高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 指数函数的概念优秀第1课时教案

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§3 指数函数


第1课时 指数函数的概念、图象和性质











1．指数函数的定义


函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.


思考1：为什么规定y＝ax中a>0，且a≠1?


提示：①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任意实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.


2．指数函数的图象和性质


思考2：如图是指数函数：(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？





提示： c>d>1>a>b.


规律：y轴右侧，底大图高，底小图低；


y轴左侧，底大图低，底小图高．








1．若函数y＝(a2－5a＋5)·ax是指数函数，则有( )


A．a＝1或a＝4 B．a＝1


C．a＝4 D．a>0，且a≠1


C [由指数函数的定义知， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，且a≠1,a2－5a＋5＝1)) ，解得a＝4，故选C.]


2．函数y＝2－x的图象是( )





A B C D


[答案] B


3．函数f(x)＝2x＋3的值域为________．


[答案] (3，＋∞)


4．比较1.5－0.2, 1.30.7， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up6(\f(1,3))的大小．


[解] 先比较1.5－0.2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up8(－0.2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up6(\f(1,5))与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up6(\f(1,3))的大小．


由于底数 eq \f(2,3)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))，∴y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up8(x) 在R上是减函数，


∴ eq \f(1,3)> eq \f(1,5)>0 ，∴ 0< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up6(\f(1,3))< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up6(\f(1,5))< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up8(0)＝1，


再考虑指数函数y＝1.3x，由于1.3>1, 所以y＝1.3x在R上为增函数1.30.7>1.30＝1，


∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up6(\f(1,3))<1.5－0.2<1.30.7 .








指数函数的概念


【例1】 给出下列函数：


①y＝2·3x；②y＝3x；③y＝32x；④y＝x3.


其中，指数函数的个数是( )


A．0 B．1 C．2 D．3


C [①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；


②中，y＝3x是指数函数；


③中，y＝32x＝9x，故③是指数函数；


④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．]





判断一个函数是指数函数，需判断其解析式是否可化为y＝ax(a>0，且a≠1)的形式．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则( )


A．a＝1或a＝3 B．a＝1


C．a＝3 D．a>0且a≠1


C [由指数函数定义知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（a－2）2＝1，,a>0，且a≠1))，


所以解得a＝3.]





指数函数的图象


角度一 指数型函数过定点问题


【例2】 函数y＝a2－x＋1(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．


(2，2) [在函数y＝a2－x＋1中，令2－x＝0，得x＝2，此时y＝1＋1＝2，即函数y＝a2－x＋1的图象过定点(2，2).]


角度二 指数型函数图象的特征


【例3】 函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )





A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0


C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0


D [从图象的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；


从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，


所以－b＞0，即b＜0.]


角度三 作指数型函数的图象


【例4】 画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．


(1)y＝2x＋1；(2)y＝－2x.


[解] 如图．





(1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的；


(2)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．





利用已知的函数图象作图，主要运用图象的平移、对称等变换，平移变换需分清楚向何方向移，要移多少个单位；对称变换需分清对称轴是什么．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．利用函数f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x)的图象，作出下列函数的图象：


(1)f(x＋1)；(2)－f(x)；(3)f(－x).


[解] 作出f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x)的图象，如图所示：





(1)f(x＋1)的图象：需将f(x)的图象向左平移1个单位得f(x＋1)的图象，如图(1).


(2)－f(x)的图象：作f(x)的图象关于x轴对称的图象得－f(x)的图象，如图(2).


(3)f(－x)的图象：作f(x)的图象关于y轴对称的图象得f(－x)的图象，如图(3).





(1) (2) (3)





指数函数的性质


【例5】 (1)设a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) eq \s\up6(\f(2,5))，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up6(\f(3,5))，c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up6(\f(2,5))，则a，b，c的大小关系是( )


A．a＞c＞b B．a＞b＞c


C．c＞a＞b D．b＞c＞a


(2)y＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x))的定义域是________，值域是________．


(1)A (2) eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞)) [0，1) [ (1)先比较b与c，构造函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up8(x).


∵0< eq \f(2,5)<1，∴y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up8(x)为减函数，又 eq \f(3,5)> eq \f(2,5)，∴b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up6(\f(3,5))< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up6(\f(2,5))＝c；


再比较a与c，构造函数y＝x eq \s\up6(\f(2,5)).


∵ eq \f(2,5)>0，∴y＝x eq \s\up6(\f(2,5))在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上为增函数，又 eq \f(3,5)> eq \f(2,5)，∴a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) eq \s\up6(\f(2,5))> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up6(\f(2,5))＝c，


∴a>c，故a>c>b.


(2)由题意知1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x)≥0，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x)≤1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(0)，∴x≥0，∴定义域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞)).


又∵ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x)>0，∴0< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x)≤1，∴0≤y＜1，∴此函数的值域为[0，1).]





指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


3．(1)若不等式2－x＋a＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )


A．a<－1 B．a≤－1


C．a>－1 D．a≥－1


(2)设y1＝40.9，y2＝80.44，y3＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(－1.5)，则( )


A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3


C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2


(1)D (2)D [(1)原不等式可化为( eq \f(1,2))x>－a－1，由于( eq \f(1,2))x>0，


所以要使原不等式对x∈R恒成立，只需－a－1≤0，即a≥－1.


(2)利用幂的运算性质可得y1＝21.8，y2＝21.32，y3＝21.5，再由y＝2x是增函数可知选D.]








1．指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．


2．画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)y＝x2是指数函数．( )


(2)y＝2－x在R上单调递减．( )


(3)指数函数的图象一定在x轴的上方．( )


[答案] (1)× (2)√ (3)√


2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则( )





A.a<0，b<0 B．a<0，b>0


C．01 D．0

C [因为y＝ax是减函数，y＝bx是增函数，所以01.]


3．函数y＝ax－3＋3(a>0且a≠1)的图象过定点________．


(3，4) [法一：因为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3，4).


法二：将原函数变形，得y－3＝ax－3，然后把y－3看作是(x－3)的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3，y＝4，所以原函数的图象过定点(3，4).]


4．已知函数f(x)＝ eq \f(1,2x－1)＋ eq \f(1,2).


(1)求f(x)的定义域；


(2)讨论f(x)的奇偶性．


[解] (1)由2x－1≠0，得2x≠1，即x≠0，


所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).


(2)因为函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，


且f(－x)＝ eq \f(1,2－x－1)＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(2x,1－2x)＋ eq \f(1,2)


＝－ eq \f(－2x,1－2x)＋ eq \f(1,2)


＝－ eq \f(1－2x,1－2x)＋ eq \f(1,1－2x)＋ eq \f(1,2)


＝－1＋ eq \f(1,2)－ eq \f(1,2x－1)


＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x－1)＋\f(1,2)))


＝－f(x)，


所以f(x)为奇函数．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解指数函数的概念与意义．(重点)


2．掌握指数函数的图象和性质．(重点)


3．掌握函数图象的简单变换．(易混点)
1．通过指数函数的图象的学习，培养直观想象素养．


2．借助指数函数性质的应用，培养逻辑推理素养．
y＝ax
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)
当x>0时，y＞1；


当x<0时，0＜y＜1
当x>0时，0＜y＜1；


当x<0时，y＞1
在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，＋∞))上是增函数
在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，＋∞))上是减函数