数学必修 第一册5.3 诱导公式优秀学案设计

第五章 三角函数

5.3诱导公式

【课程标准】

1. 能借助单位圆推导诱导公式
2. 了解三角函数的诱导公式的意义和作用
3. 能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题。

【知识要点归纳】

1.诱导公式

诱导公式一：，，，其中

诱导公式二：， ，，其中

诱导公式三：，   ，，其中

诱导公式四：，  ，，其中

诱导公式五：，，其中

诱导公式六：，，其中

2.对诱导公式的理解

(1)要化的角的形式为(为常整数)；

(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；

(3)；.

记忆口诀

记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.

【经典例题】

例1．求下列各三角函数的值：

（1）；          （2）

【解析】（1）原式=

（2）原式===

【变式】（1）；      （2）；      （3）tan（－855°）．

【解析】（1）

．

（2）．

（3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1．

例2．已知函数，其中a、b、、都是非零实数，

又知=－1，求．

【解析】

．

∵f（2009）=－1    ∴．

∴．

【变式1】已知角α为第四象限角，且.

（1）   求sinα+cosα的值；    （2）求的值．

【解析】（1）由题知：，则．

（2）原式．

【变式2】已知，，

且0＜＜π，0＜＜π，求和的值．

【解析】由已知得，．两式平方相加，消去，

得，∴，而，∴，∴或

当时，，又，∴；

当时，，又，∴．

故，或，．

例3．化简：(1)；   (2).

【解析】(1)原式；

(2)  ①当时，原式.

②当时，原式.

例4．设，求证：．

【证明】由，得，

∴左边

=右边，∴等式成立．

【变式1】设A、B、C为的三个内角，求证：

（1）；

（2）；

【解析】（1）左边==右边，等式得证．

（2）左边===右边，等式得证．

【变式2】在△ABC中，①sin（A+B）+sinC；②cos（B+C）+cosA；③tantan；④，

其中恒为定值的是（　　）

   A、②③      B、①②      C、②④      D、③④

  【解析】选A  解：sin（A+B）+sinC=sin（π﹣c）+sinC=2sinC，不是定值．排除①；

cos（B+C）+cosA=cos（π﹣A）+cosA=﹣cosA+cosA=0②符合题意；

tantan=tan（﹣）tan=cottan=1③符合；

=sinsin=sin2不是定值．④不正确．

例5．

（1）化简；

（2）若是第三象限角，且，求的值；

（3）若=－1860°，求的值．

【解析】（1）∵

                   ；

（2）∵，∴，

又是第三象限角，∴，∴；

（3）∵=－1860°，

∴．

【当堂检测】

一．选择题（共4小题）

1．已知，则下列等式恒成立的是　　

A． B． 

C． D．

2．若为任意角，则满足的一个值为　　

A．2 B．4 C．6 D．8

3．函数，且的图象恒过定点，且点在角的终边上，则　　

A． B． C． D．

4．已知，则　　

A． B． C． D．

二．解答题（共4小题）

5．若为第二象限角，，

（1）求的值；

（2）若，求的值．

6．（1）求的值．

（2）已知，求值．

7．计算：

（1）；

（2）．

8．已知．

（1）若，求值；

（2）若为第三象限角，且，求的值．

当堂检测答案

一．选择题（共4小题）

1．已知，则下列等式恒成立的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】利用诱导公式化简即可求解．

【解答】解：，故成立；

，故不成立；

，故不成立；

，故不成立．

故选：．

【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

2．若为任意角，则满足的一个值为　　

A．2 B．4 C．6 D．8

【分析】根据函数值相等，可得后面为的整数倍，即可求解结论．

【解答】解：因为；

，；

；；

故选：．

【点评】本题主要考察诱导公式的应用，属于基础题目．

3．函数，且的图象恒过定点，且点在角的终边上，则　　

A． B． C． D．

【分析】先求出定点的坐标，再利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求解．

【解答】解：对于函数，，

令，求得，，可得它的的图象恒过定点，

且点在角的终边上，可得，

则．

故选：．

【点评】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

4．已知，则　　

A． B． C． D．

【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．

【解答】解：，，则，

故选：．

【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．

二．解答题（共4小题）

5．若为第二象限角，，

（1）求的值；

（2）若，求的值．

【分析】（1）由已知利用诱导公式可求的值，根据同角三角函数基本关系式可求的值．

（2）利用诱导公式即可化简求值得解．

【解答】解：（1）为第二象限角，，

；

（2），

．

【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

6．（1）求的值．

（2）已知，求值．

【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可求值得解．

（2）由已知利用三角函数恒等变换的应用即可化简求解．

【解答】解：（1）

．

（2）已知，

可得．

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角函数化简求值，考查了转化思想，属于基础题．

7．计算：

（1）；

（2）．

【分析】（1）利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解；

（2）利用两角和的正切函数公式，特殊角的三角函数值化简即可得解．

【解答】解：（1）．

（2）由，

可得，

即．

故原式．

【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力 和转化思想，属于基础题．

8．已知．

（1）若，求值；

（2）若为第三象限角，且，求的值．

【分析】（1）利用诱导公式化简函数解析式，进而根据特殊角的三角函数值即可计算得解．

（2）利用诱导公式化简已知等式，结合 为第三象限角，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．

【解答】解：（1）由于，

又，

所以．

（2）因为，

又因为 为第三象限角，

所以．

【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题