人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质测试题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质测试题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(四十四) 正切函数的性质与图象


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．函数y＝|x|tan 2x是( )


A．奇函数


B．偶函数


C．非奇非偶函数


D．既是奇函数，又是偶函数


A [易知2x≠kπ＋eq \f(π,2)，即x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z，定义域关于原点对称．


又|－x|tan(－2x)＝－|x|tan 2x，


∴y＝|x|tan 2x是奇函数．]


2．下列各式中正确的是( )


A．tan 735°＞tan 800° B．tan 1＞－tan 2


C．taneq \f(5π,7)＜taneq \f(4π,7) D．taneq \f(9π,8)＜taneq \f(π,7)


D [对于A，tan 735°＝tan 15°，


tan 800°＝tan 80°，tan 15°＜tan 80°，


所以tan 735°＜tan 800°；


对于B，－tan 2＝tan(π－2)，


而1＜π－2＜eq \f(π,2)，所以tan 1＜－tan 2；


对于C，eq \f(π,2)＜eq \f(4π,7)＜eq \f(5π,7)＜π，taneq \f(4π,7)＜taneq \f(5π,7)；


对于D，


taneq \f(9π,8)＝taneq \f(π,8)＜taneq \f(π,7).]


3．函数y＝tan(cs x)的值域是( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))


C．[－tan 1，tan 1] D．以上都不对


C [cs x∈[－1,1]，y＝tan x在[－1,1]上是增函数，所以y＝tan(cs x)的值域是[－tan 1，tan 1]．]


4．与函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象不相交的一条直线是( )


A．x＝eq \f(π,2) B．x＝－eq \f(π,2)


C．x＝eq \f(π,4) D．x＝eq \f(π,8)


D [当x＝eq \f(π,2)时，y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＝tan eq \f(5π,4)＝1；当x＝－eq \f(π,2)时，y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)))＝1；当x＝eq \f(π,4)时，y＝tan eq \f(3π,4)＝－1；当x＝eq \f(π,8)时，y＝tan eq \f(π,2)不存在．]


5．方程taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝eq \r(3)在区间[0,2π)上的解的个数是( )


A．5 B．4


C．3 D．2


B [由taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝eq \r(3)，得2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，


所以x＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，又x∈[0,2π)，


所以x＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，故选B.]


二、填空题


6．函数y＝eq \r(－tan x)＋eq \r(cs x)的定义域为 ．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)＜x≤2kπ，k∈Z)))) [由题意得，


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－tan x≥0，,cs x≥0，))所以2kπ－eq \f(π,2)＜x≤2kπ，k∈Z，


所以函数y＝eq \r(－tan x)＋eq \r(cs x)的定义域为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)＜x≤2kπ，k∈Z)))).]


7．函数y＝|tan x|，y＝tan x，y＝tan(－x)，y＝tan|x|在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(3π,2)))上的大致图象依次是 (填序号)．





①②④③ [∵|tan x|≥0，∴图象在x轴上方，∴y＝|tan x|对应①；∵tan|x|是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴y＝tan|x|对应③；而y＝tan(－x)与y＝tan x关于y轴对称，∴y＝tan(－x)对应④，y＝tan x对应②，故四个图象依次是①②④③.]


8．f(x)＝asin x＋btan x＋1，满足f(5)＝7，则f(－5)＝ .


－5 [∵f(5)＝asin 5＋btan 5＋1＝7，


∴asin 5＋btan 5＝6，


∴f(－5)＝asin(－5)＋btan(－5)＋1


＝－(asin 5＋btan 5)＋1


＝－6＋1＝－5.]


三、解答题


9．已知函数f(x)＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4))).


(1)求它的最小正周期和单调递减区间；


(2)试比较f(π)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)))的大小．


[解] (1)因为f(x)＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4)))


＝－3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－\f(π,6)))，


所以T＝eq \f(π,ω)＝eq \f(π,\f(1,4))＝4π.


由kπ－eq \f(π,2)＜eq \f(x,4)－eq \f(π,6)＜kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，


得4kπ－eq \f(4π,3)＜x＜4kπ＋eq \f(8π,3)(k∈Z)．


因为y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－\f(π,6)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)上单调递增，所以f(x)＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)上单调递减．


故函数的最小正周期为4π，单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)．


(2)f(π)＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(π,4)))＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＝－3taneq \f(π,12)，


feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)))＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(3π,8)))＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,24)))＝－3taneq \f(5π,24)，


因为eq \f(π,12)＜eq \f(5π,24)，且y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，


所以taneq \f(π,12)＜taneq \f(5π,24)，所以f(π)＞feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2))).


10．已知函数f(x)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx－\f(π,3)))的最小正周期T满足1＜T＜eq \f(3,2)，求正整数k的值，并写出f(x)的奇偶性、单调区间．


[解] 因为1＜T＜eq \f(3,2)，


所以1＜eq \f(π,k)＜eq \f(3,2)，即eq \f(2π,3)＜k＜π.因为k∈N*，


所以k＝3，则f(x)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))，


由3x－eq \f(π,3)≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z得x≠eq \f(5π,18)＋eq \f(kπ,3)，k∈Z，定义域不关于原点对称，


所以f(x)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))是非奇非偶函数．由－eq \f(π,2)＋kπ＜3x－eq \f(π,3)＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，


得－eq \f(π,18)＋eq \f(kπ,3)＜x＜eq \f(5π,18)＋eq \f(kπ,3)，k∈Z.


所以f(x)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))的单调增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)＋\f(kπ,3)，\f(5π,18)＋\f(kπ,3)))，k∈Z.





11．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))内的图象是( )





A B





C D


D [当eq \f(π,2)＜x＜π，tan x＜sin x，


y＝2tan x＜0；


当x＝π时，y＝0；


当π＜x＜eq \f(3π,2)时，tan x＞sin x，y＝2sin x．故选D.]


12．(多选题)下列关于函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的说法正确的是( )


A．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，\f(π,6)))上单调递增


B．最小正周期是π


C．图象关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))成中心对称


D．图象关于直线x＝eq \f(π,6)成轴对称


AB [令kπ－eq \f(π,2)

13．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为eq \f(π,4)，则ω的值是 ．


4 [由题意可得f(x)的周期为eq \f(π,4)，则eq \f(π,ω)＝eq \f(π,4)，


∴ω＝4.]


14．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的值域为 ．


[－4,4] [∵－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,4)，


∴－1≤tan x≤1.


令tan x＝t，则t∈[－1,1]．


∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.


∴当t＝－1，即x＝－eq \f(π,4)时，ymin＝－4，


当t＝1，即x＝eq \f(π,4)时，ymax＝4.


故所求函数的值域为[－4,4]．]





15．已知函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))


(1)求f(x)的定义域；


(2)设β∈(0，π)，且f(β)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))，求β的值．


[解] (1)由x＋eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z得x≠kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z.


所以函数f(x)的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))).


(2)依题意，得taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))，


所以eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4))))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))，


整理得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))－1))＝0，


所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))＝0或cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))＝eq \f(1,2).


因为β∈(0，π)，所以β＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，


由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))＝0得β＋eq \f(π,4)＝π，β＝eq \f(3π,4)，


由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))＝eq \f(1,2)得β＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,3)，β＝eq \f(π,12)，


所以β＝eq \f(π,12)或β＝eq \f(3π,4).