人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式第1课时学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式第1课时学案设计，共10页。学案主要包含了公式三和公式四等内容，欢迎下载使用。

5.3 诱导公式


第1课时 公式二、公式三和公式四








南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现自己的和谐之美．而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系．圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形．





南京眼的桥身的完美对称 辽宁生命之环的完美对称


问题：观察单位圆，回答下列问题：


(1)角α与角π＋α的终边有什么关系？


(2)角α与角π＋α的终边与单位圆的交点P，P1有什么对称关系？


(3)在(2)中，点P，P1的坐标有什么关系？


提示：(1)在一条直线上，方向相反；(2)关于原点对称；(3)横、纵坐标都互为相反数．





1．公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．





(2)公式：sin(π＋α)＝－sin α，


cs(π＋α)＝－cs α，


tan(π＋α)＝tan α.


2．公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．





(2)公式：sin(－α)＝－sin α，


cs(－α)＝cs α，


tan(－α)＝－tan α.


3．公式四(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．





(2)公式：sin(π－α)＝sin α，


cs(π－α)＝－cs α，


tan(π－α)＝－tan α.


思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？


(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？


提示：(1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.


(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)公式二～四对任意角α都成立．( )


(2)由公式三知cs[－(α－β)]＝－cs(α－β)．( )


(3)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．( )


[提示] (1)错误，关于正切的三个公式中α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.


(2)由公式三知cs[－(α－β)]＝cs(α－β)，


故cs[－(α－β)]＝－cs(α－β)是不正确的．


(3)因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，


所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.


[答案] (1)× (2)× (3)√


2．如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是( )


①sin α＝sin β；②sin α＝－sin β；③cs α＝－cs β；④cs α＝cs β；⑤tan α＝－tan β.


A．1 B．2


C．3 D．4


C [因为α＋β＝π，


所以sin α＝sin(π－β)＝sin β，


故①正确，②错误；


cs α＝cs(π－β)＝－cs β，


故③正确，④错误；


tan α＝tan(π－β)＝－tan β，⑤正确．


故选C.]


3．tan 315°＝ .


－1 [tan 315°＝tan(360°－45°)


＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.]


4．已知tan α＝3，则tan(π＋α)＝ .


3 [tan(π＋α)＝tan α＝3.]








【例1】 利用公式求下列三角函数值：


(1)cs 225°；(2)sineq \f(8π,3)；


(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16π,3)))；(4)tan(－2 040°)．


[解] (1)cs 225°＝cs(180°＋45°)


＝－cs 45°＝－eq \f(\r(2),2)；


(2)sineq \f(8π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(2π,3)))


＝sineq \f(2π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))


＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)；


(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16π,3)))＝－sineq \f(16π,3)


＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5π＋\f(π,3)))


＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－sin\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),2)；


(4)tan(－2 040°)＝－tan 2 040°


＝－tan(6×360°－120°)


＝tan 120°＝tan(180°－60°)


＝－tan 60°＝－eq \r(3).





利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤


1“负化正”——用公式一或三来转化；


2“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；


3“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；


4“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.





eq \([跟进训练])


1．计算：(1)cseq \f(π,5)＋cseq \f(2π,5)＋cseq \f(3π,5)＋cseq \f(4π,5)；


(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)．


[解] (1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,5)＋cs\f(4π,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,5)＋cs\f(3π,5)))


＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\f(π,5)＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,5)))))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,5)＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(2π,5)))))


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,5)－cs\f(π,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,5)－cs\f(2π,5)))＝0.


(2)原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]


＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin(180°－66°)


＝sin 66°－sin 66°＝0.





【例2】 (1)已知sin(α－360°)－cs(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cs(180°－α)等于( )


A.eq \f(m2－1,2) B．eq \f(m2＋1,2)


C.eq \f(1－m2,2) D．－eq \f(m2＋1,2)


(2)已知cs(α－75°)＝－eq \f(1,3)，且α为第四象限角，求


sin(105°＋α)的值．


[思路点拨] (1)eq \x(化简已知和所求三角函数式)


→eq \x(根据sin α±cs α，sin αcs α的关系求值)


(2)eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1( \x(105°＋α－α－75°＝180°),\x(csα－75°＝－\f(1,3)，α为第四象限角)))→


eq \x(求sinα－75°)→eq \x(用sin180°＋α＝－sin α求值)


(1)A [sin(α－360°)－cs(180°－α)


＝sin α＋cs α＝m，


sin(180°＋α)cs(180°－α)＝sin αcs α


＝eq \f(sin α＋cs α2－1,2)＝eq \f(m2－1,2).]


(2)[解] ∵cs(α－75°)＝－eq \f(1,3)＜0，且α为第四象限角，


∴sin(α－75°)＝－eq \r(1－cs2α－75°)


＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))eq \s\up12(2))＝－eq \f(2\r(2),3)，


∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]


＝－sin(α－75°)＝eq \f(2\r(2),3).





1．例2(2)条件不变，求cs(255°－α)的值．


[解] cs(255°－α)＝cs[180°－(α－75°)]


＝－cs(α－75°)＝eq \f(1,3).


2．将例2(2)的条件“cs(α－75°)＝－eq \f(1,3)”改为“tan(α－75°)＝－5”，其他条件不变，结果又如何？


[解] 因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角，


所以α－75°是第四象限角．


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin2α－75°＋cs2α－75°＝1，,\f(sinα－75°,csα－75°)＝－5，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinα－75°＝－\f(5\r(26),26)，,csα－75°＝\f(\r(26),26)))


或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinα－75°＝\f(5\r(26),26)，,csα－75°＝－\f(\r(26),26).))(舍)


所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]


＝－sin(α－75°)＝eq \f(5\r(26),26).





解决条件求值问题的两技巧


1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.


2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.


提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.








[探究问题]


1．利用诱导公式化简sin(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？


提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．


当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α；


当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.


2．利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？


提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tan α可知tan(kπ＋α)＝tan α.(其中k∈Z)．


【例3】 设k为整数，化简：


eq \f(sinkπ－αcs[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]cskπ＋α).


[思路点拨] 本题常用的解决方法有两种：


①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．


[解] 法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，


则原式＝eq \f(sin2mπ－αcs[2m－1π－α],sin[2m＋1π＋α]cs2mπ＋α)


＝eq \f(sin－αcsπ＋α,sinπ＋αcs α)


＝eq \f(－sin α－cs α,－sin αcs α)＝－1；


当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.


法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cs[(k－1)π－α]＝cs[(k＋1)π＋α]＝－cs(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，


sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．


所以原式＝eq \f(－sinkπ＋α[－cskπ＋α],－sinkπ＋αcskπ＋α)＝－1.





三角函数式化简的常用方法


1合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.


②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.


2切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.


提醒：注意分类讨论思想的应用.





eq \([跟进训练])


2．化简：(1)eq \f(tan2π－αsin－2π－αcs6π－α,csα－πsin5π－α)；


(2)eq \f(sin1 440°＋α·cs1 080°－α,cs－180°－α·sin－α－180°).


[解] (1)原式＝eq \f(－tan αsin－αcs－α,csπ－αsinπ－α)


＝eq \f(tan α·sin α·cs α,－cs α·sin α)


＝－tan α.


(2)原式


＝eq \f(sin4×360°＋α·cs3×360°－α,cs180°＋α·[－sin180°＋α])


＝eq \f(sin α·cs－α,－cs α·sin α)


＝eq \f(cs α,－cs α)＝－1.








1．掌握3组公式


诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”．或者简述为“函数同名，象限定号”．


2．会用3个步骤


利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：








1．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)))等于( )


A．－eq \f(\r(3),3) B．eq \f(\r(3),3)


C．－eq \r(3) D．eq \r(3)


C [taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(2π,3)))＝taneq \f(2π,3)


＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))＝－taneq \f(π,3)＝－eq \r(3).]


2．已知sin(π＋α)＝eq \f(3,5)，且α是第四象限角，那么cs(α－π)的值是( )


A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5)


C．±eq \f(4,5) D．eq \f(3,5)


B [因为sin(π＋α)＝－sin α＝eq \f(3,5)，所以sin α＝－eq \f(3,5).


又α是第四象限角，所以cs α＝eq \f(4,5)，


所以cs(α－π)＝cs(π－α)＝－cs α＝－eq \f(4,5).]


3．求值：(1)sineq \f(2π,3)＝ .


(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,6)))＝ .


(1)eq \f(\r(3),2) (2)－eq \f(\r(3),2) [(1)sineq \f(2π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).


(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,6)))＝cseq \f(7π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6)))＝－cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2).]


4.eq \f(cs－585°,sin 495°＋sin－570°)的值等于 ．


eq \r(2)－2 [原式＝eq \f(cs360°＋225°,sin360°＋135°－sin360°＋210°)


＝eq \f(cs180°＋45°,sin180°－45°－sin180°＋30°)


＝eq \f(－cs 45°,sin 45°－－sin 30°)＝eq \f(－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2)＋\f(1,2))


＝eq \r(2)－2.]


5．化简(1)eq \f(sin540°＋α·cs－α,tanα－180°)；


(2)eq \f(sin2π＋αcs－π＋α,cs－αtan α).


[解] (1)eq \f(sin540°＋α·cs－α,tanα－180°)


＝eq \f(sin180°＋α·cs α,tan α)


＝eq \f(－sin α·cs α,tan α)＝－cs2α.


(2)eq \f(sin2π＋αcs－π＋α,cs－αtan α)


＝eq \f(sin α－cs α,cs αtan α)


＝－cs α.


学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法．


2．能够准确记忆公式二、公式三和公式四．(重点、易混点)


3．掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．(难点)
1.借助公式进行运算，培养数学运算素养．


2．通过公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养.
给角求值问题
给值(式)求值问题
利用诱导公式化简问题