高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第1课时学案及答案

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4.2 指数函数


第1课时 指数函数的概念、图象和性质








将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？


折叠次数 对应层数 对折后的面积S





x＝1 y＝2＝21 S＝eq \f(1,2)


x＝2 y＝4＝22 S＝eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)


x＝3 y＝8＝23 S＝eq \f(1,8)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)


…… …… ……


由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y＝2x(x∈N*)，对折后的面积S＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x) (x∈N*)．


问题：实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征？


提示：(1)幂的形式；(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)幂的指数是一个变量．





1．指数函数的概念


一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R.


2．指数函数的图象和性质


思考1：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？


提示：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0

思考2：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？


提示：指数函数值随自变量的变化规律如下：








1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)y＝x2是指数函数．( )


(2)函数y＝2－x不是指数函数．( )


(3)指数函数的图象一定在x轴的上方．( )


[答案] (1)× (2)× (3)√


2．下列函数一定是指数函数的是( )


A．y＝2x＋1 B．y＝x3


C．y＝3·2x D．y＝3－x


D [由指数函数的定义可知D正确．]


3．函数y＝3－x的图象是( )





A B C D


B [∵y＝3－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)，∴B选项正确．]


4．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为( )


A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2x


C．f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x) D．f(x)＝xeq \s\up12(eq \f(1,3))


B [设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得


a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B.]





【例1】 (1)下列函数中，指数函数的个数是( )


①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；


④y＝2·3x.


A．1 B．2


C．3 D．0


(2)已知函数f(x)为指数函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(3),9)，则f(－2)＝________.


(1)D (2)eq \f(1,9) [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；


②中指数不是自变量x，所以不是指数函数；


③中，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；


④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.


(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(3),9)得aeq \s\up12(－eq \f(3,2))＝eq \f(\r(3),9)，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝eq \f(1,9).]





1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：


(1)底数是大于0且不等于1的常数；


(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；


(3)ax的系数必须为1.


2．求指数函数的解析式时常用待定系数法．





eq \([跟进训练])


1．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) [由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－1>0，,2a－1≠1，))


解得a>eq \f(1,2)，且a≠1，


所以实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)．]





【例2】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )





A．a>1，b<0 B．a>1，b>0


C．00 D．0

(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．


(1)D (2)(3,4) [(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0

又00，所以b<0，故选D.


(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．]





指数函数图象问题的处理技巧


1抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.


2利用图象变换，如函数图象的平移变换左右平移、上下平移.


3利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.





eq \([跟进训练])


2．已知f(x)＝2x，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：


(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；


(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.


[解] (1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到．


(2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到．


(3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到．


(4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．


(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象．]





[探究问题]


1．函数y＝2eq \s\up5(x2＋1)的定义域与f(x)＝x2＋1的定义域存在什么关系？


提示：定义域相同．


2．如何求y＝2eq \s\up5(x2＋1)的值域？


提示：可先令t＝x2＋1，则易求得t的取值范围为[1，＋∞)，又y＝2t在[1，＋∞)上是单调递增函数，故2t≥2，所以y＝2eq \s\up5(x2＋1)的值域为[2，＋∞)．


【例3】 求下列函数的定义域和值域：


(1)y＝eq \r(1－3x)；


(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2－2x－3)；


(3)y＝4x＋2x＋1＋2.


[思路点拨] eq \x(函数式有意义)―→eq \x(原函数的定义域)


eq \(――――→,\s\up7(指数函数),\s\d7(的值域))eq \x(原函数的值域)


[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝eq \r(1－3x)的定义域为(－∞，0]．


因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，


所以eq \r(1－3x)∈[0,1)，即函数y＝eq \r(1－3x)的值域为[0,1)．


(2)定义域为R.


∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2－2x－3)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－4)＝16.


又∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2－2x－3) >0，


∴函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2－2x－3)的值域为(0,16]．


(3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，


即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．





1．若本例(1)的函数换为“y＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)－1)”，求其定义域．


[解] 由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)－1≥0得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0)，∴x≤0，即函数的定义域为(－∞，0]．


2．若本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域．


[解] ∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4，∴y＝4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1.


令2x＝t，则t∈[1,4]，且f(t)＝(t＋1)2＋1，


易知f(t)在[1,4]上单调递增，


∴f(1)≤f(t)≤f(4)，即5≤f(t)≤26，


即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为[5,26]．





1．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．


2．函数y＝af(x)的值域的求解方法如下：


(1)换元，令t＝f(x)；


(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；


(3)求t＝f(x)的值域t∈M；


(4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．


3．形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．











1．掌握3个知识点


(1)判断一个函数是否为指数函数，只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式．


(2)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．


(3)由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为R，所以函数y＝af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．


2．规避1个易错点


易忽视底数a>0且a≠1.





1．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是( )


A．[0,8) B．(0,8)


C．[0,8] D．(0,8]


A [∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，∴函数y＝8－23－x的值域为[0,8)．]


2．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )





A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c


C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c


B [作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知b

]


3．函数y＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x))的定义域是________．


[0，＋∞) [由1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)≥0得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)≤1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(0)，


∴x≥0，


∴函数y＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x))的定义域为[0，＋∞)．]


4．设f(x)＝3x，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x).


(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；


(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？


[解] (1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：





(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(-1)＝3，


f(π)＝3π，g(－π)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(-π)＝3π，


f(m)＝3m，g(－m)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(-m)＝3m.


从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)


2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)
1.通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养．


2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养.
a的范围
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
(0,1)，即当x＝0时，y＝1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称
指数函数的概念
指数函数的图象的应用
指数函数的定义域、值域问题