高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数第1课时导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数第1课时导学案及答案，共6页。

4.1 指数


第1课时 根式








薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它所到之处，树林枯萎、花草凋零．经测算，薇甘菊的侵害面积S(单位：hm2)与年数t满足关系式S＝S0·1.057t，其中S0(单位：hm2)为侵害面积的初始值．





根据上述关系式，可以计算出10年后薇甘菊的侵害面积是S0·1.05710hm2，其中1.05710是整数指数幂的形式．


问题：经过15.5年，薇甘菊的侵害面积是多少？如何表示？


提示：经过15.5年，薇甘菊的侵害面积为S0·1.05715.5 hm2.





1．根式及相关概念


(1)a的n次方根定义


如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.


(2)a的n次方根的表示


(3)根式


式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．


2．根式的性质(n>1，且n∈N*)


(1)n为奇数时，eq \r(n,an)＝a.


(2)n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))


(3)eq \r(n,0)＝0.


(4)负数没有偶次方根．


思考：(eq \r(n,a))n中实数a的取值范围是任意实数吗？


提示：不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；


当n为大于1的偶数时，a≥0.





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)实数a的奇次方根只有一个．( )


(2)当n∈N*时，(eq \r(n,－2))n＝－2.( )


(3)eq \r(π－42)＝π－4.( )


[答案] (1)√ (2)× (3)×


2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )


A.eq \r(4,m2) B．eq \r(5,m)


C.eq \r(6,m) D．eq \r(5,－m)


C [当m<0时，eq \r(6,m)没有意义，其余各式均有意义．]


3．下列说法正确的个数是( )


①16的4次方根是2；②eq \r(4,16)的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，eq \r(n,a)对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，eq \r(n,a)只有当a≥0时才有意义．


A．1 B．2


C．3 D．4


B [①16的4次方根应是±2；②eq \r(4,16)＝2，所以正确的应为③④.]


4．(1)eq \r(3,－83)＝________；(2)eq \r(4,3－π4)＝________.


(1)－8 (2)π－3 [eq \r(3,－83)＝－8；eq \r(4,3－π4)＝|3－π|＝π－3.]








【例1】 (1)27的立方根是________．


(2)已知x6＝2 019，则x＝________.


(3)若eq \r(4,x＋3)有意义，则实数x的取值范围为________．


(1)3 (2)±eq \r(6,2 019) (3)[－3，＋∞) [(1)27的立方根是3.


(2)因为x6＝2 019，所以x＝±eq \r(6,2 019).


(3)要使eq \r(4,x＋3)有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.


所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．]





n次方根的个数及符号的确定


1n的奇偶性决定了n次方根的个数；


2n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号.





eq \([跟进训练])


1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：


①eq \r(6,－32n)；②eq \r(5,a2)；③eq \r(6,－52n＋1)；④eq \r(9,－a2)，其中无意义的有( )


A．1个 B．2个


C．3个 D．0个


A [①中(－3)2n>0，所以eq \r(6,－32n)有意义；②中根指数为5有意义；③中(－5)2n＋1<0，因此无意义；④中根指数为9，有意义．故选A.]





【例2】 化简下列各式：


(1)eq \r(5,－25)＋(eq \r(5,－2))5；


(2)eq \r(6,－26)＋(eq \r(6,2))6；


(3)eq \r(4,x＋24).


[解] (1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.


(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.


(3)原式＝|x＋2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≥－2，,－x－2，x<－2.))





正确区分eq \r(n,an)与(eq \r(n,a))n


(1)(eq \r(n,a))n已暗含了eq \r(n,a)有意义，依据n的奇偶性可知a的范围；


(2)eq \r(n,an)中的a可以是全体实数，eq \r(n,an)的值取决于n的奇偶性．





eq \([跟进训练])


2．若eq \r(9a2－6a＋1)＝3a－1，求a的取值范围．


[解] ∵eq \r(9a2－6a＋1)＝eq \r(3a－12)＝|3a－1|＝3a－1∴3a－1≥0，∴a≥eq \f(1,3).


故a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)).





[探究问题]


1．当a>b时，eq \r(a－b2)等于多少？


提示：当a>b时，eq \r(a－b2)＝a－b.


2．|a|的代数意义是什么？


提示：|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))


【例3】 (1)若x<0，则x＋|x|＋eq \f(\r(x2),x)＝________.


(2)若－3

[思路点拨] (1)由x<0，先计算|x|及eq \r(x2)，再化简．


(2)结合－3

(1)－1 [∵x<0，∴|x|＝－x，eq \r(x2)＝|x|＝－x，


∴x＋|x|＋eq \f(\r(x2),x)＝x－x－1＝－1.]


(2)[解] eq \r(x2－2x＋1)－eq \r(x2＋6x＋9)


＝eq \r(x－12)－eq \r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，


当－3

当1

综上，原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x－2，－3




1．在本例(1)条件不变的情况下，求eq \r(3,x3)＋eq \f(\r(x2),|x|)的值．


[解] eq \r(3,x3)＋eq \f(\r(x2),|x|)＝x＋eq \f(|x|,|x|)＝x＋1.


2．将本例(2)的条件“－3

[解] 原式＝eq \r(x－12)－eq \r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|.因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，


所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.





有条件根式的化简


1有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.


2有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.











1．掌握2个知识点


(1)n次方根的概念、表示与性质．


(2)根式的性质．


2．规避2个易错点


(1)注意eq \r(n,an)同(eq \r(n,a))n的区别．前者求解时，要注意n为奇数还是偶数，同时要注意实数a的正负，而后者(eq \r(n,a))n＝a是恒等式，只要(eq \r(n,a))n有意义，其值恒等于a.


(2)一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分n为奇数和n是偶数这两种情况．





1．已知m10＝2，则m等于( )


A.eq \r(10,2) B．－eq \r(10,2)


C.eq \r(210) D．±eq \r(10,2)


D [∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，


∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±eq \r(10,2).]


2．(eq \r(4,2))4运算的结果是( )


A．2 B．－2


C．±2 D．不确定


[答案] A


3．若x3＝－5，则x＝________.


－eq \r(3,5) [若x3＝－5，则x＝eq \r(3,－5)＝－eq \r(3,5).]


4.eq \r(π－42)＋eq \r(3,π－33)＝________.


1 [eq \r(π－42)＋eq \r(3,π－33)＝4－π＋π－3＝1.]


5．已知－1

[解] 原式＝eq \r(x－22)－eq \r(x＋12)


＝|x－2|－|x＋1|.


因为－1

所以x＋1>0，x－2<0，


所以原式＝2－x－x－1＝1－2x.


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)


2．能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)
借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养.
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
eq \r(n,a)
R
n为偶数
±eq \r(n,a)
[0，＋∞)
n次方根的概念问题
利用根式的性质化简求值
有限制条件的根式的运算