，因此，我们有(am)n=amn（m，n都是正整数）


即幂的乘方，底数不变，指数相乘。


注意：(1)法则可推广为[(am)n]p=amnp（m，n,p都是正整数）


(2)此法则可以逆用amn=(am)n=(an)m（m，n都是正整数）





积的乘方法则：一般的，对于任意底数a,b与任意正整数n，





因此，可得出（n是正整数）


即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。


注意：(1)三个或三个以上因式的积的乘方，也具有这一性质.例如(abc)n=anbncn


(2)此法则可逆用：


同底数幂的除法法则：一般地，我们有（a≠0,m，n都是正整数，并且m>n），即同底数幂相除，底数不变，指数相减。


注意：


（1）底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0，则除数为零，除法就没有意义了


（2）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如（a≠0,m，n，p是正整数，并且m>n+p）


（3）应用这一法则时，必须明确底数是什么，指数是什么，然后按照同底数幂除法法则进行计算


（4）同底数幂的除法和同底数幂的乘法是互为逆运算





零指数幂的性质：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如，根据除法的意义可知所得的商为1，另一方面，如果按照同底数幂的除法来计算，又有





于是规定：a0=1（a≠0）


即任何不等于0的数的0次幂都等于1


注意：任何一个常数都可以看作与字母0次方的积，因此常数项可以看作是0次单项式








考点2 整式乘法








单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的乘法法则，即


单项式与单项式相乘的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。


单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为m(a+b+c)= ma+mb+mc(m,a,b,c都是单项式)


多项式与多项式相乘的乘法法则: 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn


乘法公式


（1）整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.


两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.





（2）整式乘法的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.


两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.








考点3 因式分解








（1）因式分解的定义


（2）因式分解的方法：① 提公因式法 ② 公式法 (平方差, 完全平方) *③ 十字相乘法 *④ 分组分解法


（3）注意事项:


① 因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式;


② 因式分解要进行到不能再分解为止;


③ 因式分解的步骤：先提公因式，再运用公式。


（4）数学思想方法: ① 转化思想; ② 整体思想 ; ③ 数学方法: 换元法, 配方法.








考点4 分式与分式方程








分式的概念：形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中 A


叫做分式的分子,B叫做分式的分母.


在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式中，a≠0；


分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。


用式子表示 其中A、B、C为整式（）


分式的值为0


分式的值若想为零，必须保证分式有意义，所以要求分子为零而分母不为零


若分式的值为正，则分子、分母同号（同为正或同为负），即：


若，则或。


若分式的值为负，则分子、分母异号（一正一负），即：


若，则或。


分式的乘法法则:与分数的乘法法则类似，我们得到分式的乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．


符号表示： ．


说明：


分式与分式相乘时，若分子和分母都是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再相乘。


（2）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式的分母看作1）与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变，当然能约分的要约分。





分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．


符号表示： ．


说明：


（1）当分式的分子与分母都是单项式时，运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。


（2）当分子与分母都是多项式时：运算步骤是：


①把各个分式的分子与分母分解因式；


②把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘；


③约分，得到计算结果.


分式的乘方：几个相同分式的积的运算叫做分式的乘方。法则：分式的乘方，等于把分式的分子、分母分别乘方。


符号表示：（为正整数）。


说明：


（1）分式的乘方，必须把分式加上括号。


（2）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘、除，有多项式时应先分解因式，再约分。


同分母分式的加减法则


同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；


符号表示： ．


说明：


同分母分式相加减时应注意：


①当分式的分子是多项式时，应先添括号，再去括号合并同类项，从而避免符号错误。


②分式的分子相加减后，若结果为多项式，应先考虑因式分解后与分母约分，将结果化为最简分式或整式。


异分母分式的加减法则


异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．


说明：


异分母分式相加减时应注意：


①把异分母的分式化成同分母的分式，在这个过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等；


②通分的根据是分式的基本性质，分母需要乘“什么”，分子也必须随之乘“什么”；分式的分子、分母同时乘的整式是最简公分母除以分母所得的商。


符号表示：


分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。


解分式方程


解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程.具体做法是 “去分母”.即方程 两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般思路和做法.


解分式方程的步骤


①去分母


方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号。


②按解整式方程的步骤


移项，若有括号应去括号,注意变号,合并同类项，把系数化为1 求出未知数的值;


③验根


求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根.


验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。


由增根求参数值的步骤


确定增根


将原分式方程化为整式方程


将增根代入变形后的整式方程，求出参数值


分式方程应用的步骤：(1)审清题意


(2)设未知数；


(3)根据题目中的相等关系，列出分式方程


(4)解分式方程；


(5)验根，先检验是否是增根，再检验是否符合题意．


（6）写出答案


分式方程的类型：营销类、工程类、行程类、浓度类，其中营销问题及行程问题中航行问题、总工作量为单位1的工程问题。








三 、例题精析








类型一 幂的相关运算





例题1








计算(1)； (2)； (3)





【解析】题（1）中把a+3看成一个整体，同样适用于同底数幂的乘法法则；题(2)中第二个


幂的底数与其它两个互为相反数，通过幂的运算转化为同底数后后进行计算；题（3）同题（2）一样底数互为相反数，通过幂的乘方符号法则转化运算转化成同底数幂后运用同底数


幂的运算法则进行计算。


(1)


(2)


(3)





【总结与反思】


（1）同底数幂相乘时，底数可以是单项式，也可以是多项式


（2）幂的运算中经常用到的变形


，











例题2








【教学建议】本题有一定难度，需要灵活处理幂的相关运算，不要思维定式。


(1)若,则=________.(2)已知，则=_______.





【解析】(1)am=2,an=5,am+n=am﹒an=2×5=10


(2)3y=4，则3y+2=3y﹒32=4×9=36


【总结与反思】此例题运用了同底数幂的乘法法则，将所求转化为同底数幂的乘法然后整体代入求值，体现了整体思想的应用。





类型二 乘法公式





例题1








计算(1)（2x+3）2 (2)(a-2b)2





【解析】此题直接应用完全平方公式计算即可。


(1)（2x+3）2=(2x)2+2﹒2x﹒3+32=4x2+12x+9


(2)(a-2b)2=a2-2﹒a﹒2b+(2b)2=a2-4ab+4b2





【总结与反思】掌握完全平方公式特征。





例题2








计算


（1）（a-2b）（2b+a）


（2）（3x-2y）（-3x-2y）


（3）（5mn-3mn）（-3mn-5mn）


【解析】直接运用平方差公式解答即可。


（1）（a-2b）（2b+a）=（a-2b）（a+2b）=a2-4b2


（2）（3x-2y）（-3x-2y）=（-2y+3x）（-2y-3x）=4y2-9x2


（3）（5mn-3mn）（-3mn-5mn）=（-3mn+5mn）（-3mn-5mn）=9m2n2-25m2n2





【总结与反思】 掌握平方差公式特征。





类型三 因式分解





例题1








将下列各式分解因式


(1)2x2－4x (2)8m2n+2mn


(3)a2x2y－axy2(4)3x3－3x2－9x





【解析】(1)2x2－4x =2x(x-2) (2)8m2n+2mn=2mn(4m+1)


(3)a2x2y－axy2=axy(ax-1) (4)3x3-3x2-9x =3x(x2-x-3)





【总结与反思】 利用提取公因式法进行因式分解，关键是找出各题的公因式，提取公因式，把其余部分写成单项式加减的形式即可








类型四 分式及分式方程





例题1








计算：．





【解析】原式＝＝


＝ ＝.





【总结与反思】遵循分式化简步骤，因式分解是前提，注意通分、约分、化简。








例题2





乙分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行．甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样二人恰好在AB中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人速度．


【解析】设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为（x+0.5)千米/小时。


根据题意，得


解得 x=4.5．


经检验，x=4.5是这方程的解．当时，


答：甲速度为5千米/小时，乙速度为4.5千米/小时．


【总结与反思】根据题意可知，等量关系为时间相等，时间=路程/速度，列式求解即可。





四 、课堂运用








基础








若式子(x-2)0有意义，求x的取值范围





计算（1）104×102 （2）（3）





约分（1）； （2）





计算（1） （2）


（3） （4）（m为正整数）





答案与解析





1. 【答案】x-2≠0，x≠2


【解析】由零指数幂的意义可知，只要底数不等于零即可





2. 【答案】（1）104×102=


（2）


（3）


【解析】三个题中，每个题中幂的底数都相同，根据同底数幂的运算法则同底数幂相乘，底


数不变，指数相加计算即可。





3.【答案】解（1）＝－＝－.


（2）＝＝.


【解析】 分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去.为此，首先要找出分子与分母的公因式.在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式.


约分后，分子与分母不再有公因式. 分子与分母没有公因式称为最简分式.





4. 【答案】（1） （2）


（3） （4）（m为正整数）


【解析】根据同底数幂的除法法则即同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可。








巩固








如果x2-2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m=______．





计算(1)1022 (2)982





解方程：．





将下列各式分解因式


(1)(2a-3b)(7x+y)+(x-5y)(3b-2a) (2)(x-2y)(2x+3y)-2(2y-x)(5x-y)





答案与解析





1. 【答案】-3或1


【解析】∵x2-2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴-2（m+1）=±4，则m=-3或1．





2.【答案】(1)1022=(100+2)2=10000+400+4=10404


(2)982=(100-2)2=10000-400+4=9604


【解析】根据数的特征，将底数转化为一个大数和一个小数和或差的形式，然后利用完全平方公式计算比较简便。





3. 【答案】


【解析】方程两边乘以，得


.


解得 .


检验：当时，．


所以， 原分式方程的解为．


4.【答案】


(1)(2a-3b)(7x+y)+(x-5y)(3b-2a) =(2a-3b)[(7x+y)-(x-5y)]=(2a-3b)(7x+y-x+5y)


=(2a-3b)(6x+6y) (2)(x-2y)(2x+3y)-2(2y-x)(5x-y)=(x-2y)[2x+3y+2(5x-y)]=(x-2y)(2x+3y+10x-2y)


=(x-2y)(12x+y)


【解析】】利用提取公因式法进行因式分解，关键是找出各题的公因式,提取公因式，同时注意符号的变化，结果一定要化简，即合并同类项。








拔高








对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（ ）


A．3 B．6 C．10 D．9





分式的值为正数的条件是（ ）


A．x＜2B．x＜2且x≠-1C．-1＜x＜2





通分：（1）；（2）








答案与解析


1.【答案】C


【解析】（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）=9n2-1-(9-n2)=9n2-1-9+n2=10n2-10=10（n2-1）


n是正整数，10（n2-1）为10的整数倍，所以能被10整除。


2. 【答案】B


【解析】已知分母为非负数，要使分式为正数，则应让分子大于0，分母不为0即可．根据题意得：2-x＞0，（x+1）2≠0，∴x＜2且x≠-1，





3. 【答案】（1）


（2）


【解析】(1)先确定分母与 的最简公分母是。然后乘以一个适当的整式。


(2)先确定分母的最简公分母是








五 、课堂小结








1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am﹒an=am+n（m，n都是正整数）


2.幂的乘法法则：即幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(am)n=amn（m，n都是正整数），


3.积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)n=anbn（n是正整数）


4. 分式定义; 分式有无意义的条件; 分式的值为零（或其它特殊值）的条件.


5. 分式的基本性质、符号法则.


6. 通分、约分.


7. 最简分式.


8. 分式的乘、除、乘方及加减法法则; 整数指数幂; 运算结果要化为整式或最简分式.


9. 解分式方程的基本思路是把分式方程化为整式方程, 转化的途径是“去分母”


一般步骤:①去分母, 把分式方程化为整式方程; ②解这个整式方程;


③检验; 检验是解分式方程必要的步骤


10. 列分式方程解实际问题的基本步骤: 审、设、列、解、验（先检验是否是方程的根, 再验是否符合题意）、答


11. 全等三角形


全等三角形的判定和性质


角平分线的性质


12. 轴对称


轴对称及轴对称图形的概念及性质


线段的垂直平分线的性质


画轴对称图形


用坐标表示轴对称


等腰三角形的判定及性质


等边三角形的判定及性质


利用轴对称和平移等知识确定最短路径





六 、课后作业

















基础








下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？


（1）； （2）； （3）； （4）；(5)0；（6）





已知，求.





计算（1）3xy2÷;（2）÷





解分式方程


解：








答案与解析


1. 【答案】属于整式的有：（2）、（4）.(5)；属于分式的有：（1）、（3）（6）


【解析】根据分式的定义，分式的分母必须含有字母。注意：中不要化简








2. 【答案】=ax÷ay=6÷2=3 =a2x÷ay=(ax)2÷ay=62÷2=36÷2=18


【解析】根据同底数幂的除法的逆用及幂的乘方法则即可计算出结果





3. 【答案】解：（1）÷=·==x2;


（2）÷=×=


==


【解析】


（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算


（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路.





4.【答案】解：方程两边都乘以，约去分母，得


．


解这个整式方程，得 ．


经检验是原分式方程的解．


所以，原分式方程的解为．





【解析】解分式方程，不要漏检验。





巩固











当取什么值时，下列分式有意义？


（1）； （2）. (3)


计算(1)3x2﹒4x (2)2xy2﹒6x2y





已知，求的值．


解：





某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）。


（1）从运输开始，每天运输的货物吨数（单位：吨）与运输时间（单位：天）之间有怎样的函数关系式？


（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数。








答案与解析


1. 【答案】 (1)≠1 (2)≠-


【解析】要使分式有意义，必须且只须分母不等于零.


（1）分母≠0，即≠1.所以，当≠1时，分式有意义.


分母2≠0，即≠-.所以，当≠-时，分式有意义.





2. 【答案】(1)3x2﹒4x=3×4﹒x2+1=12x3


(2)2xy2﹒6x2y=2×6﹒x1+2y2+1=12x3y3


【解析】直接运用单项式与单项式相乘的乘法法则计算即可。





3. 【答案】


=


=


=


=


当时，原式=．


【解析】化简求值，先化简再求值，整体代入。





4. 【答案】解：（1）∵每天运量×天数=总运量，∴nt=4000。


∴。


（2）设原计划x天完成，


根据题意得：，


解得：x=4。


经检验：x=4是原方程的根。


答：原计划4天完成。


【解析】


（1）根据每天运量×天数=总运量即可列出函数关系式。


（2）根据“实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务”列出方程求解即可。








拔高











如果是完全平方式，那么a的值是（ ）


A.18． B.． C.． D.．





（1）已知，则= ；


（2）已知，则= ．


北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24


届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．





答案与解析


1.【答案】D


【解析】完全平方公式有两个，注意二倍乘积项有两种情况，答案为D.


2.【答案】（1）； （2）．


【解析】化简求值。





3.【答案】270千米/时


【解析】设普通快车的平均行驶速度为x千米/时,则高铁列车的平均行驶速度为1.5x千米/时．


根据题意得．


解得 ．


经检验，是所列分式方程的解，且符合题意．


∴．


答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时．








七 、教学反思




















适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方


2、单项式乘以单项式；单项式乘以多项式；多项式乘以多项式


3、同底数幂的除法；零指数指数幂
教学目标
1、整式乘法的公式灵活应用


2、乘法公式的应用


3、掌握因式分解


4、掌握分式的基本概念，性质，及基本运算


5、掌握分式方程的计算及实际应用问题
教学重点
整式乘法的公式灵活应用；乘法公式的应用；掌握因式分解；掌握分式的基本概念，性质，及基本运算；掌握分式方程的计算及实际应用问题
教学难点
同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的综合应用；多项式与多项式相乘的乘法法则的运用；理解零指数指数幂的意义；乘法公式的熟练使用；分式的概念，计算及分式方程的解法